1、实变函数论教学大纲(Functions of Real Variable)课程代码 218.114.1 编写时间课程名称 实变函数论英文名称 Functions of Real Variable学分数 3 周学时 3+1任课教师* 徐胜芝、黄昭波等 开课院系* 数学学院预修课程课程性质：本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修。基本要求和教学目的：通过本课程的学习，学生应熟练掌握关于可测集、可测函数的概念和性质，深刻理解并掌握 Lebesgue积分的理论，并在学习过程中形成抽象思维能力和逻辑推理能力的一个飞跃。课程基本内容简介：本课程主要是以 n维 Euclid空间及其上实值函数为背景，运
2、用点集分析的方法建立测度与积分的理论，具体内容包括：集合、映射，R n中点集的拓朴，可测集和可测函数，积分理论，微分和不定积分。教学方式: 课堂讲授+习题课训练教材和教学参考资料：作者 教材名称 出版社 出版年 月夏道行 实变函数论与泛函分析（上册）高等教育出版社 1984教材自编讲义 实变函数与泛函分析那汤松 实变函数论 高等教育出版社 1958Hewitt E., Stromberg K.Real and Abstract AnalysisSpringer-Verlag 1975参考资料教学内容安排：第一章 集合和 Rn中的点集（10 学时）1 集和集的运算（2 学时）2 映射和势（4 学
3、时）3 Rn中的点集（4 学时）本章教学要求熟练掌握集合的代数运算和极限运算，能应用 Bernstein定理确定一些集合的势，熟悉 Rn的点集拓扑中关于开集、闭集、稠密与疏朗等基本概念。第二章 测度（12 学时）1 外测度与可测集（4 学时）2 测度及其性质（4 学时）3 可测集类（4 学时）本章教学要求：掌握外测度的概念，正确理解 Caratheudory条件，熟练掌握测度及其性质，熟悉一些重要的可测集类，理解不可测集的典型例子。第三章 可测函数（10 学时）1 可测函数及其基本性质（4 学时）2 可测函数列的收敛（4 学时）3 Lebesgue可测函数的结构（2 学时）本章教学要求：熟练掌
4、握可测函数的概念及其基本性质，正确理解并掌握可测函数列几种不同收敛的概念，通过对本章中几个基本定理证明过程的分析，深刻领会实分析中的点集分析方法。第四章 积分（14 学时）1 积分的基本概念及性质（4 学时）2 积分的极限定理（4 学时）3 重积分和 Fubini定理（4 学时）4 一般集上的测度和积分简介（2 学时）本章教学要求：正确掌握积分的定义及其基本性质，牢固掌握并能熟练应用积分的Levi定理，Fatou 定理，Lebesgue 控制收敛定理，掌握乘积测度和重积分的概念，熟练掌握 Fubini定理，了解一般集上的测度和积分理论概要。第五章 导数与不定积分（8 学时）1 有界变差函数及其导数（4 学时）2 不定积分与全连续函数（4 学时）本章教学要求：掌握有界变差函数与全连续函数的概念，掌握有界变差函数的可导性及其正规分解和 Lebesgue分解，掌握 Newton-Leibniz公式成立的充要条件。三、附注本课程可选择采用两种方案讲授，其一是直接建立一般的测度和积分理论，以 Lebesgue测度与积分作为特例；其二是着重介绍 Lebesgue测度和积分理论，而后简述一般测度论的结果，并引导有兴趣的学生自行深入讨论。作业和考核方式：闭卷笔试*如该门课为多位教师共同开设，请在教学内容安排中注明。*考虑到有时同一门课由不同院系的教师开设，请任课教师填写此栏。
