1、2.3 函数的周期性、对称性第 1 页共 4 页2.3 函数的周期性、对称性一、基本知识简述 1 函数的周期性 (1)对于函数 ，如果存在一个常数 T 0，能使得当 x 取定义域内的一切值时，都)(xfy有 ，则函数 叫做以 T 为周期的周期函数.)(Txf)(xfy（2）周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数 .)()Rxaf（3）周期函数具有如下性质：（I） 周期函数的定义域是无界的，（II） 若 T 为 的周期，则 nT 均为 的周期)(xfy)0(nZ且 )(xfy2 函数的对称性若函数 对定义域内一切
2、x)(f(1) = 函数 图象关于 y 轴对称； xf)(f= 函数 图象关于原点对称；.y(2) 函数 图象关于 对称 ；)()(af ax)(2(xfaf函数 图象关于 成中心对称；2xbf )(f),(b证明：若(x,y) 在 y=f(x)上，则(2a-x,2b-y)亦在 y=f(x)上，即 2b-y=f(2a-x)得x)()（3） 与 的图象关于 y 轴对称；fy)(fy与 的图象关于 x 轴对称；x与 的图象关于原点对称；)(与 的图象关于直线 对称；fx)(f3.图像的变换（1） 平移变换（i） 是将 的图象向右平移 个单位)0(axfy)(xfya（ii） 是将 的图象向左平移
3、个单位（iii ） 是将 的图象向上(b0) 或向下(b0)平,)Rbf移 个单位b（2） 翻折变换（i） 可以看作 的图象在 x 轴上方不变，x 轴下方沿 x 轴向上)(xfy)(fy翻折后所得.（ii） 可以看作 的图象在 y 轴右方不变，y 轴右方沿 y 轴向左翻折后所得.（iii ） 可以看作 的图象关于 y=x 翻折后所得.)(yfx)(xf（3） 压缩变换（i） 可以看作 的图象沿 x 轴方向向 y 轴压缩0ay或伸长 到原来的 倍所得.)1(a)1(a1（ii） 可以看作 的图象沿 y 轴方向向 x 轴伸长bxfy)(f2.3 函数的周期性、对称性第 2 页共 4 页或压缩 到原
4、来的 倍所得.)1(b)1(bb二、例题1.求函数的周期例 1 已知偶函数 满足 ，当 时， ，当)(xf )3()(xff)3,0(2)(xf时， )2,9(x由上题知 6 为 的一个周期，(xf双对称函数周期函数（1）定义在 R 上的函数 的图象关于直线 都成轴对称（ ） ，判断)(f bxa, ba的周期性)(xf（2）定义在 R 上的函数 的图象关于点 都成中心对称（ ） ，判断)(xf ),(c的周期性)(xf（3）定义在 R 上的函数 的图象关于直线 都成轴对称，又关于点 都成中)(xf ax),(cb心对称（ ） ，判断 的周期性ba（1） （2） ， （3） ba4例 2 函数
5、 对定义域内任意 x 总有关系 ，那么下列结论中)(xf 21)()(xfxf正确的是（ ）（A） 不一定是周期函数 （B） 是周期为 周期函数 )(f )(f（C） 是周期为 2 周期函数 （D） 是周期为 周期函数xx212.求周期函数的表达式例 3 对任意实数 x，函数 满足等式： ，当 时，)(f )()(ff 0,(，则当 时， xf2)(10,8x例 4 已知 是 R 上以 2 为周期的偶函数.若在区间 上 ，则)(xfy 1,024)(xxf对任意 ，在区间 上 的表达式为Nn,n)(xf3.求对称函数的表达式例 5 若函数 的图象关于直线 对称，当 时， ，则当)(xfyx21
6、)(xf时，则 2x2.3 函数的周期性、对称性第 3 页共 4 页例 6 已知曲线 C 与抛物线 关于点（2，1）对称，函数 的图象42xy )(xfy与曲线 C 关于 x 轴对称，则 的函数关系式为)(f4.用函数图像的对称性求函数方程根的和例 7 函数 对一切实数 x 都满足 并且方程 有三个实)(fy )()(2121xff0)(xf根，这三个实根的和例 8 方程 和 的实根分别为 和 ，则 等于015x05提示 和 图像关于某直线对称，且都和直线 相交5y 1xy三、习题1.若函数 和 都是周期函数，最小正周期都是 T，对于函数 y= ，)(1xf2f )(1xf2f以下判断中，正确
7、的是 ( )(A) 最小正周期都是 T （B）最小正周期都是 t，且 tT（C）是周期函数，但可能没有最小正周期（D）可能是非周期函数2.函数 与 的图像( )1(xfy)1xfy(A) 关于直线 对称 (B) 关于直线 对称1xy（C） 关于直线 对称 (D) 关于直线 对称xy x3.设实数集 R 上定义的函数 ， ，对任何 都有 1，则这个函数的)(fRx)(f)f图像 （ ）(A)关于原点对称 (B) 关于 y 轴对称 (C) 关于点 对称 (B) 关于点 对称),0(21),0(4.函数 的定义域和值域都是 ，那么函数 的图像 ( )(xfyRxfy(A)在第 1 象限 (B) 在第
8、 2 象限 (C) 在第 3 象限 (D) 在第 4 象限5. 函数 的图像与 x 轴围成封闭区域的面积是( )(A)2 (B) (C) 1 (D) 2216. 设函数 是周期为 2，且在区间0,1内单调递减，则 的大小)(xfy )0(,5.2),1(ff关系为( )(A) (B) )0(5.(1fff ).()01(ff2.3 函数的周期性、对称性第 4 页共 4 页(C) (D) )1(5.2()0ff )1(0)5.2(ff(二)填空题7. 定义在实数集上的函数 满足 ，则)(xf )(1)(xff+2000 的值为_)20()3()1ff8.函数 的图像关于直线 x=1 对称，则 a=_4lgxay9. 定义在 R 上的函数 、 、 、 的图象重合，)(fy)(xf)(xfy)(xfy它们的值域是_10.定义在 R 上的函数 满足 = ，(a 是大于 1 的整数)，若方程 =0)(xf)(f)a)(f有 n 个实根，它们的和为 2001，则 a, n 的值可能有_种(三)解答题11. 函数 是偶函数，且是周期为 2 的周期函数，当 时， ，)(xfy 3,2x1)(xf在 的图像上有两点 A、B，它们的纵坐标相等（A 点在 B 点的左边） ，横坐标都在区间1,3上，定点 C 的坐标为(0,a)，其中 a2，求 面积的最大值（用 a 表示）AC
