1、1 令观测样本由 1(,.)iixswin给出,其中 是一高斯白噪声,其均值为零,方差为 1。假定 的先验概率密度为iws2()exp()sfaa试用平方和均匀代价函数分别求 的贝叶斯估计。解:,2()1(|)exp2ii spxs1,.in2 22111()()|(|)exp()expnnn ni ii ii i ss且122()(pss(1) 采用平方代价函数,相应贝叶斯估计为最小均方误差估计 mse|(|)mseEspdx 2122112122122211 12 ()|(|)()exp(exp()()exp()()() ()exp()exp() nniinniiniiinni isp s
2、sxspnsx2211 122222111 12 )()() )() (exp()exp)() nn nini innni inii issp xs 分析 ,发现其为高斯型的;而 为其条件均值,因此可以直接得到|smse1()nimeix(2) 采用均方代价函数,相应贝叶斯估计为最大后验估计 maps,也即满足ln(|)0mappssx|ln()|0mapsx故有 1(nmapiixs所以 1napi2 设观测到的信号为xn其中 是方差为 、均值为零的高斯白噪声。如果 服从瑞利分布,即n2n2200ep()p求 的最大后验概率估计 。map解:根据题意, ,所以2n(,)xN221()(|)e
3、xpnnx,221ln(|)lnnp且 ll22(|)()()1nxpx所以 ,解得:2210mpn 22214nnnmpxx(因为222141nnxx(所以 222241nnnmp(3 给定 , 是零均值、方差为 1 的随即变量2sxn(1) 求 的最大似然估计 。mls(2) 对下列 求最大后验概率估计()pmaps040ex()ss解:(1) 根据题意, ,所以(/2,1)xNs 21(/)(|)exp2spxs2/ln(|)lp()2xss1()02mllsx(2) 根据题意, , ,1exp040ss()() 1ln()l4sps0因此 ln|ln()1()24psss(|)0mpx
4、21,/0mps5考虑一个假设检验问题,已知21124. HN 在 两 种 假 设 下 , 观 测 数 据 均 为 均 值 为 零 的 正 态 分 布: 方 差 为: 方 差 为次 独 立 观 测 , 做 似 然 比 检 验 。210()exppxH1) 设 若 ,试求 。1010,cc134()PFDP和2) 设 ,试建立奈曼- 皮尔逊准则。.FP解:1)记似然比检验门限为 ,似然比检验判决式为10122121 20()exp()( exp()HpxH ( )化简得判决表示式 1022()lnl()Hdef defxl讨论:当 时,判决表示式为0x012()Hdef deflx 即 012(
5、)Hl当 时,判决表示式为0x012()Hdef deflx 即012()Hl而 ,所以,判决表示式统一为21,012()Hxx,012()H0当 时,似然比检验门限 为1010,cc134()P010()3pHc检测门限 为212lnl()lnl()0.87这样, 为1.7456又当 时,根据判决表示式1,012()Hxx解得 时,判决表示式为0x,判决假设 成立()l1,判决假设 成立1x0H而根据判决表示式012()H,解得 时,判决表示式为0x,判决假设 成立()lx1H,判决假设 成立10这样,判决表示式为,01()2.657Hlxx,10().0Hl又由于 都是以纵坐标为对称的函数
6、,所以FDP和 2.65702.65702.657010 11()()exp()exp()0.93ppldldld1 12 22.6572.65702.65702 2110()()()()()().D l lHl2)当约束 时,采用奈曼- 皮尔逊准则,也分三种情况进行讨论。.FP一、当 时,始终判决假设 成立,所以 ,不满足约束条件2100H10()pH,不存在奈曼-皮尔逊准则。.FP二、当 时,判决域的划分如题图(a)所示。如果取 ,则0 .724。.26859这时判决概率1000110.734.26859()()()2exp(exp().81.FpHlHdldl 满足约束条件。判决概率11
7、112 22 20.73141.26859()()()2expexp(.).6DpHlHdldl 三、当 时,判决域划分如图(b)所示。如果取 ,则 。110().8645FpH如果取 ,则 随 增大而增加。所以,当 时, 不满足约束条件,不存在奈曼-皮尔逊准则。10综上,当约束条件为 时,采用奈曼- 皮尔逊准则的 ,判决域划分如图2.FP0.7214(c)所示。6.设观测信号在两个假设下的概率密度函数 分别如下图所示10()()pxH和xp(x/H0) p(x/H1)1/310 x-1 -11 201) 若似然比检验门限为 ,求贝叶斯判决表达式。2) 如果 。101()()PH , 计 算 概 率 和解 :1)假设 H0 下观测信号的概率密度函数为 1,1()xpx其 他假设 H1 下观测信号的概率密度函数为,2()30xx其 他于是,似然比检验为 000111103,0(),1,2HHxxpxx( )化简得判决表示式 01103(),1,2HHlxx成 立 ,2)若似然比检验门限 =1,则判决表示式为01012(),03,12HHlxx成 立 ,所以,判决概率 为10()p23210131()(89pHldl判决概率 为1()pH2231131459dll信号检测与估计理论作业姓名:唐美思学号:20072575班级:通信 07032010 年 11 月