2013届中考数学备考复习检测8.doc

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1、 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 中考数学专题复习六 开放性数学题型及解法探究近年来,各地中考数学试卷中开放性试题所占的比例逐年增大。不少地区中考数学压轴题都是由开放性试题当家的。尽管中考开放性试题几乎年年都有新面孔,但仔细析来,不外乎有以下几种常见题型:1、自编问题型;2、阅读理解型;3、决策运筹型;4、数学建模型;5、方案设计型;6、信息迁移型;7、单一判断型;8、条件存在型;9、题设取舍型;10、探索结论型; 11、过程动态型;12、分类讨论型。以上题型在中考试卷中有时单独成题,有时多型合题。解答这些开放性数学中考题,不仅要求学生具有厚实的基本功和一定的

2、数学思想方法,而且要求学生具有较强的发散思维能力和创新精神。不过,完整地解答开放性数学中考题也不是高不可攀的。因为,不同题型的分析思路还是有一定的规律可循的。例 1 (2000 年泉州市)写出一个只含有字母 x 的代数式(要求:(1)要使此代数式有意义,字母 x 必须取全体正数;(2)此代数式的值恒为负数):_。解 - (或- ,- ,) 。评注 自编问题型的答案是丰富多彩的,只要把语言叙述的条件转变为数学表达式即可。例 2 (2000 年安徽省)比较下面两列算式结果的大小(在横 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 线上选填“”“、 、=。一般结论:如果 a,b 是

3、两个实数,那么 a2+b22ab。(a-b) 20,a 2-2ab+b20, a2+b22ab。评注 解阅读理解题应:细看感悟材料的表象;泛想归纳材料的共性;敢猜揭示材料的规律;慎证说明猜想的合理性。例 3 (1998 年河北省)某工厂有甲种原料 360 千克,乙种原料 290 千克,计划用这两种原料生产 A,B 两种产品共 50 件。已知生产一件 A 种产品,需用甲种原料 9 千克,乙种原料 3 千克,可获利润 700 元;生产一件 B 种产品,需用甲种原料 4 千克,乙种原料10 千克,可获利润 1200 元。(1)按要求安排 A,B 两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来。(2)

4、设生产 A,B 两种产品获总利润为 y(元) ,其中一种产品的生产件数为 x,试写出 y 与 x 之间的函数关系式,并利用函数的 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 性质说明哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?解 (1)设安排生产 A 种产品 x 件,则生产 B 种产品(50-x)件。由得 30x32。x 为整数,x 取 30,31 或 32。生产方案有三种: 生产 A 种产品 30 件,B 种产品 20 件;生产 A 种产品 31 件,B 种产品 19 件;生产 A 种产品 32 件,B 种产品 18 件。(2)依题意得:y=700x+1200(50-x)

5、,y=-500x+60000 ,y 随 x 的增大而减小, 当 x=30 时, y 的值最大。即按第一种方案安排生产,所获最大利润为 45000 元。评注 这道题集决策运筹、方案设计和数学建模于一身。对于方案,通常不止一套,但我们应选最佳的。特别是几何图形的设计,更应如此。至于决策题,通常与经济题紧密相联,涉及到函数和不等式(组)等知识。解这类题的关键是建立相应的数学模型。运用数学建模方法解决实际问题,一般要经过三个环节:实际问题 数学问题算式、方程、不等式(组) 、函数 解答数学问题 回归实际问题。例 4 (1999 年扬州市)若函数 y= 的自变量 x 取值范围是一切实数,则 c 的取值范

6、围是( ) 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 (A)c1 (B )c=1(C)c1。例 5 设抛物线 y=x2-(m-1)x+(m+2)与 y 轴相交于点 C,与 x 轴交于 A,B 两点(A 在 B 的左边) ,O 为坐标原点,以 OA、OB 为直径作O 1、O 2,且这两个圆外切。 (1)求 m 的取值范围;(2)这两个圆的半径是否相等?若相等,求出其半径;若不相等,请指出哪一个圆较大?(3)是否存在这样的 m 值,使OC2=OAOB?如果存在,判定ABC 的形状;并证明你的结论;如果不存在,请说明理由。略解 设 A(x1,0),B(x 2,0),x 1X2,

7、则(1)由 得 m-2。(2)由 x1+x2=m-1-30,得两圆半径不等,且以 OA 为直径的圆较大。(3)假设存在这样的 m 值,使 OC2=OAOB,则(m+2) 2=-(m+2), 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 m=-3。此时ABC 是直角三角形,证 COABOC 即可。评注 第(2)题属于单一判断型开放题,由于“单一判断” 是非此即彼,所以解答这类题,只要通过正确计算(或推理)即可得出结论。第(3)题属条件存在型开放题。由于条件存在型开放题的特征是“结出结论,逆向寻求条件是否存在” ,所以,一般要用反证法思想解题。第一步假设存在。第二步:根据假设进行

8、推理。若推理顺畅,即可求出所寻的条件;若出现矛盾,则表明所寻条件不存在。值得注意的是,近年来,条件存在型问题,在各地中考开放性数学试题中出现的频率最高。例 6 在直角梯形 ABCD 中,AD BC, B=90,AB=8 厘米,AD=24 厘米,BC=26 厘米,AB 为O 的直径,动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1 厘米/秒的速度运动,动点 Q 从点 C 开始沿 CB边向点 B 以 3 厘米/秒的速度运动。P ,Q 分别从点 A,C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动。设运动时间为 t秒。求:(1)t 分别为何值时,四边形 PQCD 为平行四边形、等腰梯形?

9、(2)t 分别为何值时,直线 PQ 与O 相切、相交、相离? 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 解 (1)AD BC,只要 QC=PD,则可得;平行四边形PQCD,此时 3t=24-t, t=6,即当 t=6 秒时,四边形 PQCD 为平行四边形。 PDPC,只要 PQ=CD 且 PDQC,四边形 PQCD 即为等腰梯形。如图 2,作 PEBC 于 E,DFBC 于 F,则由等腰梯形的性质可知:EF=PD ,QE=FC=2,2= 3t-(24-t),t=7,即当 t=7 秒时,四边形 PQCD 为等腰梯形。(2)设运动 t 秒时,直线 PQ 与O 相切于点 F(如

10、图 3) ,作PHBC 于 H,则 PH=AB=8,BH=AP,根据切线长定理可得PQ=PF+FQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t,而 PQ2=PH2+HQ2,(26-2t)2=82+(26-4t)2。 t1= , t2=8,即当 t= 秒或 t=8 秒时, PQ 与O 相切。当 t=0 秒时,PQ 与O 相交;当 t= =8 秒进,当 Q 运动到 B点,点 P 尚未运动到点 D,但也停止了运动,此时 PQ 也与O 相交。 当 0t 秒或 8t8 秒时,PQ 与 O 相交。当 秒,t8 秒时,直线 PQ 与 O 相离。评注 本例是一道典型的过程动态开放题,在全面实施素质教育的今天,倍受

11、中考命题者的青睐。因为它所强化的数学素养,对 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 学生后续学习意义深远。解决这类问题的关键是分析运动变化过程,寻找变化中的特殊位置。即“动” 中求“静”、 “一般”中见“特殊” ,再列出特殊位置时的数学表达式,运用分类讨论的思想,各个击破。其实本例第(1)问也是一种结论明显的分类讨论题。但在解隐含性结论(或过程)分类讨论型开放题时,要首先确定好分类的标准,再行讨论,切切不能重复、不能遗漏。若将本例的第(2)问改为:“确定在运动过程中 PQ 与O 的位置关系”,则它就成了一道探索结论型的开放题。由于需要探索的结论目标不明确,且结论往往不

12、唯一,所以这类题是开放型数学试题中难度较高的一类。解决这类问题,需要有扎实的基础知识,较强的发散思维能力。因此,遇到此类题,必须仔细审题,善于运用分析、联想、类比、分类等数学思想及方法才能解决。其解题的基本策略是:从已知开始,层层演绎推理,后步可用前步的结论,直至结论被推出,特别重视可能出现的多解情况。至于题设取舍型,顾名思义,即是提供的条件过多,解题时应正确取舍,你能举出这方面的中考数学开放试题吗?例 7. 善于学习的小敏查资料知道:对应角相等,对应边成比例的两个梯形,叫做相似梯形,他想到“平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似” ,提出如下两个问题,你能帮助解决

13、吗?问题一:平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似?(1)从特殊情形入手探究。假设梯形 ABCD 中,AD/BC,AB=6 ,BC=8 ,CD=4 ,AD=2,MN 是中位线(如图 2) 。 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 根据相似梯形的定义,请你说明梯形 AMND 与梯形 ABCD 是否相似?图 2(2)一般结论:平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形(填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定” 。不要求证明) 。问题二:平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似?(1)从特殊平行线入手探究。梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形(填

14、“相似”或“不相似”或“相似性无法确定” 。不要求证明) 。(2)从特殊梯形入手探究。同上假设,梯形 ABCD 中,AD/BC,AB=6 ,BC=8 ,CD=4 ,AD=2,你能找到与梯形底边平行的直线 PQ(点 P、Q 在梯形的两腰上,如图 2) ,使得梯形 APQD与梯形 PBCQ 相似吗?请根据相似梯形的定义说明理由。图 2(3)一般结论:对于任意梯形(如图 2) ,一定(填“存在”或“不存在” )平行于梯形底边的直线 PQ,使截得的两个小梯形相似。图 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 若存在,则确定这条平行线位置的条件是。PBA(不妨设 AD=a,BC=

15、b,AB=c,CD=d 。不要求证明) 。分析:问题一(1)因为 MN 是中位线,所以85,221,BCMNADDCNA显然对应边不成比例,所以梯形 AMND 与梯形 ABCD 不相似。(2)平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形不相似。问题二(1)因为 MN 是中位线,显然两梯形对应边不成比例,所以梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形不相似。(2)如果梯形 APQD 与梯形 PBCQ 相似则 82,PQBCPQAD即解得 PQ=4,此时 21AD又 AB=6,所以 AP=2,所以当 AP=2,且 PQ/BC 时,又两梯形对应角相等,所以梯形 APQD 与梯21QCPBAD形 PBCQ 相

16、似。(3)对于任意梯形,一定存在平行于梯形底边的直线 PQ,使截得的两个小梯形相似。此时, BCPQAD所以 baPBAabQ故,评注:这类问题建立在已学知识的基础上研究、发现、拓展相似形问题为素材设计的一道创新型阅读理解题。解答这类阅读理解题的关键是在阅读、理解的基础上,由题中提供的信息,联系所学知识,运用联想类比、模仿迁移的方法实现信息的迁移,从而掌握符合问题的条件及其性质的运用;它既能考查学生适应新问题、接受新知识、认识新事物的能力,又能考查学生的自学能力,信息的收 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 集、迁移和应用能力。例 8 如图,把矩形 ABCD 对折,折痕为 MN(图甲) ,再把 B 点叠在折痕 MN 上的 处。得到 (图乙) ,再延长 交 ADBRtABE E于 F,所得到的 是( )EAFA. 等腰三角形 B. 等边三角形C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形答案:B

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