1、第四节 势能 机械能守恒定律考点聚焦1、重力势能：物体由于受到重力而具有的跟物体和地球的相对位置有关的能量，叫做重力势能。表达式：E P= 。式中 h 为物体重心到参考平面的高度。mg单位：焦耳。符号：J。重力势能是标量。选不同的参考面，物体的重力势能的数值是不同的，但任意两点间的重力势能之差是不变的。重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力做的正功，克服重力做功（重力做负功）时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力做的功。重力所做的功只跟初位置的高度和末位置的高度有关，跟物体运动的路径无关。2、弹性势能：物体由于弹性形变而具有的与它的形变量有关的势能，叫弹性势能。物体的弹性形变
2、量越大，弹性势能越大。弹力势能没有具体的计算式，但在高考综合题中往往以隐含条件出现，这一特点应引起注意。3、机械能：动能和势能统称机械能，即 E=EKE P。4、机械能守恒定律在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，机械能的总量不变，这就是机械能守恒定律。机械能守恒定律的表达式为：E K1 EP1= EK2 EP2 或 EK EP=0。在只有弹力做功情形下，物体的动能和弹性势能相互转化，机械能的总量不变，即机械能守恒。好题精析例 1、质量为 m 的小球用长为 L 的轻绳悬于 O 点，如图 541 所示，小球在水平力 F 的作用下由最低点 P 缓慢地移动到 Q 点，在此过程中
3、F 做的功为（ B ）A、 B、 sinFLcosgC、 D、)co1(mgLt解析：水平力做功使小球的重力势能增加，因小球缓慢移动，故小球动能不变，故水平力对小球做多少功，小球的重力势能增加多少，所以，水平OP mQF图 541力对小球做的功为 W= 。C 选项正确。)cos1(mgL点评：本题中的 F 的方向不变，由平衡条件 F 的大小不断变化，该变力的功可根据重力势能的变化求得，所依据的规律是“功是能量转化的量度” ，所以，解这类题目时，关键要分清楚做功引起了哪些量转化。同样还应该注意重力做功的特点应用。本题中若去掉“缓慢”的条件还能这样求解吗？例 2、下列物体中、机械能守恒的是（ ）A
4、、做平抛运动的物体B、被匀速吊起的集装箱C、光滑曲面上自由运动的物体D、物体以 的加速度竖直向上做匀减速运动g54解析：物体做平抛运动或沿光滑曲面自由运动时，不受摩擦阻力，在曲面上弹力不做功，都只有重力做功，机械能守恒，所以 AC 选项正确。匀速吊起的集装箱，绳子的拉力对它做功，不满足机械能守恒的条件，机械能不守恒。物体以 的加速度向上做匀减速运动时，由牛顿第二定律g54，有 ，则物体受到竖直向上的大小为mF)(mgF1的外力作用，该力对物体做了正功，机械能不守恒。g51点评：物体的运动形式可能有多种，判断机械能是否守恒，关键看是否只有重力做功。机械能守恒常见的情况有：物体只受重力作用；物体虽
5、然受到重力以外的其它力的作用，但它们在物体运动过程中是始终不做功。或这些力的功的代数和为零。例 3、有一光滑水平板，板的中央有一小孔，孔内穿入一根光滑轻线，轻线的上端系一质量为 M 的小球，轻线的下端系着质量分别为 m1、 m2 的两个物体，当小球在光滑水平板上沿半径为 R 的轨道做匀速圆周运动时，轻线下端的两个物体都处于静止状态（图 542） 。若将两物体之间的轻线剪断，则小球的线速度为多大时才能在水平板上做匀速圆周运动？解析： 该题用守恒观点和转化观点分别解答如下：解法一：（守恒观点）：选小球为研究对象，设小球沿半径为 R 的轨道做匀速圆周运动时的线速度MHm1m2R图 542为 ，根据牛
6、顿第二定律有 0v RvMgm2021)(当剪断两物体之间的轻线后，轻线对小球的拉力减小。不足以维持小球在半径为 R 的轨道上继续做匀速圆周运动，于是小球沿切线方向逐渐偏离原来的轨道，同时轻线下端的物体 m1 逐渐上升，且小球的线速度逐渐减小。假设物体 m1 上升高度为 h，小球的线速度减小为 v 时，小球在半径为的轨道上再次做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有)(hhRvMg21再选小球、物体 m1 与地球组成的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体 m1 上升过程。由于只有重力做功，所以系统的机械能守恒。选小球做匀速圆周运动的水平面为零势面，设小球沿半径为 R 的轨道做匀速圆周运动时
7、m1 到水平板的距离为 H，根据机械能守恒定律有)(2210 hgvgv以上三式联立解得 MR3(2解法二：（转化观点）：与解法一相同，首先列出两式，然后再选小球、物体 m1 与地球组成的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体 m1 上升的过程，由于系统的机械能守恒，所以小球动能的减少量等于物体 m1 重力势能的增加量。即ghvM1220式联立解得 MgRm3)(2点评：比较上述两种解法可以看出，根据机械能守恒定律应用守恒观点列方程时，需要选零势面和找出物体与零势面的高度差，比较麻烦：如果应用转化观点列方程，则无需选零势面，往往显得简洁。例 4、如图 543 所示，轻弹簧竖直固定在水平地
8、面上，弹簧的劲度系数为 k，原长为 l0。质量为 m 的铁球由弹簧正上方 H 高处自由下落，落在离地面多高时它的动能最大？球在离地面多高时，弹簧的弹性势能最大？解析：铁球压缩压弹簧做变加速运动，由运动和力的关系可图 543知，小球的运动是先加速后减速，当弹力和重力相等时运动发生转折（1）设动能最大时弹簧的压缩量为 ，此时 ， 。1x1kxmgkg铁球离地面高度 kllh0101（2）设弹簧弹性势能最大时弹簧的压缩量为 ，平均弹力 ，重2x2xF力势能的减少量转化为弹性势能，故 )(22kHmg得 022gmxk则 k2此时铁球离地面高度 kmgHglh202点评：铁球下落压缩弹簧的过程中，机械
9、能守恒，铁球压缩弹簧后，先加速后减速，合力为零时动能最大；弹簧压缩到最大量时，球减少的重力势能全部转化为弹性势能，弹性势能达到最大值。由于我们不要求掌握弹性势能的计算公式，所以解题时可根据弹力的大小跟形变量成正比的关系，引入平均弹力的概念，且最大弹力是平均弹力的 2 倍。例 5、如图所示，质量均为 M 得木块 A、B ，并排放在光滑水平面上；A上固定一竖直轻杆，轻杆上端得小钉（质量不计）O 上系一长度为 L 的细线，细线另一端系一质量为 m 的球 C，现将 C 球拉起使细线水平伸直，并由静止释放 C 球，求：（1） 两木块刚分离时，A、 B、C 的速度各多大？（2） 两木块分离后，小球偏离竖直
10、方向的最大偏角？解析：C 球下摆过程中，在达到最低点以前，悬线拉力的水平力通过杆使 A、B 一起向右加速运动，当 C 达最低点时 A、B 同时达到最大速度。C 球摆过最低点以后，悬线对杆的拉力的水平分为向左，通过杆使 A 减速，导致 A、B 分离。分离后木块 B 以分离时的速度向右匀速运动。由于 A、B、C 组成的系统水平方向无外力作用。则系统的总动量守恒（即总动量始终保持为零） ；所以在 A、B 分离且 C 球上摆到某一位置后，木块 A 将反向向左运动。当 A 与 C 的水平速度相同OA BC图 5-4-4时 C 球摆到最高点，这时偏离竖直方向的角度最大。解：（1）选 A、B、C 组成的系统
11、为研究对象，研究细线由水平位置（始态）到竖直位置（终态）的过程，设 C 球摆到最低点时速度为 v，此时A、B 即将分离，其共同速度为 v 合 ，规定水平向右为正方向，根据动量守恒定律有 O=(M+M)v 合 mv 0 再选 A、B、C 和地球组成的系统为研究对象，在细线由水平位置到竖直位置的过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律有22)(1合vMmvhL两式联立解得 A、B 刚分离时 C 球得速度为 ，glmMv2A、 B 的速度均为 glmv2合（2）选 A、B、C 组成的系统为研究对象。研究 C 球的悬线从水平方向到向左摆到最高点的全过程，C 球达最高点时，A 与 C 的速度相同，设大小
12、为 ，方向水平向左，仍规定水平向右为正方向，根据动量守恒定律有vvMO) （合设 C 球向左端摆到最高点时细线与竖直方向的夹角为 ，根据机械能守恒定律有)cos1(21)(21mgLvmgL合两式联立，并将上问所得的 v 合 值代入可知：)(2cos1M点评：上例中用机械能守恒时，是用守恒的观点，规定 O 点以下 L 处为零势面，从而列出两状态机械能相等来解的。此题同样也可以用转化的观点解决。大家不妨试一下，比较哪种更简便。当堂反馈1、选择不同的水平面作参考平面，物体在某一位置的重力势能和某一过程中重力势能的改变量（ 图 545）A、都具有不同的数值B、都具有相同的数值C、前者具有相同数值，后
13、者具有不同数值D、前者具有不同数值，后者具有相同数值2、如图 545 所示，总长为 L 的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时两端相齐。当略有扰动时其一端下落，则铁链刚脱离滑轮瞬间速度多大？强化训练1、 ，质量为 m 的物体静止在地面上，物体上面连一轻弹簧。用手拉着弹簧上端将物体缓慢提高 h，若不计物体动能的改变和弹簧重力，则人做的功（ ）A、等于 mgh B、大于 mgh C、小于 mgh D、无法确定2、在高处的某一点将两个重力相同的小球以相同的速率 v0 分别竖直上抛和竖直下抛，下列结论正确的是（不计空气阻力） （ ）A、从抛出到刚着地，重力对两球所做的功相等B、从抛出到刚着地，重
14、力分别对两球做的总功都是正功C、从抛出到刚着地，重力对两球的平均功率相等D、两球刚着地时，重力的瞬时功率相等3、甲乙两球质量相等，悬线一长一短，如图将两球由图示位置的同一水平无初速释放，如图 546 所示，不计阻力，则对小球过最低点时的正确说法是（ ）A、甲球的动能与乙球的动能相等B、两球受到线的拉力大小相等C、两球的向心加速度大小相等D、相对同一参考面，两球机械能相等4、图 547 中 PNQ 是一个固定的光滑轨道，其中 PN 是直线部分，NQ为半圆弧，PN 与 NQ 弧在 N 点相切，P、Q 两点处于同一水平高度，现有一小滑块从 P 点由静止开始沿轨道下滑，那么（ ）A、滑块不能到达 Q
15、点B、滑块到达 Q 点后将自由下落C、滑块到达 Q 点后，又沿轨道返回D、滑块到达 Q 点后，将沿圆弧的切线方向飞出5、如图 548 所示，两个质量分别为 m 和 2m 的小图 546图 548图 547球 a 和 b 之间，用一根长为 L 的轻杆连接（杆的质量可不计） ，两小球可绕穿过中心 O 的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平位置，然后无初速释放，重球 b 向下，轻球 a 向上，产生转动，在杆转至竖直的过程中（ ）A、b 球的重力势能减少，动能增加B、a 球的重力势能增加，动能减少C、a 球和 b 球的总机械能守恒D、a 球和 b 球的总机械能不守恒6、如图 549 所示，长度相同的三根
16、轻杆构成一个正三角形支架。在 A 处固定质量为 2m 的小球，B 处固定质量为 m 的小球，支架悬挂在O 点，可绕 O 点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时 OB 与地面相垂直，放手后开始运动。在不计任何阻力的情况下。下列说法正确的是（ ）A、A 球到达最低点时速度为零B、A 球机械能减少量等于 B 球机械能增加量C、B 球向左摆动所能达到的最高位置应高于 A球开始运动时的高度D、当支架从左至右回摆时， A 球一定能回到起始高度7、如图 5410 所示，在水平台面上的 A 点，一个质量为 m 的物体以初速度 被抛出，不计空气阻力，求它到达0vB 点时速度的大小为_ 。8、如图 5411
17、 所示，轻弹簧 k 一端与墙相连处于自然状态，质量为4kg 的木块沿光滑的水平面以 5m/s 的速度运动并开始挤压弹簧，求弹簧的最大弹性势能及木块被弹回速度增大到 3m/s 时弹簧的弹性势能。图 549H图 5410v0hB图 54119、一列长为 L 的游览车，如图 5412 所示，可以看成是由许多节长度很短的相同车厢连接而成的，从高处的平台上沿斜面由静止滑下，全部进入水平轨道后，又遇到一个半径为 R 的竖直圆形轨道（L）2R ） ，欲使游览车能安全驶过竖直圆形轨道，平台距水平轨道的高度 h 至少应为多大？（设游览车无动力，不计各处的阻力）10、面积很大的水池，水深为 H，水面上浮着一正方体木块，木块边长为a，密度为水的 1/2，质量为 m。开始时，木块静止，有一半没如水中，如图 5413 所示。现用力 F 将木块缓慢地压到池底。不计摩擦。求（1）从木块刚好完全没入水中到停在池底的过程中，池水势能的改变量。（2）从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力 F 所做的功。图 5413vh图 5-4-12
