1、第十五章 傅立叶级数,一、内容简介本章主要介绍函数的Fourier级数展开，Fourier级数的性质、收敛性的判别以及Fourier变换。二、学习要求1. 了解用三角多项式来逼近函数的思想和Fourier级数整体逼近程度优于级数条件弱于级数的特点2. 正确理解Fourier级数的收敛性判别以及分析性质；3. 掌握函数的Fourier级数包括正弦级数和余弦级数展开以及和函数的确定。三、学习的重点和难点 重点：函数的Fourier级数展开以及分析性质, Fourier级数的点态收敛和均方收敛性定理; 难点：Fourier级数的收敛性定理证明。,15.1 傅立叶级数,一、问题的提出,二、三角级数 三
2、角函数系的正交性,三、函数展开成傅里叶级数,在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动。最简单的 周期运动，可用正弦函数来描写。,(1),一、问题的提出,非正弦周期函数:矩形波,不同频率正弦波逐个叠加,若级数收敛，则它所描述的是更为一般的周期运动现象。,二、三角级数 三角函数系的正交性,1.三角级数,谐波分析,三角级数,若三角级数收敛，则它的和一定是一个以为周期的函数。,2.三角函数系的正交性,三角函数系,三、函数展开成傅里叶级数,问题:,1.若能展开, 是什么?,2.展开的条件是什么?,1.傅里叶系数,且等式右边级数一致收敛，,定理 15.2 在整个数轴上,由定理条件，函数,在,
3、逐项积分得,且可积。,上连续,傅里叶系数,傅里叶级数,问题:,2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理),注意:,函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,和函数图象为,所求函数的傅氏展开式为,注意:,对于非周期函数,如果函数 只在区间 上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级数.,作法:,例2 设 求的傅里叶级数展开式。,解 函数及其周期延拓后是按段光滑的，故由定理15.3（收敛定理），它可以展开成傅里叶级数。由于,当 时，,所以在开区间 上,在 时，上式右边收敛于,例3 把下列函数展开成傅里叶级数,根据收敛定理的假设，
4、是以 为周期的函数，所以系数公式中的积分区间可以改为长度为 的任何区间，而不影响 ， 的值,解 f及其周围延拓的图形是按段光滑的，因此它可以展开成傅里叶级数。计算傅里叶系数如下,所以当 时，,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于 .,所求函数的傅氏展开式为,利用傅氏展开式求级数的和,试证明：,证,例 4,结论可证.,播放,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分条件；,4.非周期函数的傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,小结,思考题,思考题解答,四、奇函数和偶函数的傅里叶级数,定理,一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.,证明,奇函数,同理可证(2),定义,偶函数,定理证毕.,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,和函数图象,观察两函数图形,解,所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个数轴上连续.,五、非周期函数的周期性开拓,则有如下两种情况,奇延拓:,偶延拓:,解,(1)求正弦级数.,(2)求余弦级数.,三、小结,1、基本内容:奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓;,2、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确),a.只有周期函数才能展成傅氏级数;,思考题,思考题解答,
