1、1一、多相表示的双正交条件 1hz1gz 22cj+1(z)dj+1(z) 22hzgz +()jczcj(z)1Mz 2Mz 3Mz 4Mz1Mz 2Mz 3Mz 4Mz图 1 小波分析与重构首先我们来推导上图中滤波器组构成双正交的充要条件序列 cj(n)(n=0,1,2,3,)的 Z 变换是： ()()njjczz序列 （n=0，1，2，3）的 Z 变换是：()hn 11()()()()nnnnzhzzhzhz 令 =，同理11()jMc11jMcg时域中以 2 为因子的抽样对应到 z 域中为：M 2(n)=M1(2n) 1122211()()()()()()2nnnzz zzMz 同理：
2、 122()()()z以 2 为因子的内插n=0,2,423(/)()0Mn 112223 11()()()()zzMzzM同理： 311 ，4()()Mzhz43()()gzjcnn2 4331111()()()()()()()2221()()()jjj jjjczMzhgzMhzzgMzhccgzzc 11()()jzzcz对于无失真重建，有 ,因此()jjcz()hgz-1-1-+()=2z0于是得到滤波器组构成双正交小波的充要条件： （1）11()()2hgzz可以将(1)式写成矩阵形式（2）11()()() 20hzhzgg为了把滤波器分解为多相表示，先把滤波器的冲击响应 h(z)、
3、g(z) 分解为奇偶系数的组合：2(21)212() ()()nkkkkkk kzhzzzz令 221(),()kekokh1eozzh而 22212()()()()eohzhz， ez1o同理有： 21222212()(),()(),()()e eoeoggzgzzhzhz 把(2)中的 h(z),g(z), , 表示为 he(z), ho(z), ge (z), go (z), 的 ,og形式有：(3)2222212212()()()()() 0eoeoeoeozzhzzg 其中的 212()()eoh212()eoz1z22()()eeoogzh32222221()()()()()()e
4、oeoeohzhzhzzggzg (3)式可表示为：22221 1()()() 20)eeeoooz zhz又因为： = 2 01z所以有2222()()()I)eeeooohghzzg 以 2 为因子采样后：11()()()Ieeeooozhz令 和 (4)()()()eeoohgPz 1()()IeeToogzPzPzh对上式求解，就可得到理想滤波器组。 等于 I 是满足理想波器条件的最简单的情况。()这就意味着 21212121()()0,()()()0,eo eohzzzgzzgz 是 Lazy 小波变换，一般提升方法从它开始构造小波基。当 detP(z)=1 时式（4）的一组解为：1
5、 111()() ()()()()()() ()(eoee eeoeeooeo oeoe eoezghzghzgzghzh hgzz 1)()()10I,()IoeeoozzzhhgP 即 为 的 一 组 解 。即有： 2122121221()()()()()()()eooeeogzzghzzhzzhhggg求解式(4) 的更普通的解：由于 1 11()det()t()det()det()T TTPzPzPzz 4且由于 都是 Laurent 多项式1det()t()TPzz和即是说 都是 Laurent 多项式tt()和是 z 的单项式，即 ，其中 C 为常数， 为 z 的幂次。det()d
6、et()lPzcl二、多相表示的小波分析与重构2.1 多相表示的分析滤波器根据图 1 中的分析滤波示意图，可以得到式(5)，其中 表示对花括号中信号进行down下采样。 2212 1eoejj j jodowndndownejhzzhzhcccggg1TjjeeoP(5)由式(5)可以得到图 2 所示的示意图。 jeczjocz1TPz 1jcz1jdzz22jcz图 2 多相表示的小波分析示意图2.1 多相表示的重构滤波器图 1 中的综合滤波器将 、 经过上采样后分别变成了 和 ，)(1zcjzdj1 )(21zcj21zdj由图 1 可以得到式(6)，其中 表示对花括号中的信号进行上采样。
7、所以 可以表示为：up j(6)22 21 1122jjj jeoeojej joczhghgzzcczdd 1 upjupP 由式(6)可以看出，传统的小波重构可以用图 3 的多相形式表示。5Pz1jcz1jdz 2 jcz+1z图 3 多相表示的小波重构示意图将图 2 和图 3 连接起来，就得到了用多相表示的小波分析与重构结构，如图 4 所示。1TPz 1jcz1jdzz22jcz Pz2jcz+1z图 4 多相表示的小波分析与重构示意图三、提升定理如果要从一个已有的滤波器组 通过一个简单的提升定理，构造出另一个滤波器(,),hg组 使这个滤波器组也对应于一组正交小波基。并且通过提升过程，
8、使(,)newhg具有更高的消失矩，那么，下面两个定理就可以把提升过程归纳到其中了。3.1 定理 1如果原滤波器组 满足理想重构条件，则由下式（7）构成的新滤波器组(,)hg也满足理想重构条件，这个过程称为提升。(,)newhg(7)2() ()eznwhzsg其中 s(z)称为提升因子。原滤波器组满足理想重构条件:11()()20hzgz将 中的 代成 ，将 代成 ，11()()2hzgz1()hz1()new()new所以有： (7)1111221()()()()()()newnewzzzgzsgzhsgz 将 式 代 入 1h= 11()()2zz将 中的 代成 ，g(z)代成 ，1()
9、0hzg 1()newhz()newz所以有：6(7)1111221()()()()()(newnehzgzhzgzsgzhsgz 将 式 代 入 1)11()()0zz即新滤波器组 也满足理想重构条件。(,newhg下面用多相矩阵来表示提升定理 1。222212()()()()()()neweoeogzzszgzhzsz21eehs12()()nwnewozgz,()()e neweeoosgzhzs其 中 ()()() ()()()()11()()00neeenewewoooooeeoogzhzPzszgsPhz2212212()()()()neweoeohzgszhgzzs2(eezs1
10、2()()nwnwoh其中 1 1(),()()e neweeoozgzshzgzs 1()() ()()(nweeeeenewooooohPzzsz 11()00P()()eeoogszszhz 综上，用多相矩阵表示提升定理 1 有： 11()(),()0()newnewsPzPzsz且有 ，完全满足重构条件。1()IneewTz73.2 定理 2（对偶提升）如果原滤波器组 满足理想重构条件，则由下式构造的新滤波器组(,)hg也满足理想重构条件。(,)newnehg（8）2()()nezztgh其中 t(z)为提升因子，利用原滤波器组满足的理想重构条件，将：1 1()()(),newnewh
11、zgzz和 代 成 和 有 8)1 21112()()()()new hgzthgzhzt 将 式 代 入 1 21()()zt (811211211()() )()()()(0newnewhzgzhzgthzgzhtz 将 式 代 入即：新滤波器组 也满足理想重构条件，用多相矩阵表示对偶提升方(,)newnehg法有： 2212212()()()()()()neweoeohzztzhzgztz212()()e onwnewohgt tzz 其中 ,eeet()()newoohzgzt()()P() ()()()nweeenewee ooooo gzhzgz t ()1010()()eeooP
12、zhzgtzt22122122()() ) ()new eoeogzzt hzt 2)()newneweegzztg其中 1(),nwezght 1)newoogzt8 11 1()()()()()()()()()()()00newe eeenewoooooeeoohzgzhzghztPt tPzhzg 综上，用多相矩阵表示提升定理 2 有： 11()P(),()()newnewtzzPztz 同样 。1IneewT四、传统小波的提升原理由于已存在大量具有良好性质的正交和双正交小波基，将这些小波基用提升方法实现可以节省运算量。提升小波实现的关键是从给定的 中分解得到提升因子 s(z)和P()z
13、和t(z)。先介绍用来多项式因式分解的 Euclidean 算法，然后将该算法用于对 的分P()z和解，最后给出几个例子。4.1 古典的 Euclidean 分解算法由于有限冲击响应 FIR 滤波器对应的传输函数 ，是一个(k e-kb)阶()ebkhzLaurent 多项式，而 Euclident 算法就是求解两个 Laurent 多项式的最大公因子 GCD。若GCD 的阶数为，则该两多项式是互素的。如已知两个 Laurent 多项式为00(),()0,()()()xzyzxzyxzyz和 当 且 .先 初 始 化 和从 i=0 开始进行如下的选代： 1()%()iiiyzxyz式中“%”表
14、示取余运算符。对于最小整数 n，使得 ，则 就是所求的()0nyz()nxz最大公因子 GCD，即 。()(),nxzGCDxzy选代过程中记商 1/iiiq则有： 0()()ninixzxzy相当于 1()()()0iniqzyz这就是通过 Euclidean 算法对 的因式分解。但要注意，Laurent 多项式x(),yT9的分解不是唯一的。例 1 算法进行分解1()6,()4,xzzyzEuclidean对 用（1）10 6()()y（2）辗转相除，第一步从 开始有0i100110()()4%()()/()xzyzzyg（3）辗转相除第二步， 有1i2112()()40/xzyzygz在
15、第二次相除时，取余得 满足停止辗转相除的条件，所以2()0,z，且阶数为 0，表示 x(z),y(z)2()4(),xzGCDxzy即 为 求 得 的 最 大 公 因 子互素。则分解的结果是： 11 146404zzz4.2 传统小波滤波器组 的分解(,)hg（1）从 he (z)和 ho (z)的因式分解入手：对传统小波滤波器组 的分解问题，首先从 的分解开始，为此将(,)(,)hgEuclidean 算法用于 h(z)的偶系数 he(z)和奇系数 ho(z)。若 不互素，即存在阶数不为 0 的公因子 ，()eohz和 ,ebkz()(ebkeehz则 有， 。故有：()(ebkooz1eb
16、k()()()()() )(e eb bk kee eek koo oohghzgPz z hzPz 10（其中 ）()()()eeoohzgzPzdet()00ebkztP()t() 1eebblebkkczkhz其 中故推出 dt()zLaurnt不 是 多 项 式但是， ，()eeoohgzPdet()PzLaurent的 行 列 式 是 一 个 多 项 式所以相互矛盾，由此验征到 互素，即它们的最大公因子是一个单项数。()e和因此，应用 Euclidean 算法对 进行分解，总可以得到：ohz和（9）1()()0neiiohzqk当 n 为偶数时：为保证重构条件成立，即 detP(z)=1，总可以找到一个滤波器 go(z),使得：（10）01()()10nieioqzgzk由（9） 、 （10）式合并成矩阵形可以得到：（11）001 10()()P 1nieeioo kqzhzg利用以下简单恒等变换：（12）ii iqz将式（12）的第一个恒等变换用于式（11）的奇项，第二个恒等变换用于式（11）的偶项，得： 2 201211 2001n nii iiikkzqP 由提升定理 1 知，多相矩阵 P(z)可以通过一个提升因子 s(z)从 P10(z)得到，即
