1、 - 1 -江苏省南通市 2011届高三第二次调研测试数学 I一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1 曲线 32yx在点（1,1）处的切线方程是 2 若 5iiab（ ， R，i 为虚数单位） ，则 ab= 3命题“若实数 a 满足 2 ，则 24a”的否命题是 命题（填“真” 、 “假”之一）4 把一个体积为 27cm3 的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为 1 cm3 的 27 个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 5 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题 1 分，全班得 3 分、2 分、1 分和 0 分的学生所占比例分别为 30、5
2、0 、10和 10，则全班学生的平均分为 分6设 (20)(1)MmR， ， ，a和 (1)1)NnR， ， ，b都是元素为向量的集合，则 MN= 7 在如图所示的算法流程图中，若输入 m = 4，n = 3，则输出的a= 8设等差数列 n的公差为正数，若123123580aa， ，则 1 9设 ， 是空间两个不同的平面， m，n 是平面 及 外的两条不同直线从“mn； ；n ；m ”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： （用代号表示） 10定义在 R 上的函数 ()fx满足： ()2)fxf=+，当 35x， 时， ()24fx=-下列四个不等关系： sincos
3、6ff； ssin32ff其中正确的个数是 11在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A、B 分别是双曲线213yx的左、右焦点，ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则 sinC的值是 12在平面直角坐标系 xOy 中，设点 ()1Pxy或、 ()2Qxy或，定义：1212()dPQxy=-+-或 已知点 0B，点 M 为直线 0xy+=上的动点，则使 ()dBM， 取最小值时点 M 的坐标是 13若实数 x，y，z，t 满足 110xyzt ，则 xzyt的最小值为 14在平面直角坐标系 xOy 中，设 A、B 、C 是圆 x2+y2=1 上相异三点，若存在正实数 ， ，使得 OC= AB，则
4、 223的取值范围是 【填空题答案】1. xy2=0 2. 825 3. 真 4. 2675. 2 6. 0， 7. 12 8. 105 9. （或 ） 10. 1 11. 2112. 312， 13. 150 14. 2，二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）如图，平面 PAC平面 B，点 E、F 、O 分别为线段 PA、PB、AC 的中点，点 G 是线段 CO的中点， 4， 2PAC求证：（1 ） 平面 EO；（2 ） FG平面 BPABCOEFG(第 15 题 )- 3 -【证明】由题意可知， PAC为等腰直
5、角三角形，ABC为等边三角形 2 分（1 ）因为 O为边 的中点，所以 BOA，因为平面 P平面 A，平面 P平面 C，B平面 C，所以 面 5 分因为 A平面 ，所以 B，在等腰三角形 P内， O， E为所在边的中点，所以 OEPA，又 BOE，所以 A平面 ；8 分（2 ）连 AF 交 BE 于 Q，连 QO因为 E、F、O 分别为边 PA、PB、PC 的中点，所以 AG，且 Q 是PAB 的重心，10 分于是 2，所以 FG/QO. 12 分因为 F平面 EBO， O平面 EBO，所以 FG平面 EBO 14 分【注】第（2）小题亦可通过取 PE 中点 H，利用平面 FGH/平面 EBO
6、 证得.16 （本小题满分 14 分）已知函数 ()2cos3sin2xxf（1 ）设 或，且 ()1f，求 的值；（2 ） 在ABC 中，AB=1 ， 3fC，且ABC 的面积为 32，求 sinA+sinB 的值【解】 （1） 2()3cosincos2xxfx= (1cos)inx= 2cos6x3 分 由 36，得 16， 5 分于是 2()3xkZ，因为 2x或， 所以 26x或 7 分（2 ）因为 (0)C或，由（1）知 6C PABCOEFGQ- 4 -OA1 A2B1B2xy(第 17 题 )9 分因为ABC 的面积为 32，所以 1sin26ab，于是 23ab. 在ABC
7、中，设内角 A、B 的对边分别是 a，b.由余弦定理得 221cosab，所以 27 由可得 3， 或 .， 于是 23ab 12 分由正弦定理得 sinisin12ABCab，所以 31i2 14 分17 （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy中，如图，已知椭圆 E： 21(0)yxab的左、右顶点分别为1A、 2，上、下顶点分别为 1B、 2设直线 1AB的倾斜角的正弦值为 3，圆 C与以线段 2为直径的圆关于直线 1对称（1 ）求椭圆 E 的离心率；（2 ）判断直线 1AB与圆 C的位置关系，并说明理由；（3 ）若圆 的面积为 ，求圆 的方程【解】 （1）设椭圆 E 的焦距为
8、2c（c0） ，因为直线 AB的倾斜角的正弦值为 13，所以 213ba，于是 28ab，即 228()ac，所以椭圆 E 的离心率 2147.8cea 4 分（2 ） 由 1e可设 0k， 14ck，则 2bk，于是 1AB的方程为： 2xy，故 2O的中点 0k, 到 1AB的距离 d23k， 6 分- 5 -又以 2OA为直径的圆的半径 2rk，即有 dr，所以直线 1B与圆 C相切 8 分（3 ）由圆 的面积为 知圆半径为 1，从而 2k， 10 分设 2OA的中点 10, 关于直线 1AB： 0xy的对称点为 mn, ，则,420nm12 分解得 413n, 所以，圆 C的方程为 2
9、24113xy14分18 （本小题满分 16 分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆 P 上的一段优弧和圆 Q 上的一段劣弧围成，圆 P 和圆 Q 的半径都是 2km，点 P 在圆 Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆 P 上的多边形活动场地（1 ）如图甲，要建的活动场地为RST ，求场地的最大面积；（2 ）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形 ABCD，求场地的最大面积【解】 （1）如右图，过 S 作 SHRT 于 H，SRST = RTH2 2 分由题意，RST 在月牙形公园里，RT 与圆 Q 只能相切或相离； （第 17 题甲）DACBQPNMRSMNP QT（第 17 题乙）- 6 -TQP
10、NMSRMNPQBCAD甲 乙4 分RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有 RT4，SH2，当且仅当 RT 切圆 Q 于 P 时（如下左图） ，上面两个不等式中等号同时成立 此时，场地面积的最大值为 SRST = 142=4（km 2） 6 分（2 ）同(1) 的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆 Q 于 P，再设BPA= ，则有 11 2sin2sin(2)4(sincos)02ABCDS四 边 形 8 分令 cosisny，则 )sin(ico 1cos2 11 分若 0y， 1cs23或，又 3或时， 0y， 2或时， 0y，
11、14 分函数 cosinsy在 3处取到极大值也是最大值，故 3时，场地面积取得最大值为 （km 2） 16 分19 （本小 题满分 16 分）设定义在区间x 1， x2上的函数 y=f(x)的图象为 C，M 是 C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向- 7 -量 OA= 1xf， ， 2OBxf， ， OM=(x，y)，当实数 满足 x= x1+(1 ) x2 时，记向量 N= +(1) 定义“函数 y=f(x)在区间x 1，x 2上可在标准 k 下线性近似”是指“ M k 恒成立 ”，其中 k 是一个确定的正数（1 ）设函数 f(x)=x2 在区间0 ，1 上可在标准 k 下线性近似，求
12、k 的取值范围；（2 ）求证：函数 lngx在区间 1e()mR或上可在标准 k= 18下线性近似（参考数据：e=2.718，ln(e1)=0.541）【解】 （1）由 ON= A+(1) B得到 N= A，所以 B，N，A 三点共线， 2 分又由 x= x1+(1) x2 与向量 ON= A+(1) B，得 N 与 M 的横坐标相同 4 分对于 0，1上的函数 y=x2，A (0，0)，B(1，1)，则有 214MNx，故 104M，；所以 k 的取值范围是 ， 6 分（2 ）对于 1em或上的函数 lnyx，A( 或)，B( )， 8 分则直线 AB 的方程 1(e)emmyx， 10 分
13、令 1()ln()emhxx，其中 1emxR， ，于是 ， 13 分列表如下：- 8 -x em (em，e m+1e m) em+1e m (em+1e m，e m+1) em+1()h+ 0 0 增 1()h减 0则 MNx，且在 1em处取得最大值，又 1 2(e)lnmh0.123 8，从而命题成立 16 分20 (本小题满分 16 分)已知数列 na满足 2*12()naN （1 ）求数列 的通项公式；（2 ）对任意给定的 *kN，是否存在 *pr， （ kpr）使 1kpra， ， 成等差数列？若存在，用 分别表示 p和 r（只要写出一组） ；若不存在，请说明理由；（3 ）证明：
14、存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为 123,na【解】 （1）当 n时， 1a；当 *2N ， 时， 221()n ，所以 ()na；综上所述， *1() 3 分（2）当 k时，若存在 p，r 使 1kpra， ， 成等差数列，则 1231rpkpa，因为 p ，所以 0ra，与数列 n为正数相矛盾，因此，当 时不存在； 5 分当 2k 时，设 kprxyz， ， ，则 12xzy，所以 2xyz， 7 分令 1yx，得 (21)zxy，此时 21ka， 1(2)1payxk，所以 2pk， 43(5)rak，所以 45r；综上所述，当 1时，不存在 p，r；当 2k 时，
15、存在 221,45pkrk满足题设.10 分- 9 -（3 ）作如下构造： 12 32(3)(3)5(5)nn nakakak， ， ，其中 *kN，它们依次为数列 中的第 65项，第 28项，第 103项， 12 分显然它们成等比数列，且 123nna， 123na，所以它们能组成三角形由 *kN的任意性，这样的三角形有无穷多个 14 分下面用反证法证明其中任意两个三角形 1ABC和 2不相似：若三角形 1ABC和 2相似，且 2k，则 11222(3)5(3)5kk，整理得 1253k，所以 12，这与条件 12相矛盾，因此，任意两个三角形不相似故命题成立 16 分【注】1第（2）小题当
16、ak 不是质数时， p，r 的解不唯一；2. 第（ 3）小题构造的依据如下：不妨设 123n，且 123nna， ， 符合题意， 则公比 q1，因 123nn，又 123nna，则 q，所以 512q，因为三项均为整数，所以 q为 5， 内的既约分数且 1na含平方数因子，经验证，仅含 21或 3时不合，所以 12*(3)()nakpN， ；3第（3）小题的构造形式不唯一- 10 -数学 II（附加题）21 【 选做题 】本题包括 A，B，C ，D 四小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分，共计 20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A 选修 41：几何证明选讲自圆 O 外一点
17、P 引圆的一条切线 PA，切点为 A，M 为 PA 的中点，过点 M 引圆 O 的割线交该圆于 B、C 两点，且BMP =100，BPC=40，求MPB 的大小【解】因为 MA 为圆 O 的切线，所以 2C又 M 为 PA 的中点，所以 2MP因为 BPC，所以 B 5 分于是 在MCP 中，由 180PCP，得MPB=20 10 分B选修 42：矩阵与变换已知二阶矩阵 A abcd，矩阵 A 属于特征值 1的一个特征向量为 1 ，属于特征值 24的一个特征向量为 23求矩阵 A【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1，即 1 abcd，得 .abcd， 5 分同理可得 3218abcd， 解得 2321， ， ， abcd因此矩阵 A 231 10 分C选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 2cosin， 为 参 数xy以直角坐（第 21A 题）
