1、,相對性原則,地面,車上,觀察者無法藉由力學實驗分辨自己是靜止的，還是在等速移動！,相對性變換下的物理定律形式上是不變的！,伽利略變換,移動中的實驗者，他由實驗結果所歸納出來的物理定律，與靜止的觀察者所歸納的物理定律一模一樣！,Relativistic Invaraince:,Is it a beautiful symmetry or a fearful (restricted) symmetry?,Id say a little bit of both.,So its more like the language by which we speak!,Its full of beauty,
2、it has its rule but, most important, without it, we dont know how to communicate!,靜止座標系與等速運動座標系之間的變換,以被動變換的觀點看，兩者都是緣因於觀察者的改變,慣性座標系之間的伽利略變換,主動的變換,要確定相對原則是否正確，先要找到相對性變換！,慣性座標系之間的速度的變換,慣性座標系之間的加速度的變換,伽利略變換,移動中的實驗者，他由實驗結果所歸納出來的物理定律，與靜止的觀察者所歸納的物理定律一模一樣！,牛頓運動定律在伽利略變換下是不變的！,動量守恆定律是否滿足相對性原則？,從 S 看,從 S 看,v1i
3、,v2i,v1f,v2f,動量守恆定律在S成立，在S也成立，滿足相對性原則,動量守恆定律在伽利略變換下是不變的！,馬克斯威爾方程式滿不滿足相對性原則?,在伽利略變換下，馬克斯威爾方程式是不是不變的？,?,光速的值是馬克斯威爾方程式的預測！,有一個捷徑可以判斷！,如果Maxwell 方程式在伽利略變換下不變：,翻譯表,那麼：,可是伽利略變換下，慣性座標系之間的速度的變換,伽利略變換都告訴我們，觀察所得速度與觀察者運動狀態有關！,不同速度的觀察者測量光速，得到結果不同。,在伽利略變換下，馬克斯威爾方程式不是不變的！,伽利略變換的要求,與不變性的預測牴觸！,我們可以在太空船上操作電磁學實驗，例如量光
4、速，由需要的修正來測量得到太空船的真實速度！,依照馬克斯威爾的想法，真實速度是可以測量的！,誰對？,相對於以太移動的觀察者，會測到不同的光速,光速與觀察者無關！,馬克斯威爾方程式遵守相對性原則！,馬克斯威爾方程式不遵守相對性原則！,電磁波無介質！,存在無質量的介質以太。,大對決！,光速測量正好提供一個非常直接的試驗機會,Michelson and Morley (1887),Maxwell 方程式滿足相對性不變性在不同的慣性座標系中，型式不變。,因此，無論觀察者的運動狀態，光速恆定！,因為光速是Maxwell方程式的預測，,伽利略變換必須修正,無論觀察者及光源的運動狀態，光速恆定！,但如何修正
5、呢？,光速恆定原則,如果與觀察者等距的兩件事發出的光同時到達觀察者，這兩件事就是同時的。,無論觀察者及光源的運動狀態，光速恆定！,甚麼是同時？Simultaneity,幼青嫁給我,李大仁愛你,李大仁愛你,幼青嫁給我,相對論最關鍵的推理實驗,李大仁愛你,幼青嫁給我,對Sam來說同時發射的兩道光,Sam,對Sally來說，兩道光一定不是同時發射！,Sally,Relativity of Simultaneity 同時性是相對的,兩個信號對Sam來說是同時發射，但對於Sally卻不是同時發射！,Time is no smooth river.,同時性與觀察者的運動狀態有關！,光速恆定顛覆了絕對時間的
6、觀念！,光速恆定原則要求放棄絕對時間的觀念！,時間間隔的長短也是相對的！,太空船上,地面,太空船上,地面,同一段（在太空船上的）時間，從地面上量起來較長,兩者的關係很容易計算出來：,移動中的鐘看起來（對靜止的觀察者）較靜止時走得慢！,time dilation 時間延遲,移動的時鐘上的一段時間，從靜止的觀察者量起來比較長,孿生手足中從事飛行的那一個會老的比較慢，因此相見時較為年輕！,司機的時鐘跑的比較慢！(所以誤點是正常的？哈哈！),機師的時鐘從塔台看來走的較慢。,緲子的衰變 （生命期約 2.2 10-6 s),到達地面前早以衰變殆盡。,但高速移動的緲子所帶的時鐘走得較慢,羅倫兹變換 Lore
7、ntz Transformation,要求光速恆定：,Time Dilation,長度縮短效應 Length Contraction,移動中的尺看起來較靜止時縮短！,速度加成,光速恆定,為何物體不能快過光速？,x,t,2c,1,以兩倍光速在事件A及事件B間傳遞訊息！,A,B,事件A是因，事件B是果。,x,t,2c,1,A,B,從一個以4/5 c 速度移動的座標系來觀察：,因事件B的時間變號，事件A在後，事件B在前，小鬼以兩倍光速在事件B及事件A間傳遞訊息！,事件B是因，事件A是果。,因果顛倒！,Hermann Minkowski,4-vector,時間與空間似乎糾葛在一起,時間與空間不能分開來
8、討論,移動座標觀察到的時間不只與靜止座標的時間有關，也跟空間有關,為了討論方便，應該把時空一起記載！,四個分量的物件,羅倫茲轉換,使用新的符號，羅倫茲變換可以寫成：,這又使我們聯想到旋轉,變換後的分量是變換前分量的線性組合,vector,4-vector,不變量,座標軸旋轉,羅倫茲轉換,4 Vector 在羅倫茲轉換下，分量會轉換為原來分量的線性組合,這與向量在座標軸旋轉後，分量的變化很像！,向量長度在旋轉軸旋轉下不變,類似的分量組合在羅倫茲轉換下不變。,向量,4-vector,純量,座標軸旋轉,羅倫茲轉換,這是一個很有用的對應！,不變量,分量只是方便的數學工具，隨時可因座標軸選取的改變而改變
9、,羅倫茲變換原來就是一個時空座標軸的更換,光的路徑,Minkowski Space,一個 4 vector 的時間與空間座標可以在 Minkowski 空間圖上一點來表示,羅倫茲轉換的確也是座標軸變換，但非旋轉，而是保持光路徑不變的變換！,Proper Time ,它是一個羅倫茲變換下的不變量,一個粒子時空位置的Proper time 的小變化與時間成正比,4-vector的長度,這是隨著粒子移動的時鐘量到的時間,所有的向量在坐標軸旋轉下滿足一樣的式子,在旋轉的變換下，與位置以相同方式變換的稱為向量！,在羅倫茲變換下，與時空以相同方式變換的四組量稱為 4 vector,所有的4向量在羅倫茲變換
10、下滿足一樣式子,For all 4 vectors:,由4 vector及其長度可以定義此向量空間中的內積,向量內積是由一個 Metric 來定義：,由此可以進一步定義也是四個分量組成的 Covariant vector,g 是用來 lower indices,Covariant vector在羅倫茲變換下也有固定的變換方式，與4vector相關但不同,足標contract殆盡就得到不變量,以上的定義可以推廣到所有4 vector,Covariant Vectors can be formed by lowering g:,Vectors can be formed from Covarian
11、t Vectors by raising g:,對 4 vector 微分是一個 Covariant Vector,是不變量,There are also tensors:,You can also do contraction to lower the rank.,為了得到羅倫茲不變量，所有的足標必須完全Contract殆盡！,4-vector,物理量可以依據他們在羅倫茲轉換下如何變化來分類,不變量,tensor,相對性原則 The Principle of Relativity,移動中的實驗者，他由實驗結果所歸納出來的所有物理定律，與靜止的實驗者所歸納的物理定律一模一樣！,相對性原則成為物
12、理定律是否正確的一個新的檢驗標準！,所有還沒檢驗過的都要拿來確認一下！,檢驗的標準為何？,相對性原則的數學表示法：,兩個座標系的關係由羅倫茲變換給定：,物理定律必須在羅倫茲轉換下不變！,馬克斯威爾方程式在羅倫茲變換下不變,兩個座標系的關係由羅倫茲變換給定：,物理定律必須在羅倫茲轉換下不變！,動量與能量守恆定律在羅倫茲變換下會不會變？,動量與能量守恆定律滿不滿足相對性原則？,u,u,u,u,O,O,v=u,牛頓版動量守恆,完全非彈性碰撞,牛頓版的動量守恆遵守伽利略變換下的相對性原則,u,u,u,u ？,O,O,v=u,但？如果考慮相對性效應.,動量守恆定律在羅倫茲轉換後就不像動量守恆了！,動量守
13、恆定律在左方是正確，但在右方就不正確，反之亦然,牛頓的動量守恆定律滿不滿足相對性原則！,牛頓的動量守恆定律必須修正！,如何修正？,既然羅倫茲變換很像旋轉，我們以旋轉為例來看看有沒有一個使物理定律對稱不變的標準！,F,F,a,旋轉變換後，物理定律必須不變,物理定律等式兩邊都是向量（或純量，或張量），保證公式在旋轉變換下不變,要求動量新定義必須：,動量是一個 4-vector 的一部分,所有遵守羅倫茲轉換不變性，等式兩邊必須同時是 4-Vector ，或同時是純量,新動量在速度遠小於光速時，必須趨近於舊動量。,牛頓定義的動量顯然不是 4-Vector 。,牛頓力學中所有的物理定律，等式兩邊必須同時
14、是向量，或同時是純量。,4-Vector 第二分量除以第一分量,變換式非常複雜（非線性組合）！,新的定義,動量是 4-vector 動量 P 的空間分量！,以不變量 Proper Time 取代時間 t,因為位置是向量，時間是純量，故兩者的商，速度是向量。,是時空 4-vector 的空間部分，將整個時空 4-vector 除以，,就得到一個新的 4-vector 的動量,速度小時：,新動量在速度遠小於光速時，趨近於舊動量。,一個粒子運動時的 Proper Time 滿足,新定義滿足我的兩項要求,座標軸旋轉後，物理定律不變,等式的左右滿足同樣的轉換關係,?,所有的向量在坐標軸旋轉下滿足一樣的式
15、子,等式兩邊如果同時都是向量,座標軸可以隨意選取,等式兩邊都是向量，保證公式不隨座標軸變換而改變,動量 P 是4-vector，它在羅倫茲變換前後的關係，與時空是一樣的,如果在O座標系中，p1 及p0 都守恆，在O座標系中，p1自然保證守恆,在O 中的動量，等於 O 中的動量分量的線性組合,要求等式兩邊都是 4 Vector，保證公式不隨羅倫茲轉換而改變,變換後的粒子動量和與變換前，滿足：,u,u,u,u,O,O,v=u,新定義使動量守恆定律遵守相對性原則,新定義與舊定義的關係,接近牛頓的定義,因此，新的守恒律其實是能量守恆定律,P0是什麼？由速度小的情況去找牛頓力學中的對應。,守恆律多了一個
16、：,P0守恆定律,動能,靜止能量,For v = c, the energy is infinite. Hence you are never able to push an object faster than the speed of light!,Even at rest, an object still contain an energy due to its mass:,It opens up the possibility to convert mass into energy or vice versa.,動量守恆與能量守恆便整合成一個定律：4 momentum conserva
17、tion。,動量與能量的分別只是表面的,動量與能量的羅倫茲變換就如時空一樣！,4 momentum 的長度P2 是甚麼呢？,質量是一個粒子四維動量的長度，是一個羅倫茲不變量。,因此質量是粒子的最重要的特徵！,每一個基本粒子的 4 momentum都必須滿足以下的 on-shell條件,能量與3維動量大小並非獨立的變數。,動量越大，能量就越大。,為方便起見，在計算過程中，取一個單位系統使,如此能量、動量、質量就有一樣的單位，取為能量單位 eV。,但光是以光速 c 前進：,除非,事實上曾馬克斯威爾方程式推得電磁波的能量與動量密度成正比：,光子質量為零，Massless,無質量的粒子必定以光速前進。
18、,從光子的波性來看：,Dispersion Relation,從其他有質量的粒子的波性來看：,Dispersion Relation,靜止的物體因為其質量，能量亦不為零,這個公式暗示了能量與質量可以彼此互相轉換。,質量是能量的一種形式，能量守恆蘊含質量可以轉換為其他形式的能量，其他形式的能量亦可轉換為質量，質量不再守恆。,mc2,K,K,mc2,質量的減少可能變為動能的增加！,u,u,質量不守恆，動能轉換成質量。,mc2,K,K,mc2,粒子物理的反應必須滿足 4 momentum Conservation,Decay,u,u,質量不守恆，動能轉換成質量。,mc2,K,K,mc2,And Remember that for any real particles:,
