1、初一数学竞赛系列讲座(16)逻辑原理一、一、知识要点逻辑原理问题，并不需要多少特别专门的知识，关键在于审题，要认真仔细地分析题意，弄清楚各个量之间的关系，深刻理解每句话的含义。二、二、例题精讲例 1 小明、小强、小华三人参加迎春杯赛，他们是来自金城、沙市、水乡的选手，并分别获得一、二、三等奖。现在知道：1. (1) 小明不是金城的选手；2. (2) 小强不是沙市的选手；3. (3) 金城的选手不是一等奖；4. (4) 沙市的选手得二等奖；5. (5) 小强不是三等奖。根据上述情况，小华是 的选手，他得的是 等奖。( 第三届迎春杯决赛试题)分析：显然选手所在城市与选手获奖情况有联系，我们就从这里
2、找突破口，搞清了各个城市的选手分别获得哪等奖，问题就解决了。解：由(4)知：金城的选手获一等奖或三等奖，又由(3)得金城的选手获三等奖，从而水乡的选手获一等奖。由(2)知：小强是金城或水乡的选手，又由(5)得小强是水乡的选手，由(1)得小明是沙市的选手，从而小华是金城的选手，他获三等奖。例 2 教室里的椅子坏了，第二天上学时，老师发现椅子修好了。经了解，椅子是A、B、C 三人中的一个人修好的，老师找来这三人。A 说：“是 B 做的。 ”B 说：“不是我做的。 ”C 说：“不是我做的。 ”经调查，三人中只有一个说了实话，椅子是谁修的呢？分析：因为三人中只有一个说了实话，所以可以假设椅子是某人修好
3、的，看结论是否符合“三人中只有一个说了实话”这一条件。解：(1) 假设椅子是 A 修好的，那么 A 说的是假话，B、C 说的都是实话。这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾，所以椅子不是 A 修好的。(2) 假设椅子是 B 修好的，那么 B 说的是假话，A、C 说的都是实话。这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾，所以椅子不是 A 修好的。(3) 假设椅子是 C 修好的，那么 A、C 说的是假话，B 说的是实话，符合“三人中只有一个说了实话”这一条件，所以椅子是 C 修好的。评注：本题运用先假设，再根据假设推出一个结论；如果结论与已知条件相矛盾，说明
4、假设不成立；如果结论符合已知条件，说明假设正确。这种假设的方法是逻辑推理中经常使用。例 3 赵、钱、孙、李四人，一个是教师，一个是售货员，一个是工人，一个是个体户，根据以下条件，判断这四人的职业。(1) (1) 赵、钱是邻居，每天一起骑车上班；(2) (2) 赵年龄比孙大；(3) (3) 赵在教李打太极拳；(4) (4) 教师每天步行上班；(5) (5) 售货员的邻居不是个体户；(6) (6) 个体户和工人互不认识；(7) (7) 个体户比售货员和工人年龄都大。解：由(4)和(1)可知，赵、钱不是教师。由(2) 和(7)知，孙不是个体户。因为假设孙是个体户，则由(2)和(7) 知，赵不是售货员
5、，不是工人；由(4) 和(1) 可知，赵也不是教师；这样赵也是个体户，与假设矛盾。于是我们可得出下表：假设赵是工人，个体户是钱或李，由(6)可知，赵与钱或李应互不认识，这与 (1)、(3)相矛盾，这样可知赵不是工人。又假设赵是个体户，由(1)、(3)、(6) 可知，孙是工人，钱是售货员，但又与(5) 矛盾，所以赵是售货员。这样又可得出下表：根据(1)、(5)继续分析，把上面的表格填满，可得：钱不是个体户，则钱是工人；则孙不是工人，孙是教师，最后得李是个体户。如下表：最后得：赵是售货员，钱是工人，孙是教师，李是个体户。评注：分析逻辑推理问题，借助表格，能使已知条件和推出的有用结论一目了然。在填表
6、售货员 工人 教师 个体户赵 钱 孙 李 售货员 工人 教师 个体户赵 钱 孙 李 售货员 工人 教师 个体户赵 钱 孙 李 时通常把正确的结论打“” ，错误的打“” 。这样可以确保推理的速度和正确性，而且不易被错误信息干扰。例 4 今有棋子 100 颗，甲、乙两人做取棋子的游戏，甲先取，乙后取，两人轮流各取一次，规定每次取 p 颗，p 为 1 或 20 以内的任一质数，不能不取。谁最后取完谁为胜者。问甲、乙两人谁有必胜的策略。解：乙有必胜的策略。由于 p 为 1 或 20 以内的任一质数，所以 p 或者是 2，或者可以表示为 4 k +1 或 4 k +3(k 为 0 或正整数)形式，乙可以
7、采取如下的策略：若甲取 2 颗，则乙也取 2 颗；若甲取 4 k +1 颗，则乙取 3 颗；若甲取 4 k +3 颗，则乙取 1 颗；这样，每次甲、乙两人取走的棋子之和都是 4 的倍数。由于 100 是 4 的倍数，因此余下的棋子数必定还是 4 的倍数。从而经过若干回合后，剩下的棋子数必定为不超过 20 的 4的倍数。因为 p 不是 4 的倍数，所以这时甲不能取走全部的棋子，从而最终乙可以取走全部的棋子。评注：本题中，甲虽然先取，但他没有必胜的策略。而乙虽然后取，但他能根据甲的取法，应对有序，后发制人，最终取胜。由此看出，谁能取得最后胜利，一要看他所面临的情形，二要看他采用的策略，两者缺一不可
8、。例 5 有三堆小石子。每次操作从每堆中取走同样数目的小石子( 不同次操作，取走的小石子数目可以不同)，或将其中任一堆 (如果其小石子数是偶数 )的一半小石子移到另一堆上。开始时，第一堆有小石子 1989 块，第二堆有小石子 989 块，第三堆有小石子 89 块。能否使 (1) 某两堆小石子一个不剩？ (2) 三堆小石子都一个不剩？(第十五届全俄数学奥林匹克试题)分析：(1)很容易发现三堆小石子刚开始时的小石子数的末两位数字相同，因而首先三堆各取 89 块，这样剩下的石子数是：1900、900、0，接下来将第二堆移 450 块到第三堆，石子数变为：1900、450、450，再接下来三堆各取走
9、450 块就可以了。(2) 发现最初三堆的石子数的和是：1989+989+89=3067，它不被 3 整除。而题目中的两种操作方法不改变这个特征，因而可得出结论。解：(1) 可以使某两堆小石子一个不剩。只要按如下步骤取即可。(1989，989，89) (1900，900，0) (1900，450 ，450) (1450，0，0)(2) 最初三堆石子的总数是 1989+989+89=3067，它不能被 3 整除。而进行任何一次操作后所得的三堆石子的总数被 3 除所得的余数不变，所以不管进行几次操作，三堆石子的总数被 3 除所得的余数都不为 0，即不可能将三堆石子都取光。评注：本题第二步中，抓住了
10、三堆石子的总数被 3 除所得的余数不变这个特征，从而使问题得到顺利解决。因而解题时应认真分析，抓住关键。例 6 人的血型通常为 A 型、 B 型、O 型、AB 型。子女的血型与其父母血型间的关系如下表所示：父母的血型 子女可能的血型O、O OO、A A、OO、B B、OO、AB A、BA、A A、OA、B A、B 、AB、OA、AB A、B、ABB、B B、OB、AB A、B、ABAB、AB A、B、AB现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为 O、A 、B 。每个孩子的父母都戴着同样颜色的帽子，颜色也分别为红、黄、蓝三种，依次表示所具有的血型为AB、A、O。问穿红、黄、蓝上衣的
11、孩子的父母各戴什么颜色的帽子？( 第五届华杯赛复赛试题)分析：因为父母都戴着同样颜色的帽子，所以父母的血型都相同，这样血型表只需保留一、五、八、十这 4 行。又由于三种颜色的帽子分别表示 AB、A、O 三种血型，所以第八行也可划去。这样血型表就比原来简单多了，再讨论这个简表就不难得出血型间的关系，从而再得出题目结论。解：因为父母都戴着同样颜色的帽子，所以父母的血型都相同，根据血型表，只有O、O，A、A，B、B，AB 、 AB 符合条件。又因为父母都戴着红、黄、蓝三种颜色的帽子，而三种颜色依次表示所具有的血型为AB、A 、O，所以符合条件的只有 O、O，A、A ，AB、AB 。因而，可以得出下面
12、的简表：父母的血型 子女可能的血型O、O OA、A A、OAB、AB A、B、AB从上面的简表可以看出父母的血型为 O 的，孩子血型一定为 O，即穿红上衣的孩子，父母戴蓝帽子。划去简表的第一行及子女血型中的 O，又三个孩子中没有 AB 血型，所以子女血型中的 AB 也可划去，这样只剩第二行。由第二行，父母的血型为 A 的，子女的血型一定为 A，即穿黄上衣的孩子，父母戴黄帽子。最后，穿蓝上衣的孩子，父母戴红帽子。评注：1、本题先将问题简化，再从最简单的情况入手，把结果能确定下来的先确定下来，然后再继续讨论，结果不能确定下来的，就分情况讨论，这种方法叫枚举法。枚举法在逻辑推理中常用。2、上面的解法
13、是从父母的血型出发分析，从而确定孩子的血型，本题也可从孩子的血型出发分析来确定父母的血型。例 7 在某市举行的一次乒乓球比赛中,有 6 名选手参赛,其中专业选手与业余选手各 3 名.比赛采用单循环方式进行,就是说每两名选手都要比赛一场。为公平起见,用以下方法计分：开赛前每位选手各有 10 分作为底分，每赛一场，胜者加分,负者扣分：每胜专业选手一场的加 2 分, 每胜业余选手一场的加 1 分；专业选手每负一场扣 2 分，业余选手每负一场扣 1 分。现问：一位业余选手至少要胜几场才能保证他必定进入前三名？（第六届华杯赛复赛试题）分析：6 名选手进行单循环比赛，每名选手共进行 5 场比赛，显然 1
14、名业余选手只胜 1 场不能进入前三名，5 场全胜肯定能进入前三名，因而我们只需讨论 1 名业余选手胜二场、胜三场和胜四场三种情况，看是否能保证他必定进入前三名。解：设业余选手为 A、B、C，专业选手为 D、E、F。(一) 、如果 A 只胜两场，有三种情况：（1）A 胜两名专业选手，不妨为 D、E。在 B、C、F 都胜 D、E，而且 F 胜 B、C 时，B、C 、F 的分数都比 A 高，因此A 不能进入前三名。（2）A 胜一名专业选手，一名业余选手，不妨为 D、B在 E、F、C 都胜 D、B，而且 E、F 都胜 C 时，E、F、C 的分数都比 A 高，因此 A 不能进入前三名。（3）A 胜两名业
15、余选手 B、C在 D、E、F 都胜 B、C，而且 D 胜 E，E 胜 F，F 胜 D 时，D、E、F 的分数都比A 高，因此 A 不能进入前三名。所以如果 A 只胜两场，那么他不一定能进入前三名。(二) 、如果 A 恰好胜三场，情况比刚才要复杂。（1）A 胜 D、E、F。这时 A 比底分 10 分增加 23-24 分，其中又分两种情况：如果有一名专业选手，比如 D，胜其他四人，则 D 比底分 10 增加 22+21-24 分，刚好与 A 的得分相同。从而 E、F 的得分均低于 A，B、C 两人即使都胜E、F ，他俩比底分 10 增加 22+1-1+15 分与 22+1-1-1=3 分，从而 A
16、 必定进入前三名。如果每一名专业选手均未全胜其他四人，那么他们的得分都低于 A，A 必定进入前三名。(2) A 胜两名专业选手，如 D、E，及一名业余选手，如 B。这时 A 比底分 10 分增加22+1-1-1=3 分，其中又分多种情况。如果 F 恰好胜 B、C 中的一个，那么在 F 胜 D、 E 时，F 的得分比底分增加 4 分，名次在 A 之上。假设同时 B、C 也都胜 D、E，并且 B 胜 F，C 胜 B，那么 B 的得分比底分增加 4 分，C 的得分比底分增加 5 分，因此 C、B 、F 的排名均在 A 前，即 A胜 3 场并不能保证他进入前三名。因为前面已得到 A 胜 3 场并不能保
17、证他进入前三名，所以 A 胜 3 场的其他情况就不需要再讨论。(三)、如果 A 胜 4 场，分两种情况讨论。(1) A 仅负于一名专业选手，比如 D，这时 A 比底分增加 5 分，而专业选手 E、F 由于被 A 击败，每人至多比底分增加 4 分，名次均在 A 后面。同时 B、C 中至少有一人(B、C 之间的失败者)，负的场数多于 A，从而名次在 A 后面。所以 A 必定进入前三名。(2) A 仅负于一名业余选手，比如 B，按(1)中所说的理由，D、E、F 的名次均在 A 后面，所以 A 必定进入前三名。所以，如果 A 胜 4 场， A 必定进入前三名。综上所述，一名业余选手至少要胜 4 场才能
18、保证他必定进入前三名。评注：本题也采用了枚举法，可见枚举法是逻辑推理问题中最常用的一种方法。枚举一定要耐心、仔细。例 8 袋内有 100 只球，其中红球 28 只、绿球 20 只、黄球 12 只、蓝球 20 只、白球 10 只、黑球 10 只。任意从袋内摸球，要使一次摸出的球中，一定有 15 只同色的球，那么，从袋内摸出的球的只数至少应是多少？分析：如果运气好的话，一下子从袋中摸出的 15 只球中都是红球，或都是绿球，或都是蓝球，问题就解决了。但是，运气不是一直这样好的，所以要一定有 15 只同色的球，必须从“最坏”处考虑。解：从运气“最坏”处考虑。若一开始 12 只黄球、10 只白球、10
19、只黑球全摸上了，此时已摸出 32 只球，但 15 只同色的球也没摸到。接下来，又摸出 14 只红球、14 只绿球、14 只蓝球，但还是没摸到 15 只同色的球，此时已摸出 32+143=74 只球。接下来再摸出任意一只，就可摸到 15 只同色的球，这样从袋内摸出的球的只数至少应是 74+1=75 只。评注：本题应用了数学中的极端原理，也就是从问题 “最坏”的情况来分析。例 9 在黑板上写上三个整数，然后将其中一个擦去，换上其他两数的和与 1 的差，将这个过程重复若干次后得到 17，1983，1999.问一开始黑板上写出的是哪三个数？分析：按照操作规则，三个整数中擦去一个，换上其他两数的和与 1
20、 的差，若擦去的是三个整数中的较大者，那么这三个整数越来越小，若擦去的是三个整数中的较小者，那么这三个整数越来越大。现在经过若干次操作后，结果是 17，1983，1999，显然我们要寻找最初最小的三个整数，因而，要擦去的是三个整数中的较大者。因为题目告诉我们的是最后的结果，所以我们要往前推，寻找擦数的规律。解：按照题意，要擦去的是三个整数中的较大者。因为现在的结果是 17，1983，1999，由于 1999=1983+17-1，所以前三数中最大的是1983，即为(17，x，1983)。根据规则，有 1983=x+17-1， x=1967所以又知再前面的三数中最大的是 1967，即 (17，y，
21、1967) ，又根据规则，有 1967=y+17-1 y=1951。这样，最大的数渐渐变小，直到出现比 17 还小。接下来，寻找擦数的规律。设某次操作中的一组数为(a，b，c)，且 0abc，则 c=a+b-1，擦去 c，则有(a，d，b)，此时 b=a+d-1这样，经过一次变换后，得 c=a+b-1= a-1+ a+d-1=d+2 (a-1)经过二次变换后，可得 c=e +3 (a-1)，经过 k+1 次变换后，可得 c=p+k (a-1)，这说明变换的次数与最大数 c 及最小数 a 有关。1999=31+12316=31+123(17-1)，1983=15+12316=15+123(17-
22、1)，说明经过 124 次变换后 199931，198315。从而可知(17，1983，1999)是由(17，15，31) 经过 124 次变换后得来的。现在只要考虑(17，15，31)是怎么样变换得来的。(17，15，31)(3，15，17) (3，13，15)(3,11,13) ( 3,9,11)(3,7,9) ( 3,5,7) (3,3,5)(3,3,3),则一开始黑板上写的三个数是 3,3,3评注：本题是从最后状况去探索初始状况的逻辑推理问题，这是一种逆向思维的方法，关键是找出逆向的规律。三、三、巩固练习选择题1、 1、 某学生在暑假期间观察了 x 天的天气情况，其结果是：(1)共有
23、7 天上午是晴天；(2) 共有 5 天下午是晴天；(3) 下午下雨的那天，上午是晴天；(2) 共下了 8 次雨，在上午或下午，则 x 等于( )A、9 B、8 C、 10 D、122、 2、 某中学初一年级有 13 个课外兴趣小组，各组人数如下： 一天下午，学校同时举办语文、数学两个讲座。已知 12 个小组去听讲座，其中，听语文讲座的人数是听数学讲座人数的 6 倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这一组是( )A、第 4 组 B、第 7 组 C、第 9 组 D、第 12 组3、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过 10 的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲第一
24、个写，那么，甲写数字( )时有必胜策略。A、10 B、9 C、 8 D、64、有 A、B、C、D、E 五位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛一盘，比赛过程中间统计比赛的盘数知 A 赛了 4 盘， B 赛了 3 盘，C 赛了 2 盘，D 赛了 1 盘，那么同学 E 赛了( )盘A、1 B、2 C、3 D、45、甲、乙、丙三个人每次从写有整数 m、n、k(0mnk)三张卡片中摸出一张，并按卡片上的数字取相同数目的石子，放回卡片算做完一次游戏，然后再继续进行。当它们做了N(N2) 次游戏后，甲有 20 粒石子，乙有 10 粒石子，丙有 9 粒石子，并且知道最后一次乙摸的是 k，那么第一次游戏时，摸到
25、 n 的( )A、必是甲 B、必是乙 C、必是丙 D、或甲或乙6、体育馆内正在进行一场乒乓球双打比赛，观众议论双方运动员甲、乙、丙、丁的年龄：(1)“乙比甲的年龄大” ；(2)“甲比他的伙伴的年龄大” ；(3)“丙比他的两个对手的年龄都大” ；(4)“甲与乙的年龄差距比乙与丙的年龄差距更大些 ”。根据这些议论，甲、乙、丙、丁的年龄从大到小的顺序是( )A、甲、丙、乙、丁 B、丙、乙、甲、丁 C、乙、甲、丁、丙 D、乙、丙、甲、丁填空题7、甲、乙、丙三位老师分别上语文、数学、外语课。(1) 甲上课全用汉语；(2) 外语老师是一个学生的哥哥；(3) 丙是一个女的，比数学老师年轻。则甲上 课，乙上
26、课，丙上 课。8、某楼住着 4 个女孩和 2 个男孩，他们的年龄各不相同，最大的 10 岁，最小的 4 岁。最大的男孩比最小的女孩大 4 岁，最大的女孩比最小的男孩大 4 岁，那么最大的男孩是岁。9、甲、乙两人在说李伟和江海的职业。甲说：“李伟是演员，江海是教师。 ”乙说：“两人之中一个是演员，另一个是教师。 ”已知甲、乙两人中一个说真话，另一个说假话，则李伟是 ，江海是 。10、7 个男生和 7 个女生一起跳舞，规定男生不和男生跳舞，女生不和女生跳舞，跳舞结束后，各人记得自己跳舞的次数分别为：3，3，3，3，3，5，6，6，6，6，6，6，9，9，则其中有人记错吗？ 11、某参观团根据下列约
27、束条件，从 A、B、C、D、E 五个地方选定参观地点：(1)若组别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13人数 2 3 6 7 9 10 11 14 13 17 21 22 24去 A 地，也必须去 B 地；(2) D、E 两地至少去一地；(3) B、C 两地只去一地；(4) C、D 两地都去或都不去；(5)若去 E 地，A 、D 两地也必须去。则该参观团最多能去的地方是12、将 1、2、3、4、5、6、7、8 八个数分成两组，每组 4 个数，并且两组数之和相等。从 A 组拿一个数到 B 组后，B 组五个数之和将是 A 组剩下三数之和的 2 倍；从 B 组拿一个数到 A 组
28、后，B 组剩下三数之和是 A 组五个数之和的 75。则 A 组是 B 组是 解答题13、在三个盒子里，一只装有两个红球，一只装有两个白球，还有一只装有一个白球一个红球。现在三个盒子上的标签全贴错了。你能只从一只盒子里拿出一个球来，就确定这三个盒子里各装的是什么吗？14、甲、乙、丙在南京、苏州、无锡工作，他们的职业分别是工人、农民和教师。现已知：(1) 甲不在南京工作；(2) 乙不在苏州工作；(3) 在苏州工作的是工人；(4) 在南京工作的不是教师；(5) 乙不是农民。问三人各在什么地方工作？各是什么职业？15、在每星期的七天中，甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都讲真话；乙在星期四、五、六讲假
29、话，其余各天都讲真话。今天甲说：“昨天是我说谎的日子。 ”乙说：“昨天也是我说谎的日子。 ”问今天是星期几？16、今有 55 的方格表，能否在每一格中填入-1、0、1 这三个数字中的一个，使得各行数字之和，各列数字之和及主对角线上数字之和，副对角线上数字之和均不相等。17、有 A、B、C3 支足球队，每两队都比赛一场。比赛结果是：A两战两胜，共失球 2 个；B 共进球 4 个，失球 5 个；C 有一场踢平，共进球 2 个，失球 8 个。请写出每场比赛的比分。18、甲、乙、丙三人分糖块，分法如下：先在三张纸片上各写三个正整数 p、q、r，使 pqr，分糖时，每人抽一张纸片，然后把纸片上的数减去
30、p，就是他这一轮分得的糖块数，经过若干轮这种分法后，甲总共得到 20 块糖，乙总共得到 10 块糖，丙总共得到 9 块糖，又知最后一次乙拿到的纸片上写的数是 r，而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字之和是 18，问：p、q、r 分别是哪三个正整数？为什么？19、两人做游戏，轮流在 99 的表中画十字和圈。先开始的人画十字，其对手画圈。所有方格都画满之后，按如下方式计分：数出这样的行和列的数目，其中十字多于圈，并将该数作为第一个人的得分，再数出其中圈多于十字的行和列的数目，作为第二个人的得分，以得分多的人为胜，试问,第一个人怎样才能取胜？20、某俱乐部有 11 个成员，他们的名字分别是 A 到 K。这些人分为两派，一派人总说实话，另一派人总说谎话。某日，老师问：“11 个人里面，总说谎话的有几个人？”那天，J 和 K 休息，余下的 9 个人这样回答：A 说：“有 10 个人。 ”B 说：“有 7 个人。 ”C 说：“有 11 个人。 ”D 说：“有 3 个人。 ”E 说：“有 6 个人。 ”F 说：“有 10 个人。 ”G 说：“有 5 个人。 ”H 说：“有 6 个人。 ”I 说：“有 4 个人。 ”那么，这个俱乐部的 11 位成员中，总说谎话的有几个人？
