1、1第一章 证明（二）回顾与思考创意开场白方式 1我们在证明（一）的基础上，已 经完成了证明（二）的内容学 习， 请大家思考：同是证明，证明（二）重在对哪些图 形进行探讨？证法有何新突破？ 带着这些问题，我 们有必要进行简单的回顾。 （教师出示课时课题 、课时目标） 方式 2俗话说“梳理，是一种好的学习习惯”。现在我们已经学完了证明（二）相关内容，下面看那位同学梳理得更完整，更科学？（教师出示课时课题、课时目标） 1 进一步体会证明之必要性。2 会用综合法、反证法证题（重点） 。3 熟练掌握与等腰三角形和直角三角形相关的性质与判定定理，并会灵活应用；会写命题逆命题、能识别真假；会尺规作图。4 在
2、证明中，仔细体会归纳、类比、转化等数学思想方法。1.关上课本，仔细想想本章学习了哪些内容？2.翻阅课本，看有没有遗漏的内容？3.结合讨论，完成下列框架图：过渡语：在全面梳理基础上，让 我们一起来关注几个核心内容。 。例 1 ： 如图所示，已知：ABC 中，BA=BC，ABC=45 0，AD 是 BC 边上的高， F 是 AD 上一点，FD=CD ，连接 FC。求证 EA=EC。证明（二）通过探索、猜测、计算和证明得定理命题逆命题及其真假尺规作图与等腰、等边三角形有关结论与直角三角形有关结论与一般三角形有关结论AB D CEF2分析: 要证 EA=EC,可证明 BF 是线段 AC 的中垂线，又因
3、为 BA=BC,只要证明 BFAC 即可。证明 ADBC, ABD=45 0BAD=45 0 AD=BD。又 CD=DF,ADC=BDF=90 0,RtADCRtBDF, DAC=DBE，又AFE=BFD，AEF=BDE=90 0。即 BFAC。又BA=BC，BF 垂直平分AC。 EA=EC。规律总结： 证明线段相等的思路很多，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是一种方法；此外还可以利用全等三角形的对应边相等，等腰三角形的判定，角平分线上一点到角两边距离相等、等量代换法给予证明。证角相等的思路类似上叙述。【跟踪训练】1. 已知如图，R tABC RtADE ， , 与 相交于点 ，连9
4、0ADEBCBCEF接 EBCD,（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证： F【答案】 （1） ADCABE, CDFEBF,（2） 。 ADERtBCt ,BA, 即 )(SAE BDC,又 F又 E CDFEBF, C32. 如图，C 是线段 AB 的中点，CD 平分 ACE，CE 平分BCD，CD=CE (1)求证：ACDBCE；(2)若D=50，求B 的度数B=70 0例 2: 如图所示，四边形 ABCD 中，B=90 0，AB=3，BC=4 ， CD=12，AD=13,求四边形ABCD 的面积。分析: 这是一个不规则的四边形，可连接 AC 变化成两个三角形，求出这两个
5、三角形的面积，其中ABC 是直角三角形，由勾股定理求出 AC 的长，在ACD 中，由勾股定理的逆定理可判断ACD 是一个直角三角形。解 :连接 AC。B=90 0,AB=3，BC=4，AC 2=AB2+BC2=9+16=25（勾股定理） 。AC 2+CD2=52+122=169，AD 2=132=169，AC 2+CD2=AD2，ACD=90 0（勾股定理的逆定理） 。S 四边形 ABCD=S ABC+SACD = ABBC+ ACCD=36。12规律总结：1.在已知三角形三条边长的情况下，用勾股定理的逆定理可以判断这个三角形是不是直角三角形。2.在一个不规则的四边形中，已知四边形长度求面积，
6、常将四边形变成两个三角形，用勾股定理及其逆定理，进而求两个直角三角形的面积。【跟踪训练】ABCD43.已知一个直角三角形的两边长分别是 3 和 4，第三边的长为 5 或 7。4. 如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又 BDAC，点 B，A，E 在同 一条直线上. (1) 求证：ABDCAE；(2) 如果 AC =BD，AD = BD，设 BD = a，求 BC 的长. 2解答：(1) BDAC，点 B，A，E 在同一条直线上， DBA = CAE,又 , ABDCAE. 3DC(2) AB = 3AC = 3BD，AD =2 BD ，2 AD 2 + BD2 = 8BD2 + BD2
7、= 9BD2 =AB2， D =90, 由（1）得 E =D = 90, AE= BD , EC = AD = BD , AB = 3BD ，313在 Rt BCE 中，BC 2 = (AB + AE )2 + EC2 = (3BD + BD )2 + ( BD)2 = BD2 = 12a2 ,9108 BC = a . 3例 3： 如图已知AOB 内有两点，M ,N.求作一点 P，使点 P 在AOB 两边距离相等，且到点 M,N 的距离也相等。分析：所作的点 P 必在AOB 的平分线上，又在 MN 的中垂线上，它是两线的交点解答：分别作AOB 的平分线，MN 的中垂线,，其交点即为 P.规律
8、总结：尺规作图可帮我们简洁画图，且画出的图形准确美观，我们要明确尺规作图的依据。5.已知ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法） ，并(第 22 题)AMNO B5根据要求填空：(1)作ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D；(2)作线段 BD 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BC 于点 F由、可得：线段 EF 与线段 BD 的关系为 解答：、题作图如下：由作图可知线段 EF 与线段 BD的关系为：互相垂直平分6.如图，G 是线段 AB 上一点， AC 和 DG 相交于点 E.请先作出 ABC 的平分线 BF，交AC 于点 F；（尺规作图，保留作图痕迹，不
9、写作法与 证明 ）然后证明当： ADBC，AD=BC，ABC=2 ADG 时，DE=BF.解：（1）以 B 为圆心、适当长为半径画弧，交 AB、BC 于 M、N 两点，分别以 M、N 为圆心、大于 MN 长为半径画弧，两弧相交于点 P，过 B、 P12作射线 BF 交 AC 于 F（2）证明：ADBC，DAC=C，又BF 平分ABC ，且ABC=2ADG ，D =BFC，又AD=BC，ADE CBF，DE=BF.例 4. 如图，已知：点 B、F、C、E 在一条直线上，FB=CE，AC=DF 能否由上面的已知条件证明 ABED ？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件
10、，添加到已知条件中，使 ABED 成立，并给出证明供选择的三个条件（请从其中选择一个）：AB=ED；BC=EF；ACB= DFE 分析：要证 ABED，必须证得 ABC=DEF，而从FB=CE，AC=DF 条件中不能得到ABC=DEF解答：由上面两条件不能证明 AB/ED.有两种添加方法.第一种：FB=CE，AC=DF 添加 AB=ED证明：因为 FB=CE，所以 BC=EF，又 AC=EF，AB=ED，所以 ABC DEFA所以ABC=DEF 所以 AB/ED第二种：FB=CE，AC=DF 添加 ACB=DFE证明：因为 FB=CE，所以 BC=EF，又ACB=DFE AC=EF，所以 AB
11、C DEFA所以ABC=DEF 所以 AB/ED规律总结：命题有真有假，对命题的证明常见有两种证法：综合法和反证法。当结论很明ED CBA GABDEF C6显，而又不好说理时，我们常常采用反证法。7. 已知下列命题：若 0ab， ，则 0ab； 若 ab，则 2；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；平行四边形的对角线互相平分其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ B ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个8.证明三角形中至少有一个角不小于 600证明：假设三角形三个内角均小于 600那么三内角之和必小于 1800这与“三角形内角和定理”相矛盾，故假设不成立，原结论成立。即三角形中至少有一
12、个角不小于 600例 5. 如图 1，若 ABC， ADE为等边三角形， M， N分别 EB， CD的中点。 （1）当把 ADE绕 A点旋转到图 2的位置时， CD=BE是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当 ADE绕 A点旋转到图 3的位置时， AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由分析：证 CD=BE是否成立，主要看它所在的两个三角形是否全等， AMN是否还是等边三角形，主要看能否符合等边三角形判定定理。解：（1）CD= BE理由如下: ABC 和 ADE 为等边三角形 AB=AC，AE=AD ，BAC=EAD=60 oBAE =BAC EAC =60
13、o EAC，DAC =DAE EAC =60o EAC， BAE=DAC ， ABE ACDCD=BE （2） AMN 是等边三角形理由如下： ABE ACD， ABE=ACDM 、 N 分别是 BE、CD 的中点，BM= 12图 1 图 2 图 3图 8 图 2CNDA ME B图 3CNDA BME7AB=AC，ABE=ACD， ABM ACNAM=AN MAB=NAC NAM=NAC+ CAM=MAB+CAM=BAC =60o AMN 是等边三角形规律总结：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质，等边三角形的判定可据三内角相等或三边相等或有一个角为 600的等腰三角形来
14、证明。几何图形在旋转等变化过程中，弄清楚哪些量发生变化 ，哪些量不变是解题的关键。 9. 如图，在ABC 中，AB =AC，A=36，BD、CE 分别是ABC 、BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有( A)A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个10. 等腰三角形的一个内角等于 40，则它两个底角的平分线所夹的钝角是（ D）A 110 B. 140 C.100或 120 D .110或 1401.（15 分） 如图， ABC中， DE垂直平分 AC交 AB于 E， A=30， ACB=80，则 BCE= 50 2.（15 分）如图，一块三角形玻璃破碎成三块。现需划一块 同样大小的三角
15、形玻璃，为了方便起见，只须带第_块3.（15 分） 如图，ABC 内有一点 D，且 DA=DB=DC，若DAB=20，DAC=30 ，则BDC 的大小是（ A ）A.100 B.80C.70 D.504. （15 分）下列命题中，是假命题的是（ C ） A.全等三角形的对应边相等 B.两角和一边分别对应相等的两个三角形全等C.对应角相等的两个三角形全等 D.相似三角形的面积比等于相似比的平方5. （20 分）若ABC 三边 a、b、c 满足 ，试判定三角形形0|5|4)3(2cba状.解得出 a=3 b=4 c=5 又 32+42=52 得ABC 为直角三角形6.（20 分）如图，在等边三角形
16、 ABC 的顶点 A，C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由 A 向 B 和由 C 向 A 爬行，经过 x 秒后，它们爬行到了 D、E 处。设 DC与 BE 的交点为 F。1 你能判断ACDCBE 吗？若全等，请说明理由。2 蜗牛在爬行过程中 DC 与 BE 所成的BFC 大小EDCBAED CBAACBB CAEDF8有无变化？请说明理由。3 EB、DC 能否同时成为 ABC 的高？解（1）能判断ACDCBE 理由为：AD=CE,BAC=ACB,AC=CB 故ACDCBE（2）无变化。由ACDCBE 得ACD=EBC ，由内角和定理得BFC=180-EBC-DCB=180-ACD-DCB=180-（ACD+DCB）=180-60=120（3）能
