1、等差数列前 n 项和公式的两个侧重摘要：本文从在思想方法的角度给出了等差数列前 n 项 和两个公式的侧重点。 关键词：等差数列 思想 前 n 项和公式我们知 道，教材就等差数列前 n 项和给出了两个公式：设等差数列 的前 n 项和公式a和为 ，公差为 ， ，则 nSd*N（公式一）1()2a（公式二）nn这两个公式在解决问题时如何使用，下面举例说明。以下 ,不再说明。*,mnpqN一 侧重于函数方程思想的公式一1 方程思想：所谓方程思想就是将题目条件运用前 n 项和公式，表示成关于首项 a1和公差 d 的两个方程，通过解决方程来解决问题。例 1 已 知 an为等差数列，前 10 项的和 S10
2、=100，前 100 项的和 S100=10，求前 110 项的和S110.剖析：方程的思想，将题目条件运用前 n 项和公式，表示成关于首项 a1和公差 d 的两个方程.解析：设 an的首项为 a1，公差为 d，则,09210,d解得 来源:学科网 ZXXK.10,5da S110=110a1+ 110109d=110.来源:学*科*网2拓展：观察结构特点，将公式一做如下变形：，在处理问题是会更方便。 来源:Z.xx.k.Com11()()2nnSa例 2 如果等差数列 的前 4 项和是 2，前 9 项和是 ，求其前 n 项和公式。n 6解：由变形公式得： dnSn4219421将 代入 得：
3、9,24S2,1nSn304722 函数思想将 ，当 ，数列 为常数列；当 ，21 1()()ndaadna0d则 是关于 n 的二次函数，若令 则 。此时可利用二次函S,2AB2nSAB数的知识解决。例题 3 设等差数列 满足 ，且 ，则 的前多少项的和最大？na8135a0na解析：思路一：由 3 a8=5a13得：d= a1,若前 n 项和最大，则 ，920392)1(1na又 a10 得： ，n=20,即 的前 20 项和最大。这一做法为通法。2419nn思路二： ,当且仅当 时21111()()(40)3939Sdaan20nn最大。点评：这一做法突显了数列的函数 特征。思路三：由
4、得 ,又 ，8135a15125813 125252aaa S10a 的图象是开口向下的抛物线上的点列，对称轴恰为 ，故 时 Sn最大。nS 0n点评：这一做法中几乎没有运算，抓住了题目条件，结合数列的函数特性做处理，显得十分巧妙。二 侧重于等差数列性质的公式二1 侧重于性质：若 则 。,mnpqmnpqaa有些涉及等差数列前 项和的题目，常与等差数列的上述性质融合在一起，将 与1na其他条件进行转换。例题 4 一个只有 有限项的等差数列，它的前 5 项的和为 34，最后 5 项的和为 146，所有项的和为 234，则它的第七项等于（ ）A. 22 B. 21 C. 19 D. 18解：设该数
5、列有 项且首项为 ，末项为 ，公差为 ，则依题意有na1nd12345234(1)62()nnnaa结合上述性质可得来源:学科网()1an36代入(3)有从而有 13又所求项 恰为该数列的中间项，a7132618故选 D点评：依题意能列出 3 个方程，若将 作为一个整 体，问题即可迎刃而解。在求an1时，巧用等差中项的性质也值得关注。知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解。a72 侧重于等差中项利用等差中项，可以实 施等差数列前 项和 与其通项 的转换：nnSna1221()nnnaSa例题 5 在等差数列 和 中，它们的前 项和分别为 ，且 ，则 的nbn,nST213n7ab值是多少？分析：利用等差中项建立起等差数列前 项和与其通项的联系是解决本题的关键。解析：13137 72132aaSbbT来源:Z&xx&k.Com
