1、第一章,1-1,第三章,3-2,第三章 基礎機率觀念,本章綜覽,出象空間與事件：介紹名詞定義集合的觀念和運算機率的定義：了解機率的基本性質計次法則：如何計算機率的基礎方法條件機率：了解條件機率的定義與計算方式,何謂機率,機率 (probability): 描述事物的不確定性的一種測度。利用機率的大小，得以刻劃不確定性的高低。,出象空間與事件 - 名詞定義,隨機試驗 (random experiment): 任何一種結果不確定的事物。例如: 投擲兩顆骰子。隨機試驗的特點: 試驗結果無法預知，取決於機會(chance)。出象 (outcome): 隨機試驗的結果。出象空間 (outcome spa
2、ce) 或樣本空間 (sample point): 所有可能的出象所形成的集合。隨機事件 (random event): 不同出象所形成的集合。若 A 只包含一個出象，則 A 稱作單一事件 (singleton)。空集合也視為一個隨機事件。,出象空間與事件 - 實例,投擲一顆骰子可被視為一個隨機試驗。投擲一顆骰子的結果就是出象。投擲一顆骰子的出象空間為1 點, 2 點, 3 點, 4 點, 5 點, 6 點2 點, 3 點、1 點, 3 點, 5 點 、5 點 等都算是事件，其中 5 點 就是單一事件。,集合的運算,每一事件即為出象空間的子集合，故事件的關係可透過集合的運算表現。 聯集(uni
3、on)：兩個事件 A 和 B 的聯集是一個新的集合 (事件)，其中的出象屬於 A，或屬於 B，或者同時屬於兩者。AB = : A 或 B. 交集 (intersection)：兩個事件 A 和 B 的交集也是一個新的集合 (事件)，其中的出象必然同時屬於 A 也屬於 B。AB = : A 且 B.,常用集合運算的工具 - 范式圖,以下兩圖為范式圖 (Venn diagram) :圓形代表事件。陰影部分則分別為 A 和 B 的聯集與交集。,聯集與交集的運算法則,A、B 和 C 為同一出象空間中的三個事件交換律 (commutative law) AB = BA, AB= BA結合律 (assoc
4、iative law) A(BC) = (AB)C, A (BC) = (AB)C 分配律 (distributive law) A(BC) = (AB)(AC), A(BC) = (AB)(AC),運算法則運用的實例,例 3.5：投擲一顆骰子，事件 A = 1 點, 2 點 ，B = 2 點, 4 點, 6 點，C = 2 點, 3 點, 4 點。交換律： AB = 1 點, 2 點, 4 點, 6 點 = B A 。結合律： A(BC)= 5點C = (AB)C 。 A(BC) = 2點 = (AB)C 。分配律： A(BC) = 2點 = (AB)(AC) 。 A(BC) = 1 點,
5、2 點, 4 點 = (AB)(AC) 。,互斥事件與補集,互斥事件 (mutually exclusive events): 兩個事件 A 和 B 沒有共同的出象 (兩者交集為空集合) 。定義事件 A 的補集 Ac (complement) 為不屬於 A 的出象所形成的集合。 A 和 Ac 必為互斥事件 。,迪摩根定律,A 和 B 為同一出象空間中的兩個事件，則 (AB)C = ACBC (A B)C = AC BC,=,先取補集再作交集,機率的定義,機率就是用來測度出象空間中各個事件發生的機會。隨機試驗的機率 P 必須滿足下列的條件：對任何事件的機率值大於等於 0。整個出象空間的機率值為
6、1。對任一組互斥事件，這些事件的聯集的機率等於個別事件機率值的總和。,機率的性質,根據機率定義中的第一個性質，機率必定不為負數。當 A 為 B 的子集合時，令 BA 代表事件 B 中不屬於 A 的出象所成的集合，則根據機率的第三個性質， P(B) = P(A) + P(BA)一個集合的機率必然不小於其任何一個子集合的機率。機率 P(AB) 稱為 A 和 B 的聯合機率 (joint probability) 。加法法則 (addition rule) : 若 A 和 B 為同一出象空間中的兩個事件，則 P(AB) = P(A) + P(B) P(AB)若 A 和 B 為互斥事件，則 P(AB)
7、 = P(A) + P(B),計次法則,若一個出象空間有 n 種可能的出象，且每一個出象的機率都相同，根據機率的第一個性質可以知道每一個出象的機率都是 1/n 。若一個隨機試驗會產生很多個相同可能的出象，計算這些出象的數目即是計算機率的基礎。有時出象的數目可能太龐大，列舉所有出象便會變得非常困難而不可行。這時可以使用計次法則 (counting rule) 來計算各種事件出象的總數。,計次法則 - 乘積法則,一個隨機試驗若包含一系列的步驟 (step) 或試行 (trial)，乘積法則 (product rule) 指出此試驗所有可能的出象總數即可由每一步驟 (或試行) 所可能產生的出象數目相
8、乘而得。 例如：擲一顆骰子 2 次，則每一步驟 (試行) 均有 6 個可能的出象，此試驗於是總共有 6 6 = 36 個可能出象。例如：對 n 個產品作品管檢查，每一次檢查均有兩個可能的出象。整個檢查共有 2n 種可能的結果。,計次法則 - 排列,排列 (permutation) : 物件依次放置的方式。N 個物件作排列有幾種排列方式？有 N 個選擇來決定那一個物件置於第一個位置; 一旦第一個位置確定了，只有 N-1 種選擇來決定第二個位置的物件。依此類推，將 n 個物件排列於 m 個位置則共有 nPm 種排法。 不同的順序應視為不同的排列方式。,計次法則 - 組合,組合 (combinati
9、on): 不考慮排列順序的物件選取方式。當由 n 個物件中挑選 m 個物件，在此 m 個物件中誰先誰後並沒有意義。例如: 只選擇一班中的三人而不管其排名先後。從 n 中取 m 的組合方式為,計次法則 - 例題3.11,在一個 50 人的班級中，前三名共有 50P3 = 50 49 48 = 117600 種可能的排列方法。但若不論排名，則共有 50C3 = 50P3 /3! =19600 種組合方式。,條件機率,在一個隨機試驗中，若知道事件 B 已經發生，此時這個試驗可能的出象就不再是整個出象空間，而會縮小到事件 B 的範圍。因此，其他事件發生的機率也可能受到影響。在已知事件 B 發生的狀態下
10、，事件 A 發生的機率為條件機率 (conditional probability) 表示成 P(A|B)。若 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)，則 A 和 B 為相互獨立(independent) 的事件。否則這兩事件是相依 (dependent) 的事件。,條件機率 - 例 3.14,某一隨機試驗有 10 個相同可能的出象，其中事件 A 包含了 4 個出象，事件 B 則有 6 個出象，而 A 和 B 的交集中有 2 個出象。則P(A) = 4/10 = 0.4 ；P(B) = 6/10 = 0.6。P(AB) = 2/10 = 0.2。P(A|B) = 2/6 =
11、 0.33 = P(AB) / P(B) 。P(B|A) = 2/4 = 0.5 = P(AB) / P(A) 。也可以得知 A 和 B 不為獨立的事件。,第三章,3-22,條件機率,條件機率可由聯合機率與非條件機率相除而得。乘法法則 (multiplication rule): A 和 B 為同一出象空間中的兩個事件，則 P(AB) = P(A|B)P(B)= P(B|A)P(A) 若 A 和 B 相互獨立，則 P(AB) = P(A)P(B)當 P(A) 和 P(B) 不為零時，A 和 B 不可能同時為互斥與獨立事件。,第三章,3-23,條件機率,簡單貝式定理 (Bayes Theorem): 若 A 和 B 為同一出象空間的兩個事件且 則,
