1、1弹簧类模型的最值问题温卫国在高考复习中，常常遇到有关“弹簧类”问题，由于弹簧总是与其他物体直接或间接地联系在一起，弹簧与其“关联物”之间总存在着力、运动状态、动量、能量方面的联系，因此学生普遍感到困难，本文就此类问题作一归类分析。一、最大、最小拉力例 1. 一个劲度系数为 k600N/m 的轻弹簧，两端分别连接着质量均为 m15kg 的物体 A、B，将它们竖直静止地放在水平地面上，如图 1 所示，现加一竖直向上的外力 F 在物体 A 上，使物体 A 开始向上做匀加速运动，经 0.5s，B 物体刚离开地面（设整个加速过程弹簧都处于弹性限度内，且 g10m/s 2） 。求此过程中所加外力的最大和
2、最小值。图 1解析：开始时弹簧弹力恰等于 A 的重力，弹簧压缩量 ，0.5s 末 B 物体刚要离开地面，此时弹簧弹lmgk025.力恰等于 B 的重力， ，故对 A 物体有 ，代入数据得 。刚开始时 F 为最小且lm.0252atams42/，B 物体刚要离开地面时，F 为最大且有 ，解得FmaNin1546Fgmax。gax23二、最大高度例 2. 如图 2 所示，质量为 m 的钢板与直立弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地面上，平衡时弹簧的压缩量为 。一物x0体从钢板正上方距离为 的 A 处自由下落打在钢板上，并立即与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向30x上运动，已知物块质量也
3、为 m 时，它们恰能回到 O 点，若物体质量为 2m 仍从 A 处自由下落，则物块与钢板回到 O 点时还有向上的速度，求物块向上运动到达的最高点与 O 点的距离。图 2解析：物块碰撞钢板前作自由落体运动，设 表示物块与钢板碰撞时的速度，则： v0 vgx0062物块与钢板碰撞后一起以 v1速度向下运动，因碰撞时间极短，碰撞时遵循动量守恒，即： mv012刚碰完时弹簧的弹性势能为 ，当它们一起回到 O 点时，弹簧无形变，弹性势能为 0，根据机械能守恒有：EpEmvgxp1220()设 表示质量为 2m 的物块与钢板碰撞后开始向下运动的速度，由动量守恒有： 2302mv碰撞后，当它们回到 O 点时
4、具有一定速度 v，由机械能守恒定律得：vgxmp123123202()()当质量为 2m 的物块与钢板一起回到 O 点时两者分离，分离后，物块以 v 竖直上升，其上升的最大高度：hg解式可得 。hx02三、最大速度、最小速度例 3. 如图 3 所示，一个劲度系数为 k 的轻弹簧竖直立于水平地面上，下端固定于地面，上端与一质量为 m 的平板 B 相连而处于静止状态。今有另一质量为 m 的物块 A 从 B 的正上方 h 高处自由下落，与 B 发生碰撞而粘在一起，已知它们共同向下运动到速度最大时，系统增加的弹性势能与动能相等，求系统的这一最大速度 v。图 3解析：A 下落到与 B 碰前的速度 v1为
5、：vgh12A、B 碰后的共同速度 v2为： m12()B 静止在弹簧上时，弹簧的压缩量为 x0，且：mgkx0A、B 一起向下运动到最大速度 v 时的位移为 x，此时 A、B 的加速度为 0，即有： 20mgkx()由机械能守恒得：2122gxvmEp()()Ep3解得： vmgkh214例 4. 在光滑水平面内，有 A、B 两个质量相等的木块， ，中间用轻质弹簧相连。现对 B 施一水平恒力mkgAB2F，如图 4 所示，经过一段时间，A、B 的速度等于 5m/s 时恰好一起做匀加速直线运动，此过程恒力做功为 100J，当 A、B恰好一起做匀加速运动时撤除恒力，在以后的运动过程中求木块 A
6、的最小速度。图 4解析：当撤除恒力 F 后，A 做加速度越来越小的加速运动，弹簧等于原长时，加速度等于零，A 的速度最大，此后弹簧压缩到最大，当弹簧再次回复原长时速度最小，根据动量守恒得： 2mvvAB根据机械能守恒得： 10212mvAB由以上两式解得木块 A 的最小速度 v0。四、最大转速和最小转速例 5. 有一水平放置的圆盘，上面放一个劲度系数为 k 的轻弹簧，其一端固定于轴 O 上，另一端系着质量为 m 的物体A，物体 A 与盘面间最大静摩擦力为 Ffm，弹簧原长为 L，现将弹簧伸长 后置于旋转的桌面上，如图 5 所示，问：要使L物体相对于桌面静止，圆盘转速 n 的最大值和最小值各是多
7、少？图 5解析：当转速 n 较大时，静摩擦力与弹簧弹力同向，即：kLFmLf()21f1()当转速 n 较小时，静摩擦力与弹簧弹力反向，即：kLFmLf()2f21()所以圆盘转速 n 的最大值和最小值分别为：。2kLFmf()和 12kLFmf()4五、最大加速度例 6. 两木块 A、B 质量分别为 m、M，用劲度系数为 k 的轻质弹簧连在一起，放在水平地面上，如图 6 所示，用外力将木块 A 压下一段距离静止，释放后 A 做简谐运动，在 A 振动过程中，木块 B 刚好始终未离开地面，求木块 A 的最大加速度。图 6解析：撤去外力后，A 以未加外力时的位置为平衡位置作简谐运动，当 A 运动到
8、平衡位置上方最大位移处时，B 恰好对地面压力为零，此时 A 的加速度最大，设为 am。对 A：由牛顿第二定律有 kxg()0对 B： kxMg()0所以 ，方向向下。am六、最大振幅例 7. 如图 7 所示，小车质量为 M，木块质量为 m，它们之间静摩擦力最大值为 Ff，轻质弹簧劲度系数为 k，振动系统沿水平地面做简谐运动，设木块与小车间未发生相对滑动，小车振幅的最大值是多少？图 7解析：在最大位移处，M 和 m 相对静止，它们具有相同的加速度，所以对整体有： kAMma()对 m 有： Faf所以由解得： 。AMkf()七、最大势能例 8. 如图 8 所示，质量为 2m 的木板，静止放在光滑
9、的水平面上，木板左侧固定着一根劲度系数为 k 的轻质弹簧，弹簧的自由端到小车右端的距离为 L0，一个质量为 m 的小木块从板的右端以初速度 v0开始沿木块向左滑行，最终回到木板右端，刚好不从木板右端滑出，设木板与木块间的动摩擦因数为 ，求在木块压缩弹簧过程中（一直在弹性限度内）弹簧所具有的最大弹性势能。图 85解：弹簧被压缩至最短时，具有最大弹性势能 ，设 m 在 M 上运动时，摩擦力做的总功产生内能为 2E，从初状态Ep到弹簧具有最大弹性势能及从初状态到末状态，系统均满足动量守恒定律，即：mvv02()由初状态到弹簧具有最大弹性势能，系统满足能量守恒：13022Epm()由初状态到末状态，系统也满足能量守恒且有：022mvv()由求得： pm1602从以上各例可以看出，尽管弹簧类问题综合性很强，物理情景复杂，物理过程较多，但只要我们仔细分析物理过程，找出每一现象所对应的物理规律，正确判断各物理量之间的关系，此类问题一定会迎刃而解。
