1、 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 中考数学专题复习六 开放性数学题型及解法探究近年来，各地中考数学试卷中开放性试题所占的比例逐年增大。不少地区中考数学压轴题都是由开放性试题当家的。尽管中考开放性试题几乎年年都有新面孔，但仔细析来，不外乎有以下几种常见题型：1、自编问题型；2、阅读理解型；3、决策运筹型；4、数学建模型；5、方案设计型；6、信息迁移型；7、单一判断型；8、条件存在型；9、题设取舍型；10、探索结论型； 11、过程动态型；12、分类讨论型。以上题型在中考试卷中有时单独成题，有时多型合题。解答这些开放性数学中考题，不仅要求学生具有厚实的基本功和一定的
2、数学思想方法，而且要求学生具有较强的发散思维能力和创新精神。不过，完整地解答开放性数学中考题也不是高不可攀的。因为，不同题型的分析思路还是有一定的规律可循的。例 1 （2000 年泉州市）写出一个只含有字母 x 的代数式（要求：（1）要使此代数式有意义，字母 x 必须取全体正数；（2）此代数式的值恒为负数）：_。解 - （或- ，- ，） 。评注 自编问题型的答案是丰富多彩的，只要把语言叙述的条件转变为数学表达式即可。例 2 （2000 年安徽省）比较下面两列算式结果的大小（在横 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 线上选填“”“、 、=。一般结论：如果 a，b 是
3、两个实数，那么 a2+b22ab。(a-b) 20，a 2-2ab+b20， a2+b22ab。评注 解阅读理解题应：细看感悟材料的表象；泛想归纳材料的共性；敢猜揭示材料的规律；慎证说明猜想的合理性。例 3 （1998 年河北省）某工厂有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计划用这两种原料生产 A，B 两种产品共 50 件。已知生产一件 A 种产品，需用甲种原料 9 千克，乙种原料 3 千克，可获利润 700 元；生产一件 B 种产品，需用甲种原料 4 千克，乙种原料10 千克，可获利润 1200 元。（1）按要求安排 A，B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来。（2）
4、设生产 A，B 两种产品获总利润为 y（元） ，其中一种产品的生产件数为 x，试写出 y 与 x 之间的函数关系式，并利用函数的 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 性质说明哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？解 （1）设安排生产 A 种产品 x 件，则生产 B 种产品(50-x)件。由得 30x32。x 为整数，x 取 30，31 或 32。生产方案有三种： 生产 A 种产品 30 件，B 种产品 20 件；生产 A 种产品 31 件，B 种产品 19 件；生产 A 种产品 32 件，B 种产品 18 件。（2）依题意得：y=700x+1200(50-x)
5、，y=-500x+60000 ，y 随 x 的增大而减小， 当 x=30 时， y 的值最大。即按第一种方案安排生产，所获最大利润为 45000 元。评注 这道题集决策运筹、方案设计和数学建模于一身。对于方案，通常不止一套，但我们应选最佳的。特别是几何图形的设计，更应如此。至于决策题，通常与经济题紧密相联，涉及到函数和不等式（组）等知识。解这类题的关键是建立相应的数学模型。运用数学建模方法解决实际问题，一般要经过三个环节：实际问题 数学问题算式、方程、不等式（组） 、函数 解答数学问题 回归实际问题。例 4 （1999 年扬州市）若函数 y= 的自变量 x 取值范围是一切实数，则 c 的取值范
6、围是（ ） 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 （A）c1 （B ）c=1（C）c1。例 5 设抛物线 y=x2-(m-1)x+(m+2)与 y 轴相交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左边） ，O 为坐标原点，以 OA、OB 为直径作O 1、O 2，且这两个圆外切。 （1）求 m 的取值范围；（2）这两个圆的半径是否相等？若相等，求出其半径；若不相等，请指出哪一个圆较大？（3）是否存在这样的 m 值，使OC2=OAOB？如果存在，判定ABC 的形状；并证明你的结论；如果不存在，请说明理由。略解 设 A(x1,0)，B(x 2,0)，x 1X2，
7、则（1）由 得 m-2。（2）由 x1+x2=m-1-30，得两圆半径不等，且以 OA 为直径的圆较大。（3）假设存在这样的 m 值，使 OC2=OAOB，则(m+2) 2=-(m+2)， 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 m=-3。此时ABC 是直角三角形，证 COABOC 即可。评注 第（2）题属于单一判断型开放题，由于“单一判断” 是非此即彼，所以解答这类题，只要通过正确计算（或推理）即可得出结论。第（3）题属条件存在型开放题。由于条件存在型开放题的特征是“结出结论，逆向寻求条件是否存在” ，所以，一般要用反证法思想解题。第一步假设存在。第二步：根据假设进行
8、推理。若推理顺畅，即可求出所寻的条件；若出现矛盾，则表明所寻条件不存在。值得注意的是，近年来，条件存在型问题，在各地中考开放性数学试题中出现的频率最高。例 6 在直角梯形 ABCD 中，AD BC， B=90，AB=8 厘米，AD=24 厘米，BC=26 厘米，AB 为O 的直径，动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1 厘米/秒的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB边向点 B 以 3 厘米/秒的速度运动。P ，Q 分别从点 A，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为 t秒。求：（1）t 分别为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形、等腰梯形？
9、（2）t 分别为何值时，直线 PQ 与O 相切、相交、相离？ 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 解 （1）AD BC，只要 QC=PD，则可得；平行四边形PQCD，此时 3t=24-t， t=6，即当 t=6 秒时，四边形 PQCD 为平行四边形。 PDPC，只要 PQ=CD 且 PDQC，四边形 PQCD 即为等腰梯形。如图 2，作 PEBC 于 E，DFBC 于 F，则由等腰梯形的性质可知：EF=PD ，QE=FC=2，2= 3t-(24-t)，t=7，即当 t=7 秒时，四边形 PQCD 为等腰梯形。（2）设运动 t 秒时，直线 PQ 与O 相切于点 F（如
10、图 3） ，作PHBC 于 H，则 PH=AB=8，BH=AP，根据切线长定理可得PQ=PF+FQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t，而 PQ2=PH2+HQ2，(26-2t)2=82+(26-4t)2。 t1= ， t2=8，即当 t= 秒或 t=8 秒时， PQ 与O 相切。当 t=0 秒时，PQ 与O 相交；当 t= =8 秒进，当 Q 运动到 B点，点 P 尚未运动到点 D，但也停止了运动，此时 PQ 也与O 相交。 当 0t 秒或 8t8 秒时，PQ 与 O 相交。当 秒,t8 秒时，直线 PQ 与 O 相离。评注 本例是一道典型的过程动态开放题，在全面实施素质教育的今天，倍受
11、中考命题者的青睐。因为它所强化的数学素养，对 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 学生后续学习意义深远。解决这类问题的关键是分析运动变化过程，寻找变化中的特殊位置。即“动” 中求“静”、 “一般”中见“特殊” ，再列出特殊位置时的数学表达式，运用分类讨论的思想，各个击破。其实本例第（1）问也是一种结论明显的分类讨论题。但在解隐含性结论（或过程）分类讨论型开放题时，要首先确定好分类的标准，再行讨论，切切不能重复、不能遗漏。若将本例的第（2）问改为：“确定在运动过程中 PQ 与O 的位置关系”，则它就成了一道探索结论型的开放题。由于需要探索的结论目标不明确，且结论往往不
12、唯一，所以这类题是开放型数学试题中难度较高的一类。解决这类问题，需要有扎实的基础知识，较强的发散思维能力。因此，遇到此类题，必须仔细审题，善于运用分析、联想、类比、分类等数学思想及方法才能解决。其解题的基本策略是：从已知开始，层层演绎推理，后步可用前步的结论，直至结论被推出，特别重视可能出现的多解情况。至于题设取舍型，顾名思义，即是提供的条件过多，解题时应正确取舍，你能举出这方面的中考数学开放试题吗？例 7. 善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形，他想到“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似” ，提出如下两个问题，你能帮助解决
13、吗？问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？（1）从特殊情形入手探究。假设梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=6 ，BC=8 ，CD=4 ，AD=2，MN 是中位线（如图 2） 。 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 根据相似梯形的定义，请你说明梯形 AMND 与梯形 ABCD 是否相似？图 2（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定” 。不要求证明） 。问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？（1）从特殊平行线入手探究。梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形（填
14、“相似”或“不相似”或“相似性无法确定” 。不要求证明） 。（2）从特殊梯形入手探究。同上假设，梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=6 ，BC=8 ，CD=4 ，AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线 PQ（点 P、Q 在梯形的两腰上，如图 2） ，使得梯形 APQD与梯形 PBCQ 相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由。图 2（3）一般结论：对于任意梯形（如图 2） ，一定（填“存在”或“不存在” ）平行于梯形底边的直线 PQ，使截得的两个小梯形相似。图 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 若存在，则确定这条平行线位置的条件是。PBA（不妨设 AD=a，BC=
15、b，AB=c，CD=d 。不要求证明） 。分析：问题一（1）因为 MN 是中位线，所以85,221,BCMNADDCNA显然对应边不成比例，所以梯形 AMND 与梯形 ABCD 不相似。（2）平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形不相似。问题二（1）因为 MN 是中位线，显然两梯形对应边不成比例，所以梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形不相似。（2）如果梯形 APQD 与梯形 PBCQ 相似则 82,PQBCPQAD即解得 PQ=4，此时 21AD又 AB=6，所以 AP=2，所以当 AP=2，且 PQ/BC 时，又两梯形对应角相等，所以梯形 APQD 与梯21QCPBAD形 PBCQ 相
16、似。（3）对于任意梯形，一定存在平行于梯形底边的直线 PQ，使截得的两个小梯形相似。此时， BCPQAD所以 baPBAabQ故,评注：这类问题建立在已学知识的基础上研究、发现、拓展相似形问题为素材设计的一道创新型阅读理解题。解答这类阅读理解题的关键是在阅读、理解的基础上，由题中提供的信息，联系所学知识，运用联想类比、模仿迁移的方法实现信息的迁移，从而掌握符合问题的条件及其性质的运用；它既能考查学生适应新问题、接受新知识、认识新事物的能力，又能考查学生的自学能力，信息的收 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 集、迁移和应用能力。例 8 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN（图甲） ，再把 B 点叠在折痕 MN 上的 处。得到 （图乙） ，再延长 交 ADBRtABE E于 F，所得到的 是（ ）EAFA. 等腰三角形 B. 等边三角形C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形答案：B
