1、第六讲 动量考点及要求内 容 要求 说明1 动量、冲量、动量定理2 动量守恒定律3 动量知识和机械能知识的应用（包括碰撞、反冲、火箭）动量定理和动量守恒定律的应用只限于一维的情况考点解读动量和冲量是力学中的两个基本概念，动量定理和动量守恒定律是两个重要的基本物理规律，也是高考的重要考点动量和冲量都是矢量动量是物体机械运动的一种量度，是状态量冲量是力对时间的积累，是过程量动量定理反映了力的作用在时间上的累积效果表现为物体动量的增量动量守恒定律反映了系统所受合外力为零，系统内各物体间发生相互作用时，各物体动量均发生了变化，但系统的总动量不变它是自然界普遍适用的基本规律历年高考试题中，除了考查动量、
2、冲量的矢量性（常作为填空题和选择题）外，更注重考查应用动量定理、动量守恒定律高考计算题中，常出现一些多过程问题在这类问题中，常以物体间的碰撞作为过程的节点（转换点） ，要求考生具备运用动量守恒定律分析较复杂的物理过程的能力，并能灵活运用相关物理知识（如功和能、电场、磁场等）解决问题6.1 动量和冲量 动量定理一、 考点聚焦1 动量：运动物体的质量和速度的乘积叫做物体的动量，即 P = mv它是矢量，其方向与速度方向相同它的单位是 kgm/s两动量相同，必是它们大小相等，且方向相同动量和动能定理都是状态量质量为 m 的物体，动量大小为 P，动能为 Ek ，它们的关系是 P 2=2mEk2 冲量：
3、力 F 和力 F 的作用时间 t 的乘积称为力 F 的冲量 即 I = Ft它是矢量，若在时间 t 内，F 方向恒定，则它的方向与 F 方向相同，它的单位是 Ns3 动量定理动量定理的内容是物体的动量增量等于物体所受外力的总冲量，表达式为 P = I在恒力作用的条件下，动量定理可由牛顿第二定律推导出来，其简要过程为， Ft = mv2 mv 1，即 P = ItvmaF12注意：（1）在物体受变力作用时动量定理仍然成立但此时不可用 Ft 表示冲量，动量定理可表达为 I = P （2）动量定理中的速度通常均指以地面为参照系的速度二、 好题精析例 1从塔顶以相同速率抛出 A、B、C 三小球，A 竖
4、直上抛，B 平抛，C 竖直下抛另有 D 球从塔顶起自由下落，四小球质量相同，落到同一水平面上则 （ ）A 落地时动能相同的小球是 A、B、CB 落地时动量相同的小球是 A、B、CC 从离开塔顶到落地过程中，动能增量相同的小球只有 A、B、CD 从离开塔顶到落地过程中，动量增量相同的小球是 B、D解析四个小球在运动过程中机械能均守恒抛出时动能相同的小球，机械能相同，落地时它们机械能一定也相同，即落地时动能相同，故 A 对动量是矢量，落地时 B 的速度方向与 A、C 不同，故 B 的动量与 A、C 不同，B 错四小球运动过程中的动能增量均为 EK = mgh，均相同，C 错小球运动过程中的动量增量
5、为 P= mg t ，只有 B、D 运动时间相同，故 D 对点评（1）动量是矢量，质量相同的物体，速率相等，动能相同但因方向可能不同，故动量可能不相同 （2）本题中，物体只受重力作用，动能增量等于重力所做功，它与轨迹是直线还是曲线无关，当小球的部分路径重复时（如 A 球）仍可只计起终点高度差去计算重力的功小球动量增量等于重力的冲量，它也与轨迹是直线还是曲线无关，但路径重复时，所经时间仍要计为重力作用的时间例 2两长方体木块 A、B，质量均为 M，紧靠着放在光滑水平面上质量为 m 的子弹，以水平初速度 v0 垂直于 A 表面射入 A，经时间 t1 穿出 A，再经时间 t2 穿出 B设 A、B 两
6、木块对子弹的阻力分别为 f1、 f2，求子弹射出 B 后，A、B 及子弹的速度解析子弹在 A 中运动时，A 、B 两木块一起运动：f 1t1=2MvA，解出 ，为 AMtfv1的末速度子弹进入 B 时，B 已有初速度 vA，f 2t2=MvBMv A，解出，为 B 的末速度对于子弹穿过 A、B 的全过程：-MtfvtfAB212f1t1f 2t2=mvmv 0，解出： ，为子弹最后速度mtfv210点评应用动量定理时，要注意研究对象和运动过程的正确选择本题中，子弹穿过A 的过程中，子弹对 A 的冲量的效果不能仅用 A 的动量变化来反映，而应用这一过程中A、B 总动量的变化来体现故应以 A、B
7、一起作为研究对象对于子弹，穿过 A，穿过 B所受冲量均表现为子弹的动量变化，故可将两过程合并为一个过程，应用动量定理列方程例 3图 6.1-1 所示，A、B 两小物快用轻弹簧相连，悬于轻绳下，A、B 的质量分别为 m1、m 2 开始时，A、B 均静止剪断细线，经一段时间后，A、B 的速度大小分别为 v1、v 2，方向均向下，求这段时间内弹簧的弹力对 A、B 的冲量AB图 6.1-1解析设弹簧对 A 的冲量 IA=I ，则弹簧对 B 的冲量必为 IB=-I，分别以 A、B 为研究对象，且以竖直向下方向为正方向：m 1gt + I = m1v1- m2gt I = m2v2 -，消去 t，可解出
8、21)(vA21)(IB点评（1）动量定理也适用于变力作用过程 （2）本题还可以 A、B 系统为研究对象列方程：( m1+m2)gt = m1v1+m2v2 ，显然此方程为、两式之和例 4 如图 6.1-2，A、B 两小物快以平行于斜面的轻细线相连，均静止于斜面上以平行于斜面向上的恒力拉 A，使 A、B 同时由静止起以加速度 a 沿斜面向上运动经时间 t1，细线突然被拉断再经时间 t2，B 上滑到最高点已知 A、B 的质量分别为 m1、m 2，细线断后拉 A 的恒力不变，求 B 到达最高点时 A 的速度 图 6.1-2解析本题中，由于恒力大小、斜面的倾角、A、B 与斜面间的动摩擦因数均未知，故
9、分别对 A、B 运动的每一个过程应用动量定理建立方程时有一定困难，但若以系统为研究对象，系统合外力为 F=(m1+m2)a，且注意到，细绳拉断前后，系统所受各个外力均未变化，全过程中，B 的动量增量为零，对系统运动的全过程，有：(m1+m2)a(t1+t2)=m1vA 解出 12)(mat点评（1）系统所受合外力的冲量等于系统内各物体的动量增量之和 （2）在系统所受外力中有较多未知因数时，应用牛顿第二定律，系统的合外力应等于系统内各物体的质量与加速度的乘积之和本题中，因 A、B 加速度相同，固有 F=(m1+m2)a三、当堂反馈1如图 6.1-3 所示，水平面上叠放着 a、b 两木块，用手轻推
10、木块 b，a 会跟着一起运动；若用锤子水平猛击一下 b，a 就不会跟着 b 运动，这说明 A 轻推 b 时，b 给 a 的作用力大B 轻推 b 时，b 给 a 的作用时间长C 猛击 b 时，b 给 a 的冲量大D 猛击 b 时，b 给 a 的冲量小2 质量为 m1=2.0kg 的小物快 A，以水平初速度 v0=10m/s 开始沿水平面滑行，经一段时间后，与原静止于水平面上的小物快 B 发生碰撞已知 B 的质量为 m2=1.0kg，A 沿水平ABab F图 6.1-3面滑行的总时间为 t=7.0s，A、B 与水平面间的动摩擦因数均为 =0.10，求 B 沿水平面滑行的时间四、强化训练1. 运输家
11、用电器、易碎器件等物品时，经常用泡沫塑料作填充物，这是为了在运输过程中 （ ）A. 减小物品受到的冲量B. 使物体的动量变化量减小C. 较尖锐的物体不是直接撞击物品表面，而是撞击泡沫塑料，减小撞击时的压强D. 延长了物品受撞击的相互作用时间2. 电扇悬挂在天花板上，电扇扇叶水平转动时（正常工作） ，天花板对电扇的拉力大小为 N1，电扇不转时，天花板对电扇的拉力大小为 N2，则 （ ）A.一定有 N1 N2 B.可能有 N1 N2C.一定有 N1 N2 D.电扇转速越快， N1 就越大3. 质量为 m 的物块沿倾角 光滑斜面由静止起下滑，在位移为 s 时，物块的速度为 u，这一过程中 （ ）A.
12、 重力所做功为 1/2 mu2B. 重力的冲量大小等于 muC. 增大 而保持 s 不变，则重力的冲量增大D. 减小 而使末速度大小仍为 u，则重力的冲量增大4. A、 B 两小球的质量之比为 m1:m21:2，以相同初动量同时开始做平抛运动，经相同时间（均未落地） （ ）A.它们的末动量大小之比为 1:1 B.它们的末动量大小之比小于 1:2C.它们的动量增量大小之比为 1:1 D.它们的动量增量大小之比小于 1:25. A、 B 两汽车质量相同，它们均由静止起沿水平道路作直线运动， A 的功率恒等于其额定功率 PA, B 加速度恒定。它们所受阻力均视为 f，经时间 t， A的速度达到最大为
13、 v， B 的速度也为 v，且功率恰好达到额定功率 PB。在时间 t内， A、 B 两车牵引力的冲量分别为 IA和 IB，牵引力所做功分别为 WA和 WB，则一定有 （ ）A.IA IB且 WA WB B.IA IB且 PA PBC.IA IB且 WA WB D.PA PB且 WA WB6.质量为 m 的小球，以水平初速度 v0 抛出，经一段时间，恰垂直于斜面与斜面相碰，斜面对水平面的倾角为 30。这段时间内，重力对小球的冲量大小为 ，方向为 。小球与斜面相碰后，弹回初速率恰好为v0，则斜面对小球的冲量大小为 ，方向为 。7竖直平面内有一光滑圆轨道，A 为轨道最高点， B 为轨道最低点，小球P
14、 沿此轨道作圆周运动，第一次，小通过 A、 B 两点时的速率比为 vA:vB=1:2，小球从 A 到 B 过程中所受合外力的冲量大小为 I1；第二次，小球通过 A、B 两点时的速率比为 vA:vB=2:3，小球从到 B 过程中所受合外力的冲量大小为 I2，则I1:I2= 。8、一宇宙飞船，以 v=1.2104m/s 的速度进入一宇宙微尘区，此尘区平均每 1m3 含有一个宇宙微尘，每个微尘的平均质量为 m=210-4g，已知飞船在垂直于速度方向的截面积为 S=1m2，微尘与飞船相碰后附着于飞船外壳上，为使飞船速度保持不变，求飞船应增加的牵引力。9、长 L=2.2m 的均匀细软绳，质量为 m=10
15、0g，用轻细线悬挂起来，静止时绳竖直，下端距地面的高度为 h=5m，剪断细线，使绳自由下落，求绳着地过程中，地面对绳的平均作用力。10、如图 6.1-4，质量为 m 的三棱柱放压光滑平面上，ABC 为其截面A= ，质量为 m 的物块 P 沿斜面匀加速下滑，加速度为 a=1/4g，P 下滑过程中，三棱柱始终静止，设地面对三棱柱的支持力为 N，静摩擦力为f，(1)应用牛顿第二定律求 N 和 f； （2）应 图 6.14用动量定理求 N 和 f。6.2 动量守恒定律一、考点聚焦1 系统动量守恒的条件是系统所受合外力为零2 两物体质量分别为 m1、m 2，速度分别为 v1、v 2，沿同一直线运动，相互
16、作用后，速度分别为 v1、v 2，则系统动量守恒的表达式为 m1v1+m2v2=m1 v1+m2 v23 两物体间的相互作用时间 t0 时（P 0）它们间的相互作用力大小 F= ，若此时作用于两物体的外力的大小均为有限值，则仍可认为两物体所组成的系tP统动量守恒4 在中学范围内动量守恒定律中的速度通常为相对于地面的速度二、好题精析例 1如图 6.2-1 所示，木块 B 与水平面间的摩擦不计，子弹 A 沿水平方向射入木块并在极短时间内相对于木块静止下来，然后木块压缩弹簧至弹簧最短将子弹射入木块到刚相对于静止的过程称为 I，此后木块压缩的过程称为 II，则 A 过程 I 中，子弹和木块所组成的系统
17、机械能不守恒且动量也不守恒B 过程 I 中，子弹和木块所组成的系统机械能不守恒，动量守恒C 过程 II 中，子弹和木块所组成的系统机械能守恒且动量也守恒D 过程 Ii 中，子弹和木块所组成的系统机械能守恒，动量不守恒解析子弹与木块相互作用所经时间极短，在这段时间内弹簧对木块的冲量可忽略，子弹、木块系统动量守恒子弹射入木块过程中，系统有动能损失，系统机械能不守恒，故 B 对，A 错子弹相对于木块静止后，木块压缩弹簧，子弹、木块、弹簧所组成系统机械能守恒但系统受墙对弹簧的冲量不为零（压缩过程时间不是无限小） ，系统动量不守恒，故 C 错，D 对点评（1）注意分析每个过程所指的系统所受合外力是否为零
18、 （2）子弹射入木块后，子弹与木块等速，故子弹射入过程中子弹的动量变化量不为零，对子弹应用动量定理： ft =m(v-v0)，子弹与木块的相互作用力大小为 ，因 t0，故 f tvmf)(0有的同学认为，既然 t0，则 t 内子弹相对于木块的位移 s0，f 的功 wf 0，子弹木块系统机械能守恒这一结论就错在，当 f 时，虽然 s0，但 fs 都并不趋近于零任一有限数与无限小之积却不一定为零，如当 n 时， 但 ，151n即无限大（5n）与无限小（ ）之积是不一定为零的n1例 2如图 6.2-2，质量为 m 的小球系于长 L=0.8m 的轻绳末端绳的另一端系于 O点将小球移到轻绳水平的位置后释
19、放，小球摆到最低点 A 时，恰与原静止于水平面上的BA图 6.2-1物块 P 相碰碰后小球回摆，上升的最高点为 B，A、B 的高度差为 h=0.20m已知 P 的质量为 M=3m，P 与水平面间动摩擦因数 =0.25，小球与 P 的相互作用时间极短求 P 能沿水平面滑行的距离解析小球下摆和回摆两过程中，小球机械能均守恒下摆到 A 点时，速率 v0 满足方程，解出： m/smgLv2010.420gLv与 P 碰后回摆初速率 v1 满足方程，解出 v1=2.0m/sh2因小球与 P 相互作用时间极短，即 t0，相互作用过程中，摩擦力的冲量 If =mgt0，故相互作用过程中小球与 P 所组成的系
20、统动量守恒，以小球碰前初速度方向为正方向，有：mv0=m(-v1) + M v 可解出 =2.0m/smv3)(10碰后 P 沿水平面滑行： （动能定理）Mgs2滑动距离为 m=0.8m1025.2gvs点评（1）本题含有四个过程，即小球往返为两个过程、碰撞过程和滑行过程解题时，首先要理清这一物理情景，将较复杂的问题分解为四个较简单的过程，分别处理 （2）很多情况下，当相互作用时间 t0 时，可忽略过程中重力、摩擦力等外力的冲量，从而仍可认为系统动量守恒如：子弹水平射入置于粗糙水平面上木块中；子弹射入悬于轻线下的沙袋中；炮弹在空中爆炸；不可伸长的轻线（两端各系一物快）在被拉直的瞬间等例 3甲、
21、乙两小孩各乘小车在光滑水平面上匀速相向行驶，速率均为 6m/s甲车上有质量 m=1kg 的小球若干个，甲和他的车及所带小球的总质量为 M1=50kg，乙和他的车总质量 M2=30kg甲不断地将小球以 16.5m/s 的对地水平速度抛向乙被乙接住问甲至少要抛出多少小球，才能保证两车不相撞？解析两车不相撞的临界条件是，甲抛出 n 个球且乙接住后，甲、乙等速，均为 v对系统的全过程：M 1v0+M2(v 0)= (M1+M2)v 对甲：M 1v0=(M1m)v+ nmv1 由，解出 =1.5m/s，代如，可解出 n=1504即甲抛出 15 个小球且乙接住后，甲、乙可不相撞PA图 6.2-2点评本题的
22、要点是确定甲、乙不相撞的临界条件若乙停止，由于系统的总动量与甲的初动量同向，故甲仍沿原方向运动，将与乙相撞因此应使乙返回，乙返回后，若速度小于甲速，则甲仍将追上乙因此，甲、乙等速是不相撞的临界条件若解出 n 的值不是整数，则应取过剩近似值例 4某同学用图 6.2-3 所示装置通过半径相同的 A、B 两球碰撞来验证动量守恒定律，图中 PQ 是斜槽，实验时先使 A 球从斜槽上某一固定位置 G 由静止开始滚下，落到位于水平地面纪录纸上，留下痕迹，重复上述操作 10 次，得到 10 个落点痕迹，在把 B 球放在水平槽靠近末端的地方，让 A 球仍从位置 G 由静止开始滚下，和 B 球碰撞后，A、B 球分
23、别在纪录纸上留下各自的落点痕迹，重复这样的操作 10 次，图 6.2-3 中 O 点是水平槽末端 R在纪录纸上的垂直投影点，B 球落地点痕迹如图 6.2-4 所示，其中米尺水平放置，且平行于G、R 、 O 所在平面，米尺的零点与 O 点对齐（1）碰撞后 B 球的水平射程应取为_cm（2）在以下选项中，那些是本试验必须进行测量的？_（填选项号）A 水平槽上未放 B 球，测量 A 球落点位置到 O 点的距离B A 球与 B 球碰撞后，测量 A 球落点位置到 O 点的距离C 测量 A 球或 B 球的直径D 测量 A 球和 B 球的质量（或两球质量比）E 测量 G 点相对于水平槽的高度解析（1）确定落
24、地点的方法是作包含 10 个落地点的一半径最小圆，以其圆心为落地点圆心到 O 点的距离约为 SB=64.7cm（允许误差为0.5cm） （2）本题中，碰后 A、B 两球作平抛运动的起点均为水平槽末端，因此，A、B 两球的落地点到 O 点的距离均等于平抛的水平位移，故无需测量小球直径G 点高度不同，A球碰前的速度不同，但这并不影响碰撞中的动量守恒故答案应为 A、B、D点评本题对课本中的实验方案作了简化，这一简化引起的变化主要就是使碰后 A、B两球平抛运动起点相同不少同学拘泥于课本中 B 球放在支架上时，碰后 B 球平抛的水平位移为落地点到 O 点的距离与小球直径之差的结论，认为仍要测量小球直径，
25、从而发生错误图 6.2-3 图 6.2-4三、当堂反馈1气球下端连接着一架软梯，它们的总质量 M=20kg，梯子下端站着质量 m=60kg 的人开始时系统以 v=4m/s 的速度匀速上升，以后人以对梯 v1=4m/s 的速度爬梯，求在 2s内人对地面上升的高度2如图 6.2-5 所示，质量为 m 的人和质量均为 M 的两辆小车 A、B 处于光滑水平面的同一直线上，人以水平速度 v0 跳上 A 车，为了避免A、B 相撞，人随即由 A 车跳上 B 车问人至少要以多大的水平速度从 A 车跳向 B 车才行？四、强化训练1、光滑水平面上静止着一小车，某人站在小车的一端，在人从车的一端走到另一端的过程中
26、（ ）A任一段时间内人和车的动量变化量相同B任一时刻，人、车的速率与与其质量成反比C任一时刻，人车的加速度大小与其质量成反比D当人突然坐到固定于车上的椅子中时，由于惯性，车仍会滑行2. 两弹性球在光滑水平面上沿同一直线相向运动，发生碰撞，两球依次同时经过减速、停止又反向加速几个阶段，则 （ ）A. 碰撞过程中，两球所受冲量大小一定相等B. 两球质量一定相等C. 任一时刻，两球动量大小一定相等D. 均反向时，两球动能一定与其质量成反比3. 质量为 M 的船在水中作匀速直线运动，速率为 v0，船的两端各站着一个人，两人质量均为 m，两人均以对地速率 v 分别水平地向前、向后跃出船，进入水中，两人离
27、船后，船的速度为 u，不计水对船行驶的阻力，则 （ ）A.可能有 uv 0 B.一定有 uv 0 C. v 越大，u 越大 D.u 与 m/M 的值无关4. 质量为 M 的小车静止于光滑水平面上，小车左端平台上有一弹性装置，A B图 6.2-5从平台与弹射出一个质量为 m 的小球，小球离开平台时的水平初速度为 v0，小球最终打到小车右端的竖直壁上并粘在壁上，已知小球作平抛运动的水平射程（对地）为 L,这一过程中小车的对地位移为 s，可知 （ ）A.s=mL/M B. v0 增大，s 增大C.平台右边缘到竖直壁的水平距离为 LD.小球飞行过程中，球、车动量大小相等5. 质量分别为 m1 和 m2
28、 的两个物体碰撞前后的位 移时间图像如图 6.2-6 所示，若图中 45，则（ ） A. 碰撞前两物体速率相等B. m1m 2C. 碰撞后两物体一起做匀速直线运动D. 碰撞前两物体动量大小相等、方向相反6. 在光滑水平面上有 A、 B 两半径相同的小球，质量分别为 mA、 mB，它们沿同一直线相向运动，A 的速率为 3m/s,B 的速率为 6m/s，两球相撞后，A 返回，速率为 2m/s， B 仍向原方向运动，则 mA： mB 的取值范围为 。7. 在验证碰撞中动量守恒的实验中，入射小球的质量为 m1，半径为 r1，被碰小球的质量为 m2，半径为 r2，为使实验误差较小，应使 m1 m2， r1 r2，实验中，确定碰小球落地点的方法是 。8. 质量为 M510 3的汽车拉着质量为 m310 3拖车在水平公路上作匀速直线运动，速度为 v012m/s，由于某种原因拖车脱钩，而脱钩后汽车牵引力不变，当拖车速度为 8m/s 时，汽车速度多大？当汽车速度为 20m/s 时，拖车速度又是多大？9. 如图 6.2-7，光滑水平面上有车厢 A 和平板车 B， A 的质量为 B 的两倍，A 的顶部边缘有一小滑块 C， C 相对于 A 静止。A 车以6.0m/s 的速度向右运动，在极短时间内与原静止的 B 车连接为一体，已知 C 与平板车表面图 6.26图 6.27
