1、1证明的认识 图 27.1.3 1已知：ABC求证：ABC180证明： 如图 27.1.3，延长线段 AB 到 D，过点 B 画 BEAC 因为BEAC （画图） ，所以 A1 （两直线平行，同位角相等） ，C 2 （两直线平行，内错角相等） ，又因为 12ABC180 （平角的定义） ，所以 AABCC180 （等量代换） 2. 求证： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 图 27.1.4 已知： 如图 27.1.4，CBD 是ABC 的一个外角求证： CBDAC证明： 因为A ABCC180 （三角形的内角和等于 180） ，所以 AC180ABC （等式的性质） 又因为 ABC
2、CBD180 （平角的定义） ，所以 CBD180ABC （等式的性质） 因此 CBDAC （等量代换） 由于上述命题也经常需要用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把上述命题也作为定理23.已知： 如图 27.2.2，在ABC 和ABC中，ACBACB 90，ABA B，ACAC 图 27.2 求证： ABCAB C证明 如图 27.2.2 那样，把ABC 和ABC拼在一起因为ACBACB90（已知） ，所以 BC B180（等式的性质） ，即点 B、C、B 在同一条直线上在AB B 中，因为ABABAB （已知） ，所以 BB（等边对等角） 在ABC 和AB C 中，因为ACBACB（已
3、知） ，BB（已证） ，ABAB（已知） ，所以 ABCABC（A.A.S.） 与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法证明 PDPE4.已知： 如图 27.2.3，OC 是AOB 平分线，点 P 是 OC 上任意一点，PDOA，PEOB，点D、E 为垂足求证： PDPE 分析 图中有两个直角三角形PDO 与PEO，容易看出满足（A.A.S.）定理的条件证明 因为 PDOA ，PEOB（已知） ，所以 PDOPEO90（垂直的定义） 在PDO 和PEO 中，因为DOPEOP （已知） ，PDO PEO（已证） ，POPO（公共边） ，所以 PDOPEO（A.A.S ） 因此 PD
4、PE （全等三角形的对应边相等） 图 27.3 35.已知：如图 27.2.4，QDOA，QEOB，点 D、E 为垂足，QDQE求证：点 Q 在AOB 的平分线上分析 为了证明点 Q 在AOB 的平分线上，可以画射线 OQ，利用（H.L.）定理证明QODQOE，从而得到AOQ BOQ 6.已知： MNAB，垂足为点 C，ACBC，点 P 是直线 MN 上任意一点求证： PAPB 证明 因为 MNAB（已知） ，所以 PCAPCB90（垂直的定义） 在PCA 和PCB 中，因为ACBC（已知） ，PCAPCB（已证） ，PCPC（公共边） ，所以 PCAPCB（S.A.S） 因此 PAPB （全
5、等三角形的对应边相等） 平行四边形判定定理 1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形7.已知：四边形 ABCD 中，ABCD，ABCD求证：四边形 ABCD 是平行四边形分析 要证明四边形 ABCD 是平行四边形，只要证明另一组对边平行，因此，可以连结其中一条对角线，然后证明内错角相等图 27.3.1 证明 如图 27.3.1，连结 AC因为图 27.2.4 4ABCD ，所以 BACDCA（两直线平行，内错角相等） 在ABC 和CDA 中，因为AB CD，BAC DCA，AC CA，所以 ABCCDA（S.A.S. ） 因此 BCADAC（全等三角形的对应角相等） ， BCDA（内错角相等，两直线平行） 所以四边形 ABCD 是平行四边形
