1、第 9 章,力学量本征值 问题的代数解法,引 言,量子体系的能量本征值问题，习惯采用分析解法，即在一定的边条件下，求解坐标表象中的微分方程.这个方法的好处是，常见势场在坐标表象中有简单和直观的表达式.历史上，谐振子和氢原子，很早就用代数方法求出了能量本征值.下面9.1节给出谐振子能量本征值的一种代数解法，9.2节讲述角动量的代数表示，9.3节讨论两个角动量合成的本征值和本征态为问题.,9.1 谐振子Schrdinger 因式分解法,一维谐振子的哈密顿量为,在自然单位制下,为,而基本对易式为,（1）,（2）,（3）,它们的对易式是,（4）,（5）,反变换是,(6),利用式（6）和（5），可将哈密
2、顿量表示为,(7),其中,(8),在任何量子态下,(9),所以,为正定厄米算符.下面证明它的本征值是,整数,(11),因此，谐振子的能量本征值是,(10),证明：设,为,的本征态,利用式（5）和（8），易得,（12）,但,因此,（13）,由此可得,（14）,这说明,也是,的本征态，相应的本征值为,如此类推，逐次用,运算，可得到,的一,系列本征态,相应的本征值依次为,考虑到,为正定厄米算子，其本征值必为非负实数.,设它的最小本征值为,，本征态为,，则,（15）,因此,（16）,这个态是谐振子的最低能态，记为,利用式（13）的前一式，可证明,（17）,这说明,也是,的本证态，本征值是,联合式（16）与(17)，从基态,出发，逐次用,运算，可得到,的全部本征态：,本征值为,本征值为,（18）,所以，,称为升算符，而,称为降算符.,利用归纳法可以证明，,的归一化本征态可表为,（20）,满足,（19）,（21）,利用式（19），可以证明,（22）,再借助于式（6），可求出,和,的矩阵元（加上单位）,（23）,下面讨论能量本征态在坐标表象中的表示式.,先考虑,基态,，它满足,即,（24）,在坐标表象中基态波函数,满足,（25）,解出得,添上自然单位，可得到坐标表象中的归一化基态波函数,（26）,坐标表象中的激发态波函数可表示为,（27）,添上长度自然单位,，升算符为,所以,（28）,
