1、Chapter 4,向量空間4.1 4.5,Ch04A_2,Part A,4.1 向量基本介紹4.2 點積、範數、角度及距離4.3 廣義向量空間4.4 子空間4.5 向量之線性組合,Ch04A_3,4.1 Introduction to Vectors,直角座標系統(rectangular coordinate system),原點：(0, 0) 位置向量： 起點：O 終點：A(5, 3),Ch04A_4,Example 1,試描繪位置向量 ，詳圖4.2。,Ch04A_5,Ch04A_6,定義： 令 為一含n個實數的序列，則所有此種型式之序列組成的集合稱為n維空間，註記為Rn。 在 中， u1
2、稱為其第一個元素(first component)、u2稱為其第二個元素(second component)、餘此類推。,Ch04A_7,定義： 令u = (u1,un)、v = (v1,vn)為Rn的二個向量，若u1 = v1, un = vn，則稱u與v相等(equal)。亦即當Rn中二向量之對應元素(corresponding components)均相等時，我們稱此二向量為相等。,定義： 令u = (u1,un)、v = (v1,vn)為Rn中二任意向量，而c為一純量，則向量加法及純量乘積運算定義如下：向量加法：u + v = (u1 + v1, , un + vn) 純量乘積：cu
3、= (cu1, , cun),Ch04A_8,Example 3,令u = (1, 4, 3, 7)、v = (2, 3, 1, 0)為R4中二向量，試計算u + v及3u。,Solution,Ch04A_9,一般而言，若u, v為同一向量空間中之向量，則u + v為由u, v所定義之平行四邊形的對角線（如圖4.5所示），這種視覺化的向量加法適用於任何向量空間。請注意，我們將以粗體字表示向量，而以一般字體表示純量。,Ch04A_10,Example 5,考量向量(3, 2)與2的純量乘積，可得 2(3, 2) = (6, 4)觀察圖4.6可知，向量(6, 4)與向量(3, 2)同向，而其長度則
4、為(3, 2)的二倍。,Ch04A_11,純量乘積之方向,Ch04A_12,零向量,所有n個元素全部為零的向量(00, 0)稱為Rn空間之零向量(zero vector)，註記為0。,Ch04A_13,Theorem 4.1,令u, v與w分別為Rn中之向量，而c, d為純量。u + v = v + uu + (v + w) = (u + v) + wu + 0 = 0 + u = uu + (u) = 0 c(u + v) = cu + cv(c + d)u = cu + du c(du) = (cd)u 1u = u,Ch04A_14,Example 6,令u = (2, 5, 3), v
5、 = (4, 1, 9), w = (4, 0, 2)，試計算2u 3v + w。,Solution,Example 7,Ch04A_15,行向量,我們以元素逐項處理的方式，定義Rn中行向量的向量加法與純量乘積。 例如在R2中，,及,及,Ch04A_16,4.2 點積、範數、角度及距離,定義： 令u = (u1, , un), v = (v1, , vn)為Rn中二任意向量，則向量u, v之點積(dot product，註記為u v)定義如下u v = u1v1+ + unvn任意二向量之點積均為一實數。,Solution,Ch04A_17,點積性質,令 u, v及w為Rn之向量，c為純量，則
6、uv = vu(u + v)w = uw + vw cuv = c(uv) = ucvuu 0, 且 uu = 0若且唯若 u = 0,Ch04A_18,Rn中向量之範數,定義： Rn中一任意向量u = (u1, , un)之範數（Norm，或稱長度或大小，註記為|u|）定義如下 註：向量之範數亦可以用點積表示，,向量之長度為,Ch04A_19,定義： 單位向量(unit vector)指範數為1的向量，若v為一非零向量，則為一方向與v相同之單位向量（請讀者證明之），這種對一已知向量建構與其同向之單位向量的程序稱為向量正規化(normalization of a vector),試分別求解R3
7、中向量u = (1, 3, 5)及R4中向量v = (3, 0, 1, 4)之範數。,Solution,Example 2,Ch04A_20,Example 3,Solution,試證明向量(1, 0)為一單位向量 試求向量(2,1, 3)之範數，並請正規化此向量,(a) ，因此向量(1, 0)為一單位向量。同樣地，向量(0, 1)亦可被證明為R2中之單位向量。,(b) ，即向量(2,1, 3)之範數為 ，而其正規化向量為 此向量亦可以寫成 此向量即為方向與向量(2,1, 3)相同之單位向量。,Ch04A_21,重要的單位向量,(1, 0), (0, 1)為R2空間之單位向量(1, 0, 0)
8、, (0, 1, 0), (0, 0, 1)為R3空間之單位向量(1, 0, , 0), , (0, 0, , 1)為Rn空間之單位向量,Ch04A_22,Theorem 4.2,柯西舒瓦茲不等式 若u, v均為Rn中之向量，則其中 為 之絕對值。,向量間夾角,Ch04A_23,定義： 令u, v為Rn中之二非零向量，則此二向量間之夾角為,Solution,因此, 可知u, v間之夾角為 45.,Ch04A_24,Definition,Theorem 4.3: 二非零向量u, v為正交，若且唯若u v = 0,Solution,(1, 0)(0, 1) = (1 0) + (0 1) = 0，
9、因此二向量為正交。 (2, 3, 1)(1, 2, 4) = (2 1) + (3 2) + (1 4) = 2 6 + 4 = 0，因此二向量為正交。,若二個非零向量間之夾角為直角，我們稱這二個向量為正交(orthogonal),Ch04A_25,Example 6,試求取與向量(3, 1)為正交之向量，另請證明具有此種性質之向量有無限多個，且均位在同一直線上。,因此任意具(a, 3a)形式之向量均與向量(3, 1)正交。而任一具(a, 3a)形式之向量均可被寫成a(1, 3)而如圖4.13所示，所有這種向量均位於由向量(1, 3)定義之直線上。,Ch04A_26,Example 7,(a)
10、試證明下列向量為正交，(b)試計算各向量之範數。,Solution,(a) u, v之點積可由此二項量各對應元素乘積之加總求得u v = (1 1) + (2 3) + (5 1) = 0點積為0，因此u, v為正交。(b) 各向量之範數則可由計算其元素平方和之平方根求得,Ch04A_27,Theorem 4.4,令u, v為Rn中之向量三角不等式： 這個不等式說明三角形任意一邊長度不會大於另二邊長度和(如圖4.14(a)所示)。畢氏定理：若u v = 0，則 |u + v|2 = |u|2 + |v|2，即三角形斜邊長的平方等於另二邊長度平方和(如圖4. 14(b)所示)。,Ch04A_28
11、,二點距離,定義： 令x = (x1, ., xn)與y = (y1, ., yn)為Rn中二點，則x與y之距離d(x, y)為註：距離亦可以下式表示,Solution,Ch04A_29,Ch04A_30,Example 8,試證明Rn中之距離函數具對稱性(symmetric property)，即d(x, y) = d(x, y)。,Solution,則有,Ch04A_31,範數及距離的重要性質,Ch04A_32,Rn空間之歐基理德幾何,向量u, v之點積：u v = u1v1+ + unvn向量u之範數：向量u, v間之夾角：點x與y間之距離：,Ch04A_33,4.3 向量空間,定義：
12、向量空間V為對向量加法與純量乘積二種運算均有定義，且滿足所有下列公理之一組元素（即向量）所構成的集合。（以下u, v, w為V之任意向量，而c, d則為純量） 封閉公理u + v存在，且仍為V的一個元素（即V為向量加法封閉）cu為V的一個元素（即V為純量乘積封閉）,Ch04A_34,向量加法公理3. u + v = v + u（交換率）4. u + (v + w)= (v + u) + w（結合率）5. V中存在有一零向量(zero vector)，註記為0，使得u + 0 = u6. V中每一元素u，均存在有另一元素u，使得u + (u) = 0純量乘積公理7. c(u + v) = cu
13、+ cv8. (c + d)u = cu + du9. c(du) = cdu10. 1u = u,Ch04A_35,矩陣向量空間,將矩陣M22之元素以向量表示，令為二個任意2 2矩陣，則公理1：u + v仍為2 2矩陣，因此M22為加法封閉。公理3及4：由理論2.2可知，2 2矩陣具加法之交換性及結合性。,Ch04A_36,公理5：2 2的0矩陣為 ，而,公理6：,Mmn，m n矩陣組成的集合為一向量空間。,矩陣向量空間,Ch04A_37,函數向量空間,公理1：f + g定義為(f + g)(x) = f(x) + g(x)，因此f + g為一個論域包含所有實數的函數，亦即f + g亦為V之
14、元素，因此V對加法封閉。,公理2：cf定義為(cf )(x) = cf(x)，因此cf為一個論域包含所有實數的函數，亦即cf亦為V之元素，因此V對純量乘積封閉。,逐點加法(pointwise addition)：令f及g為V中二任意元素，定義此二函數之加總(即f + g)為表示如下之函數(f + g)(x) = f(x) + g(x)逐點純量乘積(pointwise scalar multiplication)：令c為任意純量，則f之純量乘積cf可由以下函數定義，(cf )(x) = cf(x),Ch04A_38,函數向量空間,公理5：令0為對所有x均使得0(x) = 0之函數，稱為零函數(z
15、ero function)，則對所有x而言( f + 0 )(x) = f(x) + 0(x) = f(x) + 0 = f(x)因此對所有x而言，函數f + 0之數值均與f相同，亦即f + 0 = f，則0為零函數。,公理6：考量定義為(f )(x) = f(x) 之函數f，我們須證明f為f之負函數。因此對所有x而言，函數f + (f )之數值均與0相同，亦即f + (f ) = 0，則f為f之負函數。,Ch04A_39,複數向量空間Cn,令Cn之加法運算及純量（複數c）乘積運算定義如下,Ch04A_40,Theorem 4.5,令V為一向量空間，v為V中之任意向量、0為V之零向量、c為一純
16、量、而0為純量零，則(a) 0v = 0(b) c0 = 0(c) (-1)v = -v(d) 若 cv = 0, 則 c = 0 或 v = 0.,Ch04A_41,4.4 子空間,定義： 令V為一向量空間，U為其非零子集合，若U對加法運算及純量乘積運算均具封閉性，則其為V之子空間(subspace)。若U對加法運算及純量乘積運算均具封閉性，則其為V之子空間，並承襲V之其他向量空間性質。,Example 1:令U為R3中所有具形式之向量所成的子集合，試證明U為R3之子空間。,Ch04A_42,Example 2,令W為R3中所有具 (a, a2, b)形式之向量所成的子集合，試證明W為R3之
17、子空間。,Ch04A_43,Example 2,考量以行向量形式表示之R3空間，令U為具 形式之向量所成之子集合，試問U是否為R3之子空間？,結果向量中的第2元素為第1元素的2倍，而第3元素則為第1元素的2倍，因此加總的結果仍在U中。,結果向量中的第2元素為第1元素的2倍，而第3元素則為第1元素的2倍，即純量乘積的結果仍在U中,Ch04A_44,Example 4,試證明2 2對角矩陣所成的集合U，為向量空間之子空間。,(2)令c為純量，則 cu為一2 2對角矩陣，亦為U之元素，所以U具純量乘法封閉性。U為向量空間之子空間，即其為包含於之矩陣向量空間。,Ch04A_45,Example 5,令
18、Pn為所有小於等於n次之實數函數所成的集合，試證明若函數之加法及純量乘積均係以單點之方式(pointwise)定義，則Pn為一向量空間。,Ch04A_46,(2) 可知為小於等於n次之實數函數，即cf亦為Pn之元素，所以Pn滿足純量乘法封閉。由 (1)及(2)，我們已經證明向量空間V之子集合Pn確具向量加法及純量乘法封閉性，因此其為V之子空間，當然也就是一個向量空間。,Ch04A_47,Theorem 4.6,令U為向量空間V之子空間，則U包含V之零向量。,Ch04A_48,Example 6,令W為所有具 形式之向量所成的集合，試證明不是R3之子空間。,Ch04A_49,4.5 向量之線性組
19、合,定義： 令v1, v2, , vm為向量空間V之向量，則稱V之任意向量v為v1, v2, , vm之線性組合(linear combination)，若存在有一組純量c1, c2, , cm，使得v = c1v1 + c2v2 + + cmvm,Ch04A_50,Example 2,試問向量(1, 5, 9)是否為(1, 2, 3), (0, 1, 4)及(2, 3, 8)等向量之線性組合,因此(1, 2, 3), (0, 1, 4)及(2, 3, 8)等向量依下列式組合成向量(1, 5, 9)，即向量(1, 5, 9)為(1, 2, 3), (0, 1, 4)及(2, 3, 8)等向量之
20、線性組合， (1, 5, 9) = 3(1, 2, 3) + 2(0, 1, 4) (2, 3, 8)。,Ch04A_51,Example 3,試將向量(4, 5, 5)表示成(1, 2, 3), (1, 1, 4)及(3, 3, 2)等向量之線性組合,因此向量(4, 5, 5)可以由(1, 2, 3), (1, 1, 4)及(3, 3, 2)等向量以無限多種線性組合組成，即(4, 5, 5) = (2r + 3)(1, 2, 3) + (r 1)(1, 1, 4) + r(3, 3, 2),Ch04A_52,Example 4,試證明向量(3, 4, 6)無法表示成(1, 2, 3), (1
21、, 1, 2)及(1, 4, 5)等向量之線性組合,上述系統無解，亦即向量(3, 4, 6)無法表示成(1, 2, 3), (1, 1, 2)及(1, 4, 5)等向量之線性組合。,Ch04A_53,Example 5,試決定向量 是否為 , 及 等向量之線性組合,Solution,檢視下列等式，,可得上式有唯一解c1 = 2, c2 = 3, c3 = 1。,Ch04A_54,Example 6,試決定矩陣 是否為 等矩陣之線性組合,Ch04A_55,比對各元素可得下列線性方程式系統,上述系統有唯一解，即 c1 = 3, c2 = -2 及 c3 = 1，因此給定之矩陣可以下列方式由其他三個
22、矩陣線性組合而成，即,若上列線性方程式系統為無解，則表示給定矩陣無法表示成其他三個矩陣之線性組合。,Ch04A_56,Example 7,檢視下列等式，c1g c2h = f亦即c1(x2 + 3x 1) c2(2x2 x + 4) = x2 + 10x 7整理可得(c12c2) x2 + (3c1 c2)x c1 4c2 = x2 + 10x 7比對等號二側，可得下列方程式系統 上式有唯一解c1 = 3, c2 = 1因此，函數f為等g及h二向量以f = 3g h方式組成之線性組合。,試決定函數f(x) = x2 + 10x 7是否為g(x) = x2 + 3x 1及h(x) = 2x2 x
23、 + 4二函數之線性組合,Solution,Ch04A_57,定義： 一組向量v1, v2, , vm生成(span)個向量空間，若該空間的每一個向量都可以表示成這組向量之線性組合。,生成集合,Ch04A_58,比對可得線性方程式系統利用高斯喬丹消去法可求得上列系統之解為,因此可知向量(1, 2, 0), (0, 1, 1)及(1, 1, 2)生成R3，亦即我們可以將R3的任意向量表示成這組向量的線性組合如下，(x, y, z) = (3x y z)(1, 2, 0) + (4x + 2y + z)(0, 1, 1) + (2x + y + z)(1, 1, 2)而利用這個向量公式，我們可以迅
24、速求得以(1, 2, 0), (0, 1, 1)及(1, 1, 2)的線性組合表示R3中任意向量的等式，例如我們希望知道(2, 4, 1)的表示式，則令, 及並代入上式，即可得(2, 4, 1) = 3(1, 2, 0) (0, 1, 1) (1, 1, 2),Ch04A_59,Example 9,試證明下列矩陣生成2 2矩陣所組成之向量空間 M22,Ch04A_60,Theorem 4.7,令v1, v2, , vm為向量空間V之一組向量，而U為所有v1, v2, , vm線性組合而成之向量所組成的集合，則U為由v1, v2, , vm所生成之V的子空間。U稱為由v1, v2, , vm所構
25、建(generate)之向量空間。,Ch04A_61,令c為任意純量，則cu1 = c(a1v1 + + amvm)= ca1v1 + + camvm即cu1為v1, v2, , vm之線性組合，因此cu1在U之中，亦即U對純量乘積封閉；故可知U為V之子空間。此外，由U之定義可知：U中任一向量均為v1, v2, , vm之線性組合，因此v1, v2, , vm生成U。,Ch04A_62,Example 10,考量向量空間R3，向量(1, 5, 3)及(2, 3, 4)均在R3之中，令U為R3之子集合，且其所有向量均具下列形式 c1(-1, 5, 3) + c2(2, -3, 4)則U為由(1,
26、 5, 3)及(2, 3, 4)所生成之R3的子空間。下列為部份指定c1及c2數值後所得之U中向量：c1 = 1, c2 = 0；向量(1, 5, 3)c1 = 0, c2 = 1；向量(2, 3, 4)c1 = 0, c2 = 0；向量(0, 0, 0)c1 = 2, c2 = 3；向量(4, 1, 18)我們可由檢視U的幾何意義。事實上，U為所有由(1, 5, 3)及(2, 3, 4)所定義之向量組成的一個平面（詳圖4.17）。,Ch04A_63,Ch04A_64,我們可一般化上式的結果。令v1及v2為向量空間R3之向量，則由v1及v2構建之子空間U的元素均為具有c1v1 + c2v2形式
27、之向量，若v1, v2並非共線，則U即為由v1, v2所定義之平面（詳圖4.18）。,Ch04A_65,Example 11,令v1及v2生成向量空間V之子空間U，若k1, k2為二任意純量，試證k1v1及k2v2亦生成U。,Ch04A_66,由幾何可知（詳圖4.19），若v1及v2為R3之向量，且並非共線，則U為三維空間中的一個平面，而(k1v1)及(k2v2)則為分別與v1及v2共線（因成比例）之向量。,Ch04A_67,Example 12,令U為由(1, 2, 0)及(3, 1, 2)所生成之R3子空間，而V為由(1, 5, 2)及(4, 1, 2)所生成之R3子空間，試證明U = V
28、。,Ch04A_68,上列系統有唯一解 因此u可被寫成 亦即u為V之向量。反之，令v = c(1, 5, 2) + d(4, 1, 2)為V之向量，讀者可自行求解得出下式v = (2c + d)(1, 2, 0) + (c d)(3, 1, 2)當然v亦為U之向量。因此U = V，而這個子空間則為通過原點並由(1, 2, 0)及(3, 1, 2)所定義之平面（詳圖4.20）。,Ch04A_69,Ch04A_70,Example 13,令U為由函數f(x) = x + 1及g(x) = 2x2 2x + 3所構建的向量空間，試證明函數h(x) = 6x2 10x + 5在U中。,比對係數可得2b = 6 a 2b = 10 a + 3b = 5上列方程式系統有唯一解c1 = 4, c2 = 3，亦即 4(x + 1) + 3(2x2 2x + 3) = 6x2 10x + 5 因此可知，函數h(x) = 6x2 10x + 5在由f(x) = x + 1及g(x) = 2x2 2x + 3所建構的向量空間中。,
