1、量 子 力 学(Quantum Mechanics),西华师范大学 物理与空间科学学院,1,研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。,2,第一章 绪 论,本章主要介绍经典理论遇到的问题，以及量子力学产生的过程。,3,绪 论（1）,(一）经典物理学 19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段，其各个分支已经建立起系统的理论：经典力学从牛顿三大定律发展为分析力学；牛顿的光学也发展起来，被后来的波动光学取代；电磁学也发展起来了；热学，建立了以热力学定律为基础的宏观理论，同时， 玻尔兹曼、吉布斯建立了称之为统计物理学的微观理论。,4,物理理论促进了
2、生产力的发展：第一次工业革命（1760-1840）,以蒸汽机的发明和应用为标志。第二次业革命（1870-1900），电力的广泛应用。,（1）黑体辐射 （2）光电效应 （3）原子结构的玻尔理论 （4）微粒的波粒二象性,5,绪 论（2）,黑 体 辐 射,1. 产生背景,实验发现： 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料无关。,6,现实生活中，炼钢炼铁所得出的结果。,黑体：能完全吸收射投射在上面的辐射而无反射的物体。,短波部分与实验吻合,维恩解释：从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：,7,2. 理论解释,维恩位
3、移定律,瑞丽-金斯线,长波部分与实验吻合，短波部分则明显不一致,出现紫外灾难。,瑞利-金斯解释：从经典电动力学和统计物理出发，得到一个分布公式：,8,瑞利,惰性气体氩的发现（62岁获诺贝尔奖）,金斯,普朗克,能量量子的提出（60岁获诺贝尔奖）,维恩,维恩位移定律（47岁获诺奖）,10,因此，黑体与辐射场交换能量只能以为单位进行，亦即黑体吸收或发射电磁辐射能量的方式是不连续的，只能量子地进行，每个“能量子”的能量为,普朗克的解释：,1900年12月14日普朗克假定： 黑体以 为能量单位不连续地发射和吸收频率为 的辐射，而不是像经典理论所要求的那样可以连续地发射和吸收辐射能量。,h =6.6255
4、910-34 焦耳秒,黑体辐射公式,11,讨论：,12,普朗克公式,维恩公式,瑞利-金斯公式,可见由维恩、瑞利-琼斯分别从经典物理学导出的黑体辐射能量密度公式仅是普朗克公式在两种不同特例条件下的近似结果。,注：Planck的“能量子”假说与经典物理中振子的能量是连续的相抵触。可见，Planck理论突破了经典物理学在微观领域的束缚，打开了认识光的粒子性的大门。,1918年Planck由此获得诺贝尔物理学奖,1.光电效应 当波长较短的可见光或紫外光照射到某些金属表面上时,金属中的电子就会从光中吸取能量而从金属表面逸出的现象。,金属板释放的电子称为光电子,光电子在电场作用下在回路中形成光电流。,光
5、电 效 应,13,结论3：单位时间内,受光照的金属板释放出来的电子数和入射光的强度成正比。,14,结论2：光电子从金属表面逸出时具有一定的动能，最大初动能与入射光的强度无关。,结论1：光电子从金属表面逸出时的最大初动能与入射光的频率成线性关系。当入射光的频率小于截止频率时，不管照射光的强度多大，不会产生光电效应。,经典的电磁波理论无法解释以上现象！,2. 理论解释,15,光电效应的解释,光照射到金属表面，能量为 的光子被电子吸收。电子把吸收的这部分能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分则是离开金属表面后对应的动能。表达式为：,爱因斯坦（43岁获诺奖）,“光量子”的观点：爱因斯坦指出，
6、电磁场不仅发射和吸收时以能量为 的微粒形式出现，在传播过程中同样以该能量单位以光速c运动，这种粒子叫做光量子，简称“光子” 。,束缚能,截止频率,16,光子的能量,光子的动量,波矢量,相对论中能量动量关系,得到光子的能量动量关系,以上两个关系式，体现了光的粒子性和波动性，即，波粒二象性。,光子的动量,康普顿实验,17,3. 实验验证,经典电动力学表明：电磁波被散射后，波 长不应该发生改变。如果这个过程看成是光子与电子的碰撞过程，则该效应很容易得到理解.,18,波长随散射角的增加而增加。,实验结果,理论证明,由能量和动量守恒定律，可以得到：,（1.2.*）,20,我们需要的光子被散射后的波长情况
7、，因此，这里将1.2.8和1.2.7联立求解，消去 ；同时，电子速度也不是我们需要的，也应该消去。将1.2.6平方后后，联立刚才消去 后的方程的求解，得到,电子的康普顿波长,此式不仅再次证明了普朗克爱因斯坦关系式的正确性，还第一次证实了在微观单个碰撞事件中，动量守恒定律和能量守恒定律仍然成立。,21,1923年威尔逊云室实验观测到了反冲电子轨迹；验证了康普顿解释。,康普顿和威尔逊获得1927年诺贝尔物理学奖。,22,在新的理论中，Planck常数 起着关键作用，当 h 的作用可以略去时，经典理论是适用的，当 h 的作用不可忽略时，经典理论不再适用。因此，凡是 h 起重要作用的现象都称为量子现象
8、。,Planck常数：,h =6.6255910-34 焦耳秒,汤姆逊“西瓜”式模型 粒子实验相矛盾,卢瑟福核式模型原子核在原子的中心，电子绕原子核做高速旋转。,问题1：原子的稳定性问题。根据经典电动力学，电子环绕原子核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的能量变得越来越小，因此，绕原子核运动的电子，终究会因大量损失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”了，但是，现实世界表明，原子稳定的存在着。,23,原子结构的玻尔理论,原子结构,原子光谱,光谱是电磁辐射的波长成分和强度分布的记录；有时候只是 波长成分的记录。,线状光谱：光谱上的谱线分明、清晰；原子所产生。,带状光谱：谱长分段
9、密集；分子产生。,连续光谱：谱线连续变化；固体加热所产生。,这说明不同的光谱，发出机制不同。,问题2：,光谱总是线状的，谱线有一定的位置，即谱线彼此分立，且有确定的波长。经典理论无法解释。,25,氢原子光谱规律,赖曼系（m=1）,帕邢系,巴尔末系 （m=2）,布喇开系,玻尔量子假设,为了解释氢原子光谱的实验事实，玻尔于1913年提出了他的三条基本假设：,a. 定态假设：电子绕核作圆周运动时，只在某些特定的轨道上运动，在这些轨道上运动时，虽然有加速度,但不向外辐射能量，每一个轨道对应一个定态，而每一个定态都与一定的能量相对应。,27,c.角动量量子化假设：电子处于稳定的轨道上时,角动量是量子化的
10、.,b.频率条件：电子并不永远处于一个轨道上，当它吸收或放出能量时，会在不同轨道间发生跃迁，跃迁前后的能量差满足频率法则：,按照玻尔（Bohr）理论，在原子内存在一系列分立的能级，如果吸收一定的能量，就会从低能级向高能级跃迁，从而使原子处于激发态，而激发态的原子回到基态时，也必然伴随有一定频率的光子向外辐射。,夫兰克-赫兹实验,光谱实验从电磁波发射或吸收的分立特征，证明了量子态的存在; 而夫兰克-赫兹（Frank-Hertz）实验用一定能量的电子去轰击原子，把原子从低能级激发到高能级，从而证明了能级的存在。,海因里希鲁道夫赫兹,夫兰克赫兹实验的改进,夫兰克赫兹实验装置,索末菲量子化条件,191
11、6年，索末菲（81次提名，6学生获奖）对玻尔的圆轨道模型作出了修正，提出了椭圆轨道模型，把电子绕核的运动由一维运动推广为二维运动，并用两个量子数 n，L 来描述这个系统。,玻尔理论缺陷,1. 该理论不能推广到复杂的原子。,3. 仍然把微观粒子看成是经典的粒子，因而把经典力学的规律用在微观粒子上。,2. 该理论不能给出谱线的强度。,德布罗意原来学习历史，后来改学理论物理学。他善于用历史的观点，用对比的方法分析问题。 1923年，德布罗意试图把粒子性和波动性统一起来。1924年，在博士论文关于量子理论的研究中提出德布罗意波,同时提出用电子在晶体上作衍射实验的想法。 德布罗意的老师郎之万不能确定该理
12、论的正确性。就把资料寄给爱因斯坦，得到爱因斯坦的高度评价：物质波思想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一角”。,法国物理学家，1929年诺贝尔物理学奖获得者，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。,32,绪 论（3）,德布罗意,德布罗意关系式,与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波，称为德布罗意波长。,德布罗意关系式还可以写成,式中， ：角频率； 表示传播方向上的单位矢量。,一个质量为m的实物粒子以速率 v 运动时，即具有以能量E和动量P所描述的粒子性，同时也具有以频率n 和波长l所描述的波动性。,德布罗意关系,34,德布罗意波,与自由粒子联系的波是一个单色平面波。频率为v，波长为，沿单位
13、矢量 r方向传播的平面波可表为：,复数形式,35,德布罗意波,电子衍射实验（戴维逊-革末实验）：,物质波验证试验,36,将电子束正射到镍单晶上，观测散射电子束的强度和散射角之间的关系。,实验发现：散射电子的强度随散射角而改变，但散射角取某些确定值时，强度有最大值。这种现象与X射线的衍射现象相同。,衍射最大值公式,德布罗依关系,衍射最大值公式,实验测得的值与根据德布罗依关系式计算的值十分接近，证实了物质波波动性的客观存在，而且还定量地证明了德布罗依关系式的正确性。,德布罗依关系,37,物质波验证试验-戴维逊-革末试验,证实了德布罗意的电子波动性假说。,戴维逊（56岁获诺奖）,革末,汤姆逊（50岁
14、获诺奖）,2、汤姆逊实验,1927年，汤姆逊在实验中，让电子束通过薄金属膜后射到照相底片上，结果发现，与X射线通过金箔时一样，也产生了清晰的电子衍射图样。,1993年，Crommie等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜（111）表面上的铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形量子围栏，用实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波(“量子围栏”)，直观地证实了电子的波动性。,3、电子通过狭缝的衍射实验： 1961年，约恩孙 (Jonsson)制成长为50mm，宽为0.3mm ，缝间距为1.0mm的多缝。用50V的加速电压加速电子，使电子束分别通过单缝、双缝等，均得到衍射图样。,39,40,X射线经晶
15、体的衍射图,电子射线经晶体的衍射图,41,作 业P11-121.1-1.5,42,第二章 波函数和薛定谔方程,波函数的解释,粒子在势阱中运动等特例,波函数满足的方程,波函数的性质,德布罗意波描述自由粒子的波函数为,1. 波函数,波函数是如何描述粒子的物理现象？,那么,一般粒子的波函数如何描述？,2.1 波函数的统计解释,波与粒子，谁是最基本的？,电子衍射实验表明：单个电子就具有波动性,衍射图像不是由粒子间的相互作用产生。,2. 波函数的解释,波由粒子组成,是大量粒子运动的表现。,那么，粒子将被视为局限在一个很小范围内的波包。波包是由不同频率的单色波线性叠加组成，在介质中传播，由于传播速度不一样
16、，波包将会迅速扩散，导致波包的消失。这与粒子的局域性相矛盾。,粒子由波组成,谁是最基本的？描写粒子的波函数表示了什么？,因此，经典意义上区分“谁是最基本的”非常困难。同样，在经典意义上解释与之对应的“波函数”也是非常困难的。玻恩从统计方面给出了解释。,马克思玻恩贡献：,马克思玻恩(18821970),创立矩阵力学,波函数的解释,开创晶格动力学,哥丁根是很有名望的国际理论物理研究中心。,研究晶体原子在平衡点附近的振动和这些振动对晶体物理性质的影响的学科。,哥丁根大学，全世界第一所在教学和科研上具有自由空气的大学。数学上，高斯、黎曼、克莱因、希尔伯特、韦耳、冯卡门，冯诺依曼，物理上，玻恩，劳埃，奥
17、本海默、康普顿、狄拉克、鲍林、洪德和约旦，等先后再次学习和工作。,玻恩的研讨班上，愚蠢的问题不仅允许，而且受欢迎！,玻恩的统计解释,波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子在该点出现的概率成比例。,因此，描写粒子的波是概率波。反映微观客体运动的一种统计规律性。,电子衍射实验解释,在电子衍射实验中，照相底片上r点附近衍射花样的强度正比于电子出现在r点附近的几率。,则微观粒子在t 时刻出现在(x,y,z)处附近体积元d内的几率,设粒子状态由波函数 描述，波的强度是,3. 波函数的归一化,在 t 时刻 (x,y,z)附近单位体积内找到粒子的几率是：,几率密度,由于粒子在空间总要出现（不讨论
18、粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为1，即：,从而得常数 C 之值为：,在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为：,注意：波函数必须是绝对值平方可积的函数。,用一个新的波函数替换前面的波函数：,则：,归一化条件。,把 换成 的过程称为归一化， 称为归一化子， 称为归一化的波函数 。,注意：对归一化波函数仍不确定，有一个相因子存在。,量子力学的基本假设（1）：体系的状态用坐标和时间函数 描述，该函数叫做体系的状态波函数。要求该波函数单值、连续和有限。,例：,设一粒子作一维运动，波函数为：,A为任意常数，求：（1）归一化波函数；（2）几率密度w(x)和w(x)最大的位置；（3）在0
19、，a/2内发现粒子的几率。,例题讲解,有,所以，归一化常数 ，而归一化波函数为,（2）几率密度等于归一化波函数模的平方,则,令 ，有,在区域0,a内，只有x=0,a/2,a。再将w(x)对x求二阶导数，,所以只有x=a/2处为几率密度最大值的位置。,（3）在0,a/2内发现粒子的几率,已知一维粒子状态波函数为,求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处出现的几率最大。,例：,归一化常数,(1).求归一化的波函数,解：,归一化的波函数,（2）几率分布：,（3）由几率密度的极值条件,由于,故 处，粒子出现几率最大。,1. 叠加原理,物理学的基本原理之一。介质中同时存在几列声（光）波时，每列波能保
20、持各自的传播规律而不互相干扰。在波的重叠区域里各点的振动的物理量等于各列波在该点引起的物理量的矢量和。,2.2 态叠加原理,在经典物理中，两个可能的波动过程线性叠加后也是一个可能的波动过程：= a1 + b2 。,例：同频率、同振动方向的单色光,两振动相加后，则有,在量子理论，描述粒子运动的波函数如何叠加？,图1.5 电子的双狭缝衍射,2. 态的叠加原理,1 表示粒子经过上缝到达B点的状态， 2 表示粒子经过下缝到达 B点的状态。 表示粒子经过两缝到达B点的状态，可以写为：,= C11 + C22 。,= C11 + C22 （C1和C2为复数）,态的叠加原理：如果1和2是体系的可能状态，那么
21、，他们的线性叠加也是这个体系的一个可能状态。,理解：（1）当粒子处于态1和态2的线性叠加态时，粒子既处在态1，又处在态2 ，且分别处于态1和态2的几率是确定，它们分别是C1和C2 模的平方。,（2）对于体系的力学量，如力学量 ，如果在 1下的值是a1 ,在2 下的值是a2 ，则在 =c11+c22的态，它的值可能是a1 ,也可能是a2 ，而测得 a1， a2的相对几率是完全确定的 。,态叠加原理，导致了粒子各种力学量观测值的不确定性，是由微观粒子的波粒二象性所决定的。,（3）态函数 应随时间演化，它所描述的是体系的运动状态，应满足波体系运动方程。在这种情况下，态叠加原理中 都应满足体系的运动方
22、程，这必然给该运动方程加上线性方程的要求。,若1 ，2 ,., n ,.是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 = C11 + C22 + .+ Cnn + .(其中 C1 , C2 ,.,Cn ,.为复常数)也是体系的一个可能状态。 粒子处于态的体系中，即粒子部分的处于 1态，部分的处于2态.，部分的处于n，.,态叠加原理一般表述方式,粒子在屏上P点出现的概率密度为,|2 = |C11+ C22|2 = (C1*1*+ C2*2*) (C11+ C22) = |C1 1|2+ |C22|2 + C1*C21*2 + C1C2*12*,干涉项，相互作用产生衍射。,经缝在点的几率密度,经缝
23、1在点的几率密度,一个具有确定动量p运动的状态用波函数表示,经晶体表面反射后，粒子的动量可以为各种取值。因此，根据线性叠加原理，粒子的状态为,以下将证明：任何一个波函数都可以由不同动量的平面波叠加。,3. 态叠加原理的应用,即，需要证明,证明方法： 乘以上式两端，并积分，利用delta函数的性质得到。,叠加系数为,与波函数比较,两式互为傅里叶变换式，在数学上完全相互决定，而在物理上他们是完全等价的，他们是对体系同一状态的两种不同描述方式 。,或 能够完全的描述一个微观体系的状态。因为：一个波函数 给定后，不仅粒子的位置几率分布确定了，而且它的动量几率分布 ，以及其他所有力学量的几率分布都确定了
24、。,表示在该状态中粒子位置取值几率,表示在同一状态中体系的动量取值几率,量子力学的基本假设（2）：如果1和2是体系的可能状态，那么他们的线性叠加也是这个体系的一个可能状态。,2.3 量子力学基本假设：薛定谔方程,所讨论的是粒子状态随时间变化所遵循的规律。,埃尔温薛定谔（ 1887年1961）,埃尔温薛定谔,建立了量子力学的 “波动形式”,证明了与“矩阵形式”等价。,2. 生物学方面，发展了分子生物学奠定了分子系统发生学，成为现 代进化论的基础。 生命是什么提出了负熵概念。现在的DNA证实了它的语言“遗 传密码的信息存在于非周期的有机大分子中”。 “生命是以量子为基础的，量子跃迁可以引起基因的突
25、变”。,奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，发展了分子生物学。,(1) 方程是含有对时间微商的微分方程。,运动方程满足的条件,(2) 方程是线性的。,(3) 方程的系数不应含有状态的参量。,(4) 满足对应原理，玻尔提出，在量子数很大而改变很小的情况下，量子理论所得的结果应趋近于经典物理学的结果，反之亦然。,运动方程的建立,采用自由粒子的波函数,将波函数对时间求偏导，得到,将波函数对坐标求微商，得：,再次求微商，得：,同理可得,所以，对空间坐标二次微商得到：,令：,利用非相对论的能量动量关系：,得到：,该方程满足前面的所有条件。,该方程称为薛定谔方程的特殊形式。,粒子的能量和动
26、量的作用相当于：,我们称以上为能量算符和动量算符。,方程的建立：我们把能量动量关系式两边分别作用在一个波函数上，然后，算符化能量动量，就得到微分方程。,该方程称为薛定谔方程，也常称为波动方程。,一般情况下，粒子处于某种势中，此时，能量动量关系满足,两边同时作用于波函数,算符化，得到,1、 薛定谔方程是量子力学的一条基本假设。,体系状态随时间的演化由薛定谔方程描述，即,2、 它是线性微分方程，其解有叠加性，且不含状态参量。,3、 满足对应原理。,4、 薛定谔方程给出了态函数随时间变化的规律。,5、 它是非相对论的波动方程。,讨论,关于薛定谔方程,建立过程：在一次学术报告，主持人德拜说：今天的报告
27、意义不大，能否说说德布罗意的物质波。第二次会议上，薛定谔介绍了该工作。德拜又问：既然是波，波动方程是什么？过了一段时间后，就找到了薛定谔方程（1925-1926）。,2. 在索末菲邀请，维恩主持的报告中，海森堡提问：这个理论没有 不连续性，如何得出量子效应？3. 玻尔邀请，参会者提问：波是什么波，与粒子的关系？答：粒子 就是波包。问：该波包的各个频率成分的波速不一样，发生色散 。那么波包会散开消失，粒子就不存在。,多粒子体系的薛定谔方程,体系能量为：,mi ，pi分别表示第i个粒子的质量和动量，Ui表示第i个粒子所受到的外场。 则多粒子体系的薛定谔方程为,量子力学的基本假设（3）：体系的状态波
28、函数满足薛定谔方程。,2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律,前面内容讨论了波函数随时间变化的情况，此节，我们将讨论粒子在一定空间区域内出现的概率随时间变化的关系。,粒子几率守恒,将上式两边对时间求导，得到,在 t 时刻 r 点周围单位体积内，粒子出现的概率（概率密度）是：,（2.4.2）,波函数满足薛定谔方程，因此有,将上面方程两边同时除以,它所对应的共轭复数为,将上面两个式子带入公式（2.4.2），得到,令,则,该方程为概率（粒子数）守恒定律的微分形式，它具有连续性方程的形式。在空间闭区域V中将上式积分，则有：,高斯定理,（2.4.5）,等式左边表示单位时间内体积V内概率的增加，右边表示矢量J
29、在体积V的边界面S上法向分量的面积分。,解释为概率流密度矢量，它表示单位时间内流过S面上单位面积的概率。 公式（2.4.7）这是概率（粒子数）守恒的积分表示式。,如果体积V包含所有的空间，则,（2.4.7）,因此，,波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。,（1）由于几率守恒，空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。,讨论：,（2）几率守恒定律是波函数的统计解释和薛定谔方程的推论，并不是量子力学中的一条独立假设。,（3）要求几率密度和几率流密度的具有连续性，因此，根据它们的表达式可知：波函数在空间坐标的变化全部区域内应是连续
30、的，且有连续的微商。,（4）如体系由大量的、完全相同的、且无相互作用的粒子构成， 且它们都处于相同的状态，有,（5） 质量守恒定律,以m乘连续性方程等号两边，得到：,质量密度,质量流密度矢量,其中，我们定义,（5） 电荷守恒定律,以q乘连续性方程等号两边，得到：,其中，我们定义,电荷密度,电荷流密度矢量,单值、连续、有限。,什么样的函数才能作为波函数？,波函数标准条件,2.5 定态薛定谔方程,在2.3我们学习了薛定谔方程，现在我们来讨论薛定谔方程解的情况. 在本节，我们暂时只讨论势能 与时间无关的情况。,分离变量法,核心：偏微分方程常微分方程,4. 利用初始条件，确定解中的待定常数。,解题步骤
31、：,1. 将偏微分方程化简为常微分方程（U=XT)。,2. 利用边界条件，确定固有值和固有函数。,3. 确定形式解。,体系状态随时间的演化由薛定谔方程描述：,定态薛定谔方程,如果 不含实间，可用分离变量的方法求解方程。其中，一种特解为：,将其代入薛定谔方程：,左右两边都是相互独立的，与变量无关，故可设一常量E表示。,波函数,因此，等式左右两边可分别改写成,因此，薛定谔方程的特解形式：,波函数的角频率是确定的 .由德布罗意关系可知：E 就是体系处于波函数(r,t)所描写状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态。,定态薛定谔方程,定态波函数,周期变化,用 乘,用 乘,发
32、现此定态波函数满足以下方程,作用相同,哈密顿算符,（2.5.6）,因此,上式（2.5.6）便可以改写成为,在数理方法中，一个算符作用于一个函数得到了一个常数乘以该函数，这种方程叫做本征值方程。,当体系处于能量算符本征函数所描述的状态（能量本征态）时，粒子的能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相对应的能量算符的本征值。,上面方程称为本征值方程，其中 称为算符 的本征值， 称为算符 属于 的本征函数。,一般来说，每一个E值都有相对应的解 ，但是，这些解还需要满足物理要求，如单值、连续、有限等。,那么，含时的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函数的线性叠加：,式中复数 是常数。,1.概率
33、密度与时间无关,概率密度和概率流密度,2.概率流密度与时间无关,概率密度和概率流密度,3.力学量的平均值与时间无关,概率密度和概率流密度,课后习题p44, 2.1 2.2,作 业,本节将用薛定谔方程处理简单的一维定态问题。这些问题中势能都是不含是时间的函数。 一维定态问题是许多复杂问题的基础，这类问题数学处理简单，可以展现量子体系的许多特征。,2.6 一维无限深势阱,用48个Fe原子排成直径为14.3nm的圆形围栏蒸发到Cu表面，围栏形成一个势阶围住栏内处于铜表面的电子，故称作“量子围栏”。,电子的运动在栏内形成同心圆状的驻波,引 子,在密闭容器中的一个气体分子可以在两壁之间来回弹射，而不会跑
34、到容器之外。,粒子被无限高的势能壁束缚在空间的某个区域内,在很粗略的近似下，可以认为电子在金属内部自由的运动，但不会自发的跑到金属表面之外。,抽象模型,在势阱外：,粒子在（-a,a）内自由运动（势能为0），粒子不会跑出区域之外，则相应于在|x|a区域势能应为无限大。于是势能函数为：,理论计算,解得：,A和 是待定常数,只有满足标准条件的定态薛定谔方程的解，才是能量的本征函数。,在势阱内：,波函数连续性的条件有：,当x=-a时，,当x=a时，,由归一化条件,归一化的能量本征值函数为：,一般情况下，求解薛定谔方程分为以下步骤：,1. 列出各势区域所对应薛定谔方程 2. 解方程得出特解形式 3. 利
35、用标准条件求解确定方程系数和能量表达式。4. 由归一化条件确定系数,1.能量量子化,在势阱内粒子的能量只能取分立的值，这叫能量量子化。粒子被势能局限在空间一个有限区域的状态叫束缚态。体系能量最低的状态叫基态。此时基态n=1，对应的基态能量为：,讨论,n1的态称为激发态,能量分布是不均匀的，相邻两能级之间的间隔为：,当n很大时有，,n很大时，能量可视为连续，量子力学过渡到经典力学,2.加入时间因子,波函数是由两个沿相反方向传播的平面波叠加而成的驻波。,波函数有n-1个节点，节点数越多，能级越高。而德布罗依波的波长越短，对应的动量和能量越大。,宇称：描述粒子或粒子组成的系统在空间反演下变换性质的物
36、理量。粗略的说，可理解为“左右对称”。,3.波函数的宇称,宇称不守恒定律是指在弱相互作用中,互为镜像的物质的运动不对称. 1956年，李政道和杨振宁在深入细致地研究了各种因素之后，大胆地断言：和是完全相同的同一种粒子(后来被称为K介子)，但在弱相互作用的环境中，它们的运动规律却不一定完全相同。通俗地说，这两个相同的粒子如果互相照镜子的话，它们的衰变方式在镜子里和镜子外居然不一样！用科学语言来说，“-”粒子在弱相互作用下是宇称不守恒的。随后，二人共同提出“弱相互作用中宇称不守恒”定律。由吴健雄用钴60验证。,当n为偶数时,当n为奇数时,本征函数的奇偶性是由势能函数U（x）对原点的对称性引起的。,
37、4.几率密度,粒子位置几率密度分布,势阱内发现粒子的几率密度,在势阱内发现粒子的几率密度随着n的增大起伏增多。,例1：用驻波条件求一维无限深势阱中的粒子的能级。,一维无限深势阱中粒子运动的波函数与两端固定的长度为2a的弦上的驻波相似，按驻波的条件：,解：取,例2：估计在典型的宏观领域和原子领域一维无限深势阱粒子的零点能E1的值。,说明零点能和量子不连续性在宏观领域是微不足道的。,假如：,是一个可见光光子能量的大小，与氢原子的电离能13.6ev一个数量级，在原子尺度上它是一个“大”的能量。,作 业,P44 2.3 2.42.6 2.7,线性谐振子的重要性,求解线性谐振子体系,零点能,厄米多项式,
38、2.7 线性谐振子,线性谐振子：在一维空间内运动的粒子的势为 这种体系就称为线性谐振子。 线性谐振子的重要性在于，一般的，任何一个体系在稳定平衡点附近都可以近似地用线性谐振子来表示。例如，简谐运动，双原子分子中两原子之间的势能等 在经典力学中，简谐运动就是线性谐振子。势能为 ，其坐标与时间的关系是 ：,线性谐振子的重要性,双原子分子中两原子之间的势能，它与两原子之间的距离的函数如图： 在 处,势能有一极小值，这是一个稳定平衡点。在 附近势可以展开成泰勒级数，且在 处，所以U可以近似写成,求解线性谐振子体系,线性谐振子体系的Schrodinger方程为：为方便，引入无量纲变量代替x，它们的关系是
39、 ： 当与 相比可以略去时，上式可写为,该方程的解是：由于波函数的标准条件要求当 时，应有限，所以即我们把写成其中必须满足波函数标准条件. 当有限时，H()有限；当时，H()的行为要保证()有限。,又因为 ，可求得线性谐振子的能级为：由此可见，线性谐振子的能量只能取分立的值，两能级间的间隔均为这和普朗克假设一致。,将它带入上面的薛定谔方程，得到厄米方程：用级数展开的方法将H展成的幂级数，这个级数必须只含有限项，才能在时保证()有限。而级数只含有限项的条件是为奇数.,振子的基态（n=0）能量为：这就称为零点能，它是量子力学中所特有而在旧量子理论中所没有的。 有关光被晶体散射的实验证明了零点能的存
40、在。光被晶体散射是由于晶体中原子的振动，按照量子力学以前的理论，当温度趋向绝对零度时，原子能量趋于零，原子趋于静止，这是不会引起光的散射。实验证明，温度趋向绝对零度时，散射光的强度趋向某一不为零的极限值。这说明即使在绝对零度，原子仍有零点振动。,零点能,而且，引起表面张力，吸附作用等现象的分子间的范德瓦尔斯力，只有用零点能才能得到较好的解释。而其实零点能的存在的根本原因在于，量子力学看到了粒子的波动性。,对于不同的n不同的，厄米方程有不同的解，其解可以用厄米多项式来表示由上式可以看出，Hn() 的最高次幂是 n 其系数是 2n。其满足下列递推关系：,厄米多项式,下面给出前几个厄密多项式：对应于
41、能量的波函数是：称为厄米函数。,是正交归一化因子，它由正交归一化条件可得由上面的厄米函数可得，其满足 即 的奇偶性由n决定，称为n宇称，当为偶数是为偶宇称，n为奇数时为奇宇称。,2.8 势 垒 贯 穿,前面所讨论的是体系的势能在空间某区域都是无限大的情况，波函数在此处为零。我们通过边界条件得出粒子波函数的具体形式。本节将讨论体系势能在无穷远处不为零的情况。这类情况一般都是粒子的能量是预先已知的，属于散射问题。讨论散射定态，即无穷远处有粒子存在，其特点为波函数不能归一化。,对应的物理问题：1. 一些原子核的 衰变过程中，放出的 粒子的动能大约4-9 MeV,但是， 粒子在核表明的库伦势能却高达3
42、0-40MeV,该能量的粒子要克服势能从核中发射出来，是很难从经典理论理解的，需要从量子的观点处理理解。,实际物理问题,2. 场致电子发射：固体内的电子由于受到原子核的吸引作用而被束缚在固体内部。在经典物理理论中，只有当外电场场强达到10的8次方，才能让电子克服原子核的吸引而发射出固体表面。但是，按照量子力学，电子会发生隧穿效应，也就是，电子能够穿过比它的动能更高的势垒。因此，当外电场场强达到10的6次方时，已经有很明显的电子发射现象了。,欲使金属发射电子，可以将金属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所熟知的热发射和光电效应。,势垒贯穿,粒子（能量为E）在一维空间运动的情况,方形势垒,1
43、. E V0情况,E V0三个区域的薛定谔方程的情况：,2. E V0情况,3. 讨论,（1）当k2a 1时,可以得到,说明：透射系数随势垒的加宽和增高急剧减小。见P38图表。,（2）在经典力学中，,当EU2E0（束缚态），试求粒子能量所满足的条件。粒子在 势阱 中运动，求束缚态能级和波函数。,第三章 量子力学中的力学量,基本概念：厄密算符(作用及其基本性质).,基本假设：力学量用算符表示; 状态用厄密算符本征函数表示.,力学量计算：确定值、可能值、平均值.,作用在一个函数得出另外一个函数的运算符号。,1）du / dx = v ，d / dx 就是算符.,2）ax = y，a也是算符。,1
44、算符:,3.1 表示力学量的算符,坐标算符,动量算符,其中 为在给定态 中，测得粒子动量 在 到内的几率。,分部积分,量子力学假设之四：力学量用算符表示。,力学量算符,（6）线性算符（7）复共轭算符（8）转置算符（9）厄密算符（10）幺正算符,（1）特殊算符（2）算符相等（3）算符之和（4）算符乘法（5）函数内积,2 算符的一般性质,(1) 特殊算符,零算符单位算符（或恒等算符）逆算符,注意： 若 , 均存在逆算符,则 ( )-1 = -1 -1,（2）算符相等,若两个算符 、分别作用于任何函数 u的运算结果都相 同，即u= u，则算符 和算符 相等记为 = 。,（3）算符之和,若两个算符 、 对体系的任何函数u 有： ( + ) u= u+ u则 + 称为算符之和。,
