1、第四章 电磁波的传播,本章重点：1、电磁场波动方程、亥姆霍兹方程和平面电磁波2、反射和折射定律的导出、振幅和相位关系3、导体内的电磁波特性、良导体条件、趋肤效应4、了解谐振腔和波导管中电磁波的运动形式本章难点：1、振幅和相位关系2、导体内的电磁波3、谐振腔和波导中电磁波求解,电磁波传播问题在无线电通讯、光信息处理、微波技术、雷达和激光等领域都有着重要的应用。,随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场，电磁场在空间互相激发，以波动的形式存在，这就是电磁波。,传播问题是指：研究电磁场在空间存在一定介质和导体的情况下的运动。在真空与介质、介质与介质、介质与导体的分界面上，电磁波会产生反射、折射、衍射和衰
2、减等等，因此传播问题本质上是边值问题。,4.1 平面电磁波,电磁波在空间传播有各种各样的形式，最简单、最基本的波型是平面电磁波。,平面波：波(阵)面为平面,4.1 平面电磁波,一、电磁场波动方程,1自由空间电磁场的基本方程,一般情况下，麦克斯韦方程组为,自由空间中 = 0， ，麦克斯韦方程组可写为左式。,2真空中电磁场的波动方程,在真空中， ， ，对上第一式取旋度并利用第二式得,自由空间中,2真空中电磁场的波动方程,利用下述公式及,可得电场的偏微分方程,同理可得磁场的偏微分方程,令,2真空中电磁场的波动方程,左式称为电磁场波动方程，其解包括各种形式的电磁波，c是电磁波在真空中的传播速度。在真空
3、中，一切电磁波都以速度c传播。,3介质的色散,在线性介质中,对均匀介质 的现象称为介质的色散。,研究介质中电磁波传播问题时，必须给出 和 以及 和 间的关系。,即在线性介质中，和不再是常数，而是频率的函数,故不能推出电场和磁场的一般波动方程,电磁波的频率成分一般不是单一的（非正弦变化），可能含有各种频率成分。因此，一般地,由于一般情况下， 及 ，不能将真空中的波动方程简单地用 代 、 代 转化为介质中的波动方程。,4时谐波及其方程,这种波的空间分布与时间t无关，时间部分可以表示为左式,以单一频率做正弦（或余弦）振荡的电磁波称为时谐波（又称单色波或定态电磁波）。,许多实际问题中，电磁波的激发源以
4、大致确定的频率作正弦振荡，辐射的电磁波也以相同的频率作正弦振荡。,同样的，有,电磁场对时间的依赖关系,对单一频率 、 成立。介质中波动方程为左式,其中,因此,可以被销去,由,可得亥姆霍兹方程,亥姆霍兹方程,可以写作,对磁场,这里,另外，时谐情形下的麦氏方程组为,因而，解出电场后，磁场可由下式给出,（或者 ）,亥姆霍兹方程,同样，解出磁场后，可以进一步求出电场。归纳如左式,亥姆霍兹方程,亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程，其解代表电磁波场强在空间中的分布情况。,波动方程的推导过程中利用了条件,但是，亥姆霍兹方程本身并不能保证上述条件成立，因而必须加上该条件才能代表电磁波的解。,亥姆霍兹方程
5、每一个满足限制条件的解代表一种可能存在的波模。,亥姆霍兹方程有多种形式的解：平面波解，球面波解，等等。其中最简单、最基本的形式为平面波解。,研究平面波解的意义：简单、直观、物理意义明显；一般形式的波都可以视为不同频率平面波的线性叠加。,二、平面电磁波,设电磁波沿x轴方向传播，其强度在与x轴正交的平面上各点具有相同的值，即 和 仅与x，t有关，而与y，z无关。此即平面电磁波。,1平面波解的形式,它的一个解是,二、平面电磁波,对平面电磁波，亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程,因而时谐平面波场强的全表示式为,由条件 得,即要求 ，因此，只要与x轴垂直，其解就代表一种可能的模式。,是电场振幅， 代表波动
6、的相位因子。,时谐平面波场强,亥姆霍兹方程,1平面波解的形式,二、平面电磁波,实际计算中，场强只取实部分,相位因子的意义：,在时刻t = 0，相位因子是coskx，x = 0的平面处于波峰。,在时刻t，相位因子是cos(kxt)，x = t /k的平面处于波峰。,在时间0t内，波峰移动t /k。,因而线性均匀绝缘介质内相速度为,2平面电磁波的传播特性,(1) 平面波的一般解,前面选择电磁波沿x轴方向传播，推广到一般情况，平面电磁波的表达式为左式：,是沿电磁波传播方向的一个矢量，,设 S 为与 垂直的平面。在S 面上相位 Rs为 在 上的投影,2平面电磁波的传播特性,(1) 平面波的一般解,因此
7、在同一时刻，S 平面为等相面，而波沿 方向传播,称为波矢量，其量值k称为波数。,(2) 波长,波长定义：两相位差为2的等相面间的距离。,两等相面相位差：,波长,(3) 横波特性(TEM波）,同理,加限制条件 可得,因而可得,（4） 与 的关系,（4） 与 的关系,平面波特性总结：,a) 横波， 与 都与传播方向垂直,b),构成右手螺旋关系,c) 与 同相位；振幅比为波速,， 沿波矢的方向,（5）波形图,假定在某一时刻（ ），取 的实部，其波形图,k,3平面电磁波的能量和能流,电磁能量传播方向与电磁波传播方向一致,瞬时能量密度,平均能量密度,平均能流密度,瞬时能流密度,例一：有一平面电磁波，其电
8、场强度为,（1）判断电场强度的方向和波传播的方向；（2）确定频率、波长和波速；（3）若介质的磁导率 ，求磁场强度；（4）求在单位时间内从一个与 平面平行的单位面积通过的电磁场能量。,波沿 方向传播。,解：（1） 沿 轴方向振荡，,（2）,（3） ， ，,与 同相位同频率，与 垂直且与 垂直，故它在y轴方向。,（4） ：单位时间垂直通过单位横向截面的能量,4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射,电磁波入射到介质界面上，会发生反射、折射现象（如光入射到水面、玻璃面等）。 反射、折射定律包括两个方面的问题： （1）入射角、反射角和折射角之间的关系问题； （2）入射波、反射波和折射波振幅和相位的变化关
9、系。 反射、折射既然发生在界面上，就属于边值问题。从电磁场理论可以导出反射和折射定律，也从一个侧面证明麦氏方程的正确性。,一、反射和折射定律,时谐电磁波情形下的麦氏方程组为,对第一式取散度,因而,即可以由上述第一式推出第四式。同样可以由第二式推出第三式。也就是说，在一定频率下，只有一、二式是独立的。,一、反射和折射定律,第一章中给出了电磁场的边值关系,其中和 分别是面自由电荷密度和面电流密度,绝缘介质界面上， = 0， 。边值关系由麦氏方程组推得，因此，时谐电磁波的边值关系不是完全独立的，由一、二式可导出三、四式。故，时谐电磁波的边值关系为,一、反射和折射定律,1反射、折射定律的导出过程,假设
10、入射波为单色平面电磁波，反射波、折射波也为平面波。入射波、反射波、折射波的电场强度分别为 、 和 ，波矢量分别为 、 和 。它们的平面波表达式分别为,利用边值关系时要注意，介质1中的总场强为入射波与反射波场强的叠加，介质2中只有折射波。,即,在界面上 z= 0 ,因为x，y任意，要使上式成立，则,由于x，y是任意的，因此,因此反射、折射波矢也在 平面。故如果入射波为平面波，则反射波、折射波也为平面波。,入射波在 平面,即,设入射角、反射角和折射角分别为、和,在两种介质内，分别满足,及,通过上面的关系可得,进一步有,二、振幅关系,1 垂直入射面,2 平行入射面,由边值关系得：,和称为菲涅耳公式,
11、菲涅耳公式表示反射波、折射波和入射波场强的比值，可看出，垂直于入射面偏振的波与平行于入射面偏振的波的反射和折射行为不同。,如果入射波为自然光（两种偏振光的等量混合），经过反射或折射后，反射波和折射波都变为部分偏振光。,在 + = 90的情况下，可得,，因而电场平行于入射面的分量为零，因而反射光变为垂直于入射面偏振的完全偏振光。此即布儒斯特定律。此时的入射角为布儒斯特角。, + = 90,0,4相位关系分析,当 ，即电磁波从疏介质入射到密介质时,因此，,4相位关系分析,5偏振问题,这样，反射和折射波就被变为部分偏振光（各个方向上 大小不完全相同）。,（2）布儒斯特定律：若 则反射波 ，即反射波只
12、有 分量； 因此，若自然光入射，则反射波为完全线偏振波。,（1）入射为自然光（两种偏振光的等量混合，在各个方向上 均相同，即 ）,由菲涅尔公式,但由于垂直入射面的分量与平行入射面的分量，其反射和折射行为不同,三全反射,1全反射现象,特别是当 时，折射定律的原形式将失去意义，这时一般观察不到折射波，只有反射波，因而称作全反射。实际上仍然有波透射入第二种介质，但是透射波仅仅存在于界面附近薄层中。,折射定律,当 时， = 90,折射波沿界面传播,电磁波由介质1进入介质2,4.3 有导体存在时电磁波的传播,（1）真空或理想绝缘介质中电磁波传播可视为无能量损耗，电磁波无衰减；（2）电磁波遇到导体，导体内
13、自由电子在电场的作用下运动，形成电流，电流产生焦耳热，使电磁波的能量不断损耗，因此在导体内部电磁波是一种衰减波；（3）在导体中，交变电磁场与自由电子运动相互作用，使导体中电磁波传播不同于真空或介质中电磁波的传播形式。,一导体内的自由电荷分布,1静电场中导体上的电荷分布,静电平衡时，电荷仅分布在表面上，导体内部无电荷，且电场强度垂直导体表面。,在变化电磁场中，导体不再处于静电平衡状态，必然有体电荷分布，(t)分布随时间变化形成电流，产生附加变化电磁场，形成导体内总电磁场分布，又影响(t)。,2迅变场情况下的电荷分布,由电荷守恒定律 可得,其解为左式,2迅变场情况下的电荷分布,式中0为t = 0时
14、的电荷密度。 = /为特征时间或驰豫时间，表示减小到0/e 所需时间。,3良导体条件,良导体内 ，电荷仅分布在导体表面上。对一般金属，的数量级为10-17s。只要频率不太高，一般金属都可以看作良导体。,良导体中电流也在表面薄层内分布，一般仍用体电流分布来解决问题。注意：用了体电流分布，面电流必须视为零。在特殊情况下采用面电流分布时，就不能再考虑体电流分布。,二导体内的电磁波,1.基本方程（导体内部）,2导体中的平面波解,（1）引入复介电常数,（2）复介电常数的物理意义,上面第二式 右边两项分别代表位移电流和传导电流，传导电流与电场同相，所耗散的功率密度为,2导体中的平面波解,（1）引入复介电常
15、数,位移电流与电场有90的相位差，不消耗功率。因此，复介电常数中，实部为位移电流的贡献，不引起能耗；虚部为传导电流的贡献，引起能耗。因此，导体内的电磁波有衰减。,导体内定态波方程组与介质中定态波方程组形式上完全一样，因此只要把绝缘介质中电磁波解所含的换作，即得导体内的电磁波解。,（3）亥姆霍兹方程,为复数,（4）平面波解,3 、 的意义,平面电磁波解改写为,- 描述波振幅在导体内的衰减程度,衰减常数,相位常数,- 描述波在空间传播的位相关系,（4）平面波解,4. 、 与 间的关系式,由,和 的方向不常一致，仅由这两个式子还不能解出 、 。,设介质中波矢为 ，导体中为 ，并设入射面在x-z平面，
16、z轴为指向导体内部的法向。,5. 平面波从介质入射到导体表面,前面讲过,对上述问题,空间中波矢 为实数，因此,（即 分界面指向导体内部，波沿 方向衰减）,5. 平面波从介质入射到导体表面,三穿透深度和趋肤效应,正入射时 , 都沿 方向，导体中的电场为,对良导体情况：,三穿透深度和趋肤效应,三穿透深度和趋肤效应,波幅降至原值 的传播距离,1穿透深度,在导体中的平面波为,良导体,时,对良导体情况：,2趋肤效应,例如，铜 ,当 时当 Hz，,对于高频电磁波，电磁场及与之相互作用的高频电流集中在导体表面薄层。,3导体内磁场与电场的关系,因此，电场与磁场有 的相位差。,振幅比： 即 ；,在真空或介质中
17、，两者比较可见导体中磁场比真空或介质中磁场重要的多，金属中电磁能主要是磁场能量。,四导体表面上的反射,电场从真空垂直正入射,及,解得,反射系数为,4.4 谐振腔,无界空间中，电磁波最基本的存在形式是平面电磁波，这种波的电场和磁场在垂直传播方向上振动。这种类型的波称为横电磁（TEM）波。,一有界空间中的电磁波,1无界空间中横电磁波,2有界空间中的电磁波边值问题,金属一般为良导体，电磁波几乎全部被反射。因此，若空间中的良导体构成电磁波存在的边界，特别是若电磁波在中空的金属管中传播，金属边界制约管内电磁波的存在形式。在这种情况下，亥姆霍兹方程的解不再是平面波解。,二理想导体边界条件,讨论 的理想导体
18、(一般金属接近理想导体)。假定它的穿透深度 （ ）。,1一般边值关系,（由于边界为理想导体，故认为导体内 ，因此只有面电流分布） 设 为导体的电磁场量， 为真空或绝缘介质中的电磁场量， 。,2理想导体内部,用 代替,则在界面上：,理想导体界面边界条件可以形象的表述为：在导体表面上，电场线与界面正交（即在界面上 ）,3理想导体为边界的边值问题,亥姆霍兹方程的解加上条件 ，再加上边界条件后，就得到该边值问题的解。,在边界上，若取x，y轴在切面上，z轴沿法线方向，由于在该处Ex = Ey = 0，因此,三谐振腔,低频电磁波可采用LC回路振荡器产生，频率越高，辐射损耗越大，焦耳热损耗越大（因为 ，L、
19、C越小，电容电感不能集中分布电场和磁场，只能向外辐射；又因趋肤效应，使电磁能量大量损耗）。,谐振腔：用来产生高频振荡电磁波的一种装置，由几个金属板或反射镜（光学）构成。,（1）由6个金属壁构成的空腔,6 个面在直角坐标中表示为,（2）设 为腔内 的任意一个直角分量,每个分量都满足,1矩形谐振腔的驻波解,（3）分离变量法求解,其驻波解为：,2边界条件确定常数,（1）考虑,对 ，,假定,（2）考虑,同理,3谐振波型,（1）电场强度,A1、A2、A3只有两个独立，两个独立常数由激励谐振的信号强度确定,（2）谐振频率（本征频率）：,（3）讨论,给定一组 ，解代表一种谐振波型（在腔内可能存在多种谐振波型
20、的迭加）；只有当激励信号频率 时，谐振腔才处于谐振态。,中不能有两个为零，若,则由,可得,设 ，则最低谐振频率为,l 最低频率的谐振波型,（1，1，0）型,但在一般情况下，,为横电波,4.5 波 导,1低频电路情况,虽然能量在场中传播，但在低频时，场在线路中的作用可由一些参数（电压、电流、电阻和电容等）表示出来，不必直接研究场的分布，用电路方程即可解决。对于低频电力系统一般用双线传输或采用同轴线传输。同轴线传输是为了避免电磁波向外辐射的损耗及周围环境的干扰，但是频率变高时，内线半径小，电阻大，焦耳热损耗严重，趋肤效应也严重。,一高频电磁波能量的传输,高频情况场的波动性明显，电容、电感等概念一般
21、不再适用，线路中电流也具有波动性，电压概念不再适用于高频情况，电路方程求解一般不适用。 在有线通讯中，高频电磁波若用双线或同轴线传输，能量因热损耗损失严重。在高频情况常常用一根空心金属管（波导管）传输电磁波，多用于微波范围。,2高频情况,二矩形波导中的电磁波,1矩形波导管,设电磁波沿z轴传播，在一定频率下，管内电磁波满足亥姆霍兹方程,2解的形式,四个壁构成的金属管，四个面为,电磁波应有传播因子 ，电场取为,2解的形式,其中 满足,令 代表电场强度任意一个直角坐标分量，它也必满足上述方程。,令： 则有,特解为：,3边界条件定常数,可以是 、 或者,与谐振腔讨论相似,4 的解由 确定,不能同时为零
22、,其余两个常数 由激发源功率确定 。,（1）当 为横波（横电波，即TE波）， ，由上式得出 ，所以 、 不能同时为横波；,（2）当 为横波， ， ，横磁波（TM波）,（3）不同的 ，有不同的TE 和TM（ ）,三截止频率,波数 由激发频率 确定； ， kx、ky由 确定；,对于给定的 ，有可能使 为虚数， 变为实数，称为衰减因子；这时电磁波的振幅沿z方向不断衰减。电磁波不再能沿波导传播。,要使电磁波在波导管中传播，必须使,三截止频率,(m、n) 型的截止频率为：,能够在波导管中传播的波的最低频率成为该波膜的截止频率c，,最低截止频率：,最大截止波长：,1一平面电磁波以 = 45从真空入射到r = 2的介质，电场强度垂直于入射面。求反射系数和折射系数。2已知海水的r = 1.0，电导率 = 1.0S/m，试计算频率为50Hz，106Hz和109Hz的三种电磁波在海水中的透入深度。3试证明矩形波导管内不存在TMm0波和TM0n波。4. 有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60， 证明这时将会发生全反射，并求折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度。设该波在空气中的波长为0 = 6.2810-5cm，水的折射率为n = 1.33。5. 无限长的矩形波导管，在z = 0处被一块垂直地插入的理想导体平板完全封闭，求在z = 到z = 0这段管内可能存在的波膜。,
