1、Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！数学高考综合能力题选讲 11不等式的证明100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测证明不等式的基本方法有：求差（商）比较法，综合法，分析法，有时用反证法，数学归纳法均值定理、适度的放缩、恰当的换元是证明不等式的重要技巧不等式的证明往往与其它知识（如函数的性质）综合起来考查范例选讲例 1 已知 ，求证：2a1logl1aa讲解： 可以用比较法：解 1 lllogl1aaaa1logl1aa因为 ，所以， ，所以，2a0,0loga 14log41log2ll1l1log 22aaaa所以， ，
2、命题得证0llog1a解 2 因为 ，所以， ，所以，01log,1logaa，lll1loga aaa由解 1 可知：上式1故命题得证点评：比较法是证明不等式的基本思路Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！例 2 证明不等式： ，n21321 N讲解：此题为与自然数有关的命题，故可考虑用数学归纳法证明解 1 时，不等式的左端=1，右端=2 ，显然 12，n所以， 时命题成立假设 时命题成立，即： Nkk21321则当 时，1n不等式的左端 1312k 1k不等式的右端 k由于 =12k112kkk0112k所以， ，即 时命题也成立1
3、2k2n由可知：原不等式得证从上述证法可以看出：其中用到了 这一事实，从而达到了1k和 之间的转化，也即 和 之间的转化，这k1212k就提示我们，本题是否可以直接利用这一关系进行放缩？观察原不等式，如果希望直接证明，需要把左端进行化简，直接化简是不可能的，但如果利用 进行放缩，则可以达到目121kkk的，由此得解 2解 2 因为对于任意自然数 ，都有 ，所以，121kkkDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！n nn2 12321013 从而不等式得证点评：放缩法是一种证明的技巧，要想用好它，必须有目标，目标可以从要证的结论中考察如本
4、题中注意到所要求证的式子左右两端的差异，以及希望把左式化简的目标例 3 设 ，若 ， ， , 试fxabxc20f1ff 1证明：对于任意 ，有 .1f54讲解：要研究这个二次函数的性质，最好的办法是能够确定其解析式本题中，所给条件并不足以确定参数 的值，但应该注意到：所要求的结论也cba,不是 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围” ，因此，我们可以把xf， 和 当成两个独立条件，先用 和 来01ff 10,1ff表示 . cba, ,cfbafcf 0, ,0)1(2)1(2 ff .22 0xfxfxfx 当 时， ，所以，根据绝对值不等式的性质可得：12， ，2xx2x221x 22
5、011ffff 222xxDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！)1(222 xxx.45)21(2x综上，问题获证. 点评：用好绝对值不等式及其等号成立的条件，常常可以简化问题，避免讨论高考真题1. （1985 年全国高考）设 a (n1,2,3),1)n(321n 证明不等式 对所有的正整数 n 都成立)(21)n(22. （1993 年全国高考）如果关于 x 的实系数二次方程 x2axb0 有两个实数根 、,证明:.如果|2,|2,那么 2|a|4b 且|b|4;.如果 2|a|4b 且|b|4,那么|2,|2.(93 年(29)10 分)3. （2001 年全国高考）已知 是正整数，且 .nmi, nmi1( )证明 ；inimP( )证明 .)1()(答案与提示：1放缩法，利用 ； 2略； 3利用排列1n数公式及二项式定理
