1、1一、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳：1概念与公式：等差数列：1.定义：若数列 称等差数列；),(1nnn adaa则常 数满 足 2.通项公式： ;)(1kk3.前 n 项和公式：公式： .2)1(2)11dnaSn 等比数列：1.定义若数列 （常数） ，则 称等比数列；2.通项公式：qann1满 足 n3.前 n 项和公式： 当 q=1 时;1knnqaa ),1(11qaSnn .1naS2简单性质：首尾项性质：设数列 ,:321nna1.若 是等差数列，则na ;231nna2.若 是等比数列，则 .21 n中项及性质：1.设 a，A，b 成等差数列，则 A 称 a、b 的等差中
2、项，且 ;2baA2.设 a,G,b 成等比数列，则 G 称 a、b 的等比中项，且 .G设 p、q、r、s 为正整数，且 ,srqp1. 若 是等差数列，则n ;sr2. 若 是等比数列，则asrqpa顺次 n 项和性质：1.若 是公差为 d 的等差数列， 组成公差为 n2d 的等差数列；nanknkaa121312,则2. 若 是公差为 q 的等比数列， 组成公差为 qn的等比数列.（注意：当 q=1，nn nknk11312,则为偶数时这个结论不成立）若 是等比数列，na2则顺次 n 项的乘积： 组成公比这 的等比数列.nnnaaa3212121, 2nq若 是公差为 d 的等差数列,a
3、1.若 n 为奇数，则 而 S 奇、S 偶 指所有奇数项、所有,:(21 nnSS 中中中偶奇中 即指 中 项注且偶数项的和） ；2.若 n 为偶数，则 .2d奇偶（二）学习要点：1学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意公差 d0 的等差数列的通项公式是项 n 的一次函数 an=an+b;公差 d0 的等差数列的前 n 项和公式项数 n 的没有常数项的二次函数 Sn=an2+bn;公比 q1 的等比数列的前 n 项公式可以写成“S n=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用
4、课外的需要证明的性质解题.3巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m） ”三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或 ，a,aq)”四数成等差数列，可设四数为“qa”四数成等比数列，可设四数为“;3,3(,2, mamaam或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.),(,3qqq或例 1解答下述问题：（）已知 成等差数列，求证：cba1,（1） 成等差数列；（2） 成等比数列.2,解析该问题应该选择“中项”的知识解决， .2, ,)2(4)()()2( ;,.)(2)( )()1( ,22成 等 比
5、 数 列成 等 差 数 列bca bcabacb acbacbacb 评析判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，. 3（）等比数列的项数 n 为奇数，且所有奇数项的乘积为 1024，所有偶数项的乘积为，求项数 n.218解析设公比为 24180,42531naq )(21na.7,235,2)()1(,)( 2)1(28043553521 35133 nq nqann得 代 入 得将而 （）等差数列a n中，公差 d0，在此数列中依次取出部分项组成的数列： ,17,5,1, 3221 kknkk 其 中恰 为 等 比 数 列求数列 .项 和的 前
6、解析 , 1725175 aa成 等 比 数 列.1312,3)()(2,34,00)()6()4(111512 nSnkkdkdaaqdddnnknknn项 和的 前 得由而 的 公 比数 列评析例 2 是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.例 3解答下述问题：（）三数成等比数列，若将第三项减去 32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去 4，又成等比数列，求原来的三数.解析设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为 ad, a, a+d，则有.938,2650,1 ,92610,43232)()(2或原 三 数 为 或得或
7、adda（）有四个正整数成等差数列，公差为 10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.，4解析设此四数为 ,)15(,5,1aa 25125,2)(450 )()()1(22 22amaama N且均 为 正 整 数与解得 所求四数为 47，57，67，77),(6不 合或评析巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列练习题一、 选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D）不存在2.、在等差数列 中， ,且 , , 成等
8、比数列，则 的通项公式为 （ ）na411a53na（A） （B） （C ） 或 （D） 或3n1343na4n3、已知 成等比数列，且 分别为 与 、 与 的等差中项，则 的值为 （ ）cba,yx,abcycx（A） （B） （C ） （D） 不确定21224、互不相等的三个正数 成等差数列， 是 a,b 的等比中项， 是 b,c 的等比中项，那么 ， ， 三个数（ ）cba,xy2xb2y（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列（C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列 的前 项和为 , ,则此数列的通项公式为 （ ）nnSn241
9、2（A） （B） （C ） （D）2a8a12nanan26、已知 ，则 （ ）)(4)(zyxz（A） 成等差数列 （B） 成等比数列 （C ） 成等差数列 （D） 成等比数列y,x, zyx1, zyx1,7、数列 的前 项和 ，则关于数列 的下列说法中，正确的个数有 （ ）na1naSna一定是等比数列，但不可能是等差数列 一定是等差数列，但不可能是等比数列 可能是等比数列，也可能是等差数列 5可能既不是等差数列，又不是等比数列 可能既是等差数列，又是等比数列（A）4 （B）3 （C ）2 （D）18、数列 1 ,前 n 项和为 （ ）617,85,2（A） （B） （C ） （D）n
10、212n 12n 212n9、若两个等差数列 、 的前 项和分别为 、 ，且满足 ，则 的值为 （ ）abAnB54An13ba（A） （B） （C ） （D）77820198710、已知数列 的前 项和为 ,则数列 的前 10 项和为 （ ）na52nSnna（A）56 （B）58 （C ）62 （D）6011、已知数列 的通项公式 为, 从 中依次取出第 3，9，27，3 n, 项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数nann列的前 n 项和为 （ ）（A） （B） （C ） （D）2)13(53n210n 2310n12、下列命题中是真命题的是 ( )A数列 是等差数列的充要条件是 (
11、)naqpanB已知一个数列 的前 项和为 ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列abS2C数列 是等比数列的充要条件n 1nD如果一个数列 的前 项和 ,则此数列是等比数列的充要条件是anc)1,0(0ca二、填空题13、各项都是正数的等比数列 ，公比 ,成等差数列，则公比 = n1q875aq14、已知等差数列 ，公差 , 成等比数列，则 = na0d175a1862751a15、已知数列 满足 ,则 = nnnS4116、在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题17、已知数列 是公差 不为零的等差数列
12、，数列 是公比为 的等比数列， ，求公比 及 。nadnbaq46,10,321bbqnb18、已知等差数列 的公差与等比数列 的公比相等，且都等于 , ， , ,求 。nnd),0(1a35an619、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为 216，后三个数成等差数列，其和为 36，求这四个数。20、已知 为等比数列， ，求 的通项式。na3240,3ana21、数列 的前 项和记为n 11, 1nnSS（）求 的通项公式；a（）等差数列 的各项为正，其前 项和为 ，且 ，又 成等比数列，求nbnT35123,ababnT22、已知数列 na满足 *11,2().naN（I）求数列 的通项
13、公式；（II）若数列 nb满足 1214.()()nnbbba ，证明： nb是等差数列；数列综合题一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D C A A A C A D D D D二、 填空题13. 14. 15. 16. 625296n)31(3三、解答题17.a =a1,a =a10=a1+9d,a =a46=a1+45d b23b由a bn为等比数例，得（a 1+9d） 2=a1(a1+45d)得 a1=3d,即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.q=4 又由a bn是a n中的第 bna 项，及 abn=ab14n-1=3d4n-1,
14、a1+(bn-1)d=3d4n-1 b n=34n-1-218. a 3=3b3 , a1+2d=3a1d2 , a1(1-3d2)=-2d a5=5b5, a1+4d=5a1d4 , a1(1-5d4)=-4d ,得 =2， d 2=1 或 d2= ,由题意，d= ,a1=- 。a n=a1+(n-1)d= (n-6) bn=a1dn-1=- ( )n-1 24555519.设这四个数为 aqa,则 由，得 a3=216,a=6 36)(21aqa7代入，得 3aq=36,q=2 这四个数为 3，6，12，1820.解: 设等比数列a n的公比为 q, 则 q0, a2= = , a4=a3
15、q=2qa3q 2q所以 + 2q= , 解得 q1= , q2= 3, 2q 203 13当 q1= , a1=18.所以 an=18( )n1 = = 233n . 13 13 183n 1当 q=3 时, a 1= , 所以 an= 3n1=23 n3 .29 2921.解：(I) 由 可得 ，两式相减得nS12S112,n又 3a21a故 是首项为 ，公比为 得等比数列n 1（）设 的公差为nbd由 得，可得 ，可得 25b315T123b故可设 3,又 12,9a由题意可得 25153d解得 12,0等差数列 的各项为正， nb0d d 213nT22（I）： *1(),naN2,n是以 1为首项，2 为公比的等比数列。.a8即 2*1().naN（II）证法一： 1214().nnbbba12(.)4.nnb.,nb1211()().n nbb ，得 1,n即 ()0,n 21()2.nb，得 ,nb即 210,nn*(),bNn是等差数列。
