1、第四十三讲 根与系数的关系及应用如果一元二次方程 ax2bxc=0(a0)的两根为 x1，x 2，那么 反过来，如果 x1，x 2 满足 x1+x2=p，x 1x2=q，则 x1，x 2 是一元二次方程 x2-px+q=0 的两个根一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具1已知一个根，求另一个根 利用韦达定理，我们可以通过方程的一个根，求出另一个根例 1 方程(1998x) 2-19971999x-1=0 的大根为 a，方程 x21998x-1999=0
2、 的小根为b，求 a-b 的值解 先求出 a，b 由观察知，1 是方程(1998x) 2-19971999x-1=0 的根，于是由韦达又从观察知，1 也是方程 x21998x-1999=0 的根，此方程的另一根为-1999 ，从而b=-1999所以 a-b=1-(-1999)=2000例 2 设 a 是给定的非零实数，解方程解 由观察易知，x1=a 是方程的根又原方程等价于2求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧例 3 已知二次方程 x2-3x1=0 的两根为 ，求：(3)3 3；(4)3-3解 由韦达定理知+ =3 ，=1(3) 3 3=(+)(
3、 2-+ 2)=(+ )(+) 2-3=3(9-3)=18 ；(4) 3- 3=(- )( 2+ 2)=(-)( +) 2-例 4 设方程 4x2-2x-3=0 的两个根是 和 ，求 4 22 的值解 因为 是方程 4x2-2x-3=0 的根，所以4 2-2-30，即4 2=23 4 2+2=2+3+2 =2(+ )+3=4例 5 已知 ， 分别是方程 x2x-1=0 的两个根，求 2 5+5 3 的值解 由于 ， 分别是方程 x2x-1=0 的根，所以 2+-1=0， 2+-1=0 ，即 2=1-， 2=1- 5=( 2)2=(1-) 2=( 2-2+1) =(1-2 +1) =-3 2+2
4、=-3(1-)+2 =5 -3， 3= 2=(1- ) = - 2= -(1- )=2 -1所以2 5+5 3=2(5-3)+5(2-1)=10(+ )-11=-21 说明 此解法的关键在于利用 ， 是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要例 6 设一元二次方程 ax2bxc=0 的两个实根的和为 s1，平方和为 s2，立方和为s3，求 as3bs 2cs 1 的值解 设 x1， x2 是方程的两个实根，于是所以 as 3bs 2cs 1=0说明 本题最“自然”的解法是分别用 a，b，c 来表示 s1，s 2，s 3，然后再求as3bs 2cs 1 的值当然这样做
5、运算量很大，且容易出错下面我们再介绍一种更为“本质”的解法另解 因为 x1，x 2 是方程的两个实根，所以同理将上面两式相加便得as3bs 2cs 103与两根之比有关的问题例 7 如果方程 ax2bx c=0(a0) 的根之比等于常数 k，则系数 a，b ，c 必满足：kb2=(k1) 2ac证 设方程的两根为 x1， x2，且 x1=kx2，由韦达定理由此两式消去 x2 得即kb2(k1) 2ac例 8 已知 x1，x 2 是一元二次方程4x2-(3m-5)x-6m20解 首先，=(3m-5) 296m 20，方程有两个实数根由韦达定理知从上面两式中消去 k，便得即 m 2-6m+5=0，
6、所以 m 1=1，m 2=54求作新的二次方程例 9 已知方程 2x2-9x8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方解 设 x1， x2 为方程 2x2-9x8=0 的两根，则设所求方程为 x2+px+q=0，它的两根为 x1，x 2，据题意有故所以，求作的方程是36x2-161x34=0例 10 设 x2-pxq=0 的两实数根为 ，(1)求以 3， 3 为两根的一元二次方程；(2)若以 3， 3 为根的一元二次方程仍是 x2-pxq=0，求所有这样的一元二次方程解 (1)由韦达定理知+ =p ，=q，所以 3+ 3=(+)( +) 2-3=p(
7、p 2-3q)， 3 3=() 3=q3所以，以 3， 3 为两根的一元二次方程为x2-p(p2-3q)x+q3=0(2)由(1)及题设知由得 q=0， 1若 q=0，代入，得 p=0，1 ；若 q=-1，代入，以，符合要求的方程为 x2=0，x 2-x=0，x 2+x=0，x 2-1=05证明等式和不等式利用韦达定理可以证明一些等式和不等式，这常常还要用判别式来配合例 11 已知实数 x，y，z 满足x=6-y，z 2=xy-9，求证：x=y证 因为 xy=6，xy=z 29，所以 x，y 是二次方程t2-6t+(z2+9)=0的两个实根，于是这方程的判别式=36-4(z 2+9)=-4z20 ，即 z2 0因 z 为实数，显然应有 z20要此两式同时成立，只有 z=0，从而=0 ，故上述关于 t 的二次方程有等根，即 x=y例 12 若 a，b ，c 都是实数，且abc=0，abc=1，证 由 ab c=0 及 abc=1 可知，a，b，c 中有一个正数、两个负数，不妨设 a 是正数，由题意得于是根据韦达定理知，b，c 是方程的两个根又 b，c 是实数，因此上述方程的判别式因为 a0，所以a3-40，a 34 ，例 13 知 x1，x 2 是方程 4ax2-4ax+a+4=0 的两个实根解 (1)显然 a0，由=16a 2-16a(a+4)0，得 a0由韦达定理知所以
