1、相似图形1第四章 相似图形复习一、知 识要点1、成比例线段：若 a,b,c,d 满足 c，则 a,b,c,d 称为成比例线段 ；2、比例的性质：（1） ab=cd； （2） dcba（3） nmdcb bndb （ 0n ）3、黄金分割：点 C 把线段 AB 分成 两条线段 AC 和 BC，如果 ACB，那么线段AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫线段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比 AC： AB= 1:68.0:254、相似多边形：如果两个多边形的角对应相等，边对应成比例，那么这个多边形叫做相似多边形 对应边的比叫做相似比 5、相似三角形的判定：（1）两个角对应相 等的
2、两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似 6、相似三角形的性质：（1）相似三角形 的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形的对应高的 比、对应角平分线的比、对应中线的比 都等于相似比；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方 7、 位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形 8、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 二、典型 例题：来源:学+科+网例 1 如果 31dcba，求 ba， ， dbca， 2解法一：设
3、 a=k1,b=3k1,c=k2,d=3k2,代 入就可以求得各值 解法二： 343,3b1dcaca相似图形2312,312,31dbcadcbadcba学法指导：利用公比 k，将各未知数的关系联系起来，或直接利用比 例性质， 还可以用 a 表示 b,即 b=3a，用 c 表示 d，即 d=3c，再代入求之 例 2 以长为 2cm 的定线段 AB 为边，作正方形 ABCD，取 AB 的中点 P 在 BA 的延长线上取点 F，使 PF PD 以 AF 为边长作正方形 AFEM 点 M 落在 AD 上 （如图）来源:Z*xx*k.Com（1）试求 AM， DM 的长；（2）点 M 是线段 AD
4、的黄金分割点吗？请说明理由 分析：由 AB=2cm，得 AP=1cm，于是有DP= 5cm， PF=PD= 5cm， 因为 AM=AF= 5-1（ cm） ，所以21AD，从而点 M 是 AD的黄金分割点 学法指导：要证明点 M 是 AD 的黄金分割点，只需要证明等式或 215成立即可 例 3 一位同学想利用树影测出树高，他在某时刻测得直立的标杆高 1 米，影长是0.9 米，但他去测树影时，发现树影的上半部分落在墙 CD 上， （如图所示）他测得BC=27 米， CD=1 2 米 你能帮他求出树高为多少米吗？ 来源:学科网 ZXXK解：如图，树的一部分 AE 的影投射到 CD 即AE=CD=1
5、.2 米 根据题意，得9.0172BE，解得 BE=3 米所以， AB=AE+BE=3+1.2=4.2 米 学法指导：解决本题的关键是要弄清影 CD 是由树的哪部分投影的，再利用相似三角形的知识求出另 一部分，就可以求出树的高度 来源 :Z_xx_k.Com例 4 如图，矩形 ABCD 中， E， F 分别在 BC， AD 上，矩形 ABCD矩形 ECDF，且AB2，S 矩形 ABCD3S 矩形 ECDF 试求 S 矩形 ABCD解：矩形 ABCD矩形 ECDFE相似图形334232132BCASBCDBSEFACD矩 形矩 形矩 形学法指导：要求矩形的面积，只需要求出 BC 的长 然后利用了
6、相似多 边形的性质，“相似多边形的面积的比等于相似比的平方” ，根据面积的关系，可求出 BC 的长 图形的放大与缩小要作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为 21，看一看有几种方法？橡皮筋法，方格纸放大法，电脑放大在图形外取一点作射线找比例线段也可以作出.主要是找比例线段得到的是相似图形，对应顶点连线都过一定点，它符合位似图形，得到的一对图形是位似图.我们今天就利用位似将上面图形放大到要求比例.图（一）相似图形4图（二）图（一）：在原图上取几个关键点 A、B、C 、D、E、F、G，作射线AP， BP，CP ， DP，EP，FP ，GP ，在这些射线上依次取点A，B，C ，D，E，F，G
7、 ，使PA =2AP，PB=2 BP，PC=2CP ，PD=2DP ，PE=2EP，PF=2FP，PG =2 GP；顺次连接点 A，B，C， D，E，F，G ，A ，所得到的图形就是符合要求的图形.图（二）：在原图上取关键点 A、B、C 、D、E、F、G ，作射线PA， PB，PC ， PD，PE，PF ，PG ，在这些射线上依次取点A,B ,C ，D，E，F，G ，使PA=AA，PB= BB，PC= CC，PD= DD，PE =EE ,PF=FF，PG =GG，顺次连接点 A， B， C，D，E，F，G ，A，所得到的图形就是符合条件的图形.利用位似将图形放大或缩小的作图步骤.第一步：在原图
8、上选取关键点若干个,并在原图外任取一点 P.第二步：以点 P 为端点向各关键点作射线.第三步：分别在射线上取关键点的对应点，满足放缩比例.第四步：顺次连接截取点.即可得到符合要求的新图形.简记方法:1.选点2.作射线3.定对应点4.连线练习3. 如 图 ， 小 正 方 形 的 边 长 均 为 1， 则 下 列 图 中 的 三 角 形 （ 阴 影 部 分 ） 与 ABC 相 似 的 是相似图形5相似图形620. 如图， 在 ABC 中 AD BC， CE AB，垂足分别为 D、 E， AD、 CE 交于点H，已知 EH=EB=3、 AE=4，则 CH 的长是 ( )A 1 B 2 C 3 D47
9、. 如图， D、 E分别是 AB、 的中点，则 :ADEBCS A. 12 B.13 C.14 D. 23 8. 若 CF ， C 与 F 的相似比为2，则AB与 DE 的周长比为A.14 B.12 C.21 D. 223. （10 分）如图， 中， 分别是边 的中点， 相交于 .AB DE、 BCA、 DCE、 G求证： .13GCE来源:Zxxk.Com24.（12 分）如图，在 和 中， ， ，ABC DEF 90A 3ABDE24ACDF 判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？ 能否分别过 在这两个 三角形中各作一条辅助线，使 C 分割成的两个三，角形与 分割成的两个三角形分别对应相
10、似？证明你的结论EB CDGEAABCDEF相似图形725.（12 分）如图， 中， ， ， ， 为 上ABCD43BC120AD EBC一动点（不与 重合） ，作 于 ， ， 的延长线交于点 ，设 ，EFEGx的面积为 DEF S（1）求证： ；G （2）求用 表示 的函数表达式，并写出 的取值范围；来源:学#科#网xx25.（12 分）如图， 中， ， ， ， 为 上ABCD43BC120AD EBC一动点（不与 重合） ，作 于 ， ， 的延长线交于点 ，设 ，EFEGx的面积为 DEF S（1）求证： ；G （2）求用 表示 的函数表达式，并写出 的取值范围；来源:学#科#网xxCBDEFGCBDEFG
