特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式.doc

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资源描述

1、1特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2.平行四边形的性质:(1)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点,不是轴对称图形。(关于对称性的)(2)平行四边形的对角相等;(关于角的)(3)平行四边形的邻角互补;(关于角的)(4)平行四边形的对边相等;(推论:夹在两条平行线间的平行线段。)(关于边的)(5)平行四边形的对边平行;(关于边的)(6)平行四边形的对角线互相平分。(关于对角线的)(7)连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(关于中点四边形的)3.平行四边形的判定方法:(1)两组对边分

2、别平行的四边形是平行四边形;(定义判定法)(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角相等的四边形是平行四边形;(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形。4. 相关计算公式:平行四边形的面积公式:底高;如用“h” 表示高,“ a”表示底,“s”表示平行四边形面积,则 S=ah 平行四边形周长:2(底 1+底 2);如用“a“表示底 1,“b” 表示底 2,“c“表示平行四边形周长,则 C=2(a+b)5.平行四边形中常用辅助线的添法:(1)连结对角线或平移对角线;(2)过顶点作对边的垂线构成直角三角形;(3)连结对角线交点与一边中点,

3、或过对角线交点作一边的平行线,构成线段平行或中位线;(4)连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形;(5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等。矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。2.矩形的性质: (1)矩形是中心对称图形,也是轴对称图形,对称轴是通过对边中点的直线,对称轴共有两条;(关于对称性的)(2)矩形的对角相等;(关于角的)(3)矩形的邻角互补;(关于角的)(4)矩形的对边相等;(关于边的)(5)矩形的对边平行;(关于边的)(6)矩形的对角线互相平分;(关于对角线的)(7)矩形的四个角都是直角;(关于角的)(8)矩形的对角线相等。

4、(关于对角线的)(9)矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等3.矩形的判定方法:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;(定义判定法)(2)对角线相等的平行四边形是矩形;2(3)关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形(4)对于平行四边形,若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等,则此平行四边形为矩形(5)有三个角是直角的四边形是矩形;(6)四个内角都相等的四边形为矩形;(7)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;(8)对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形。4.相关计算公式矩形面积:S=ah(注:a 为边长,h 为该边上的高)S=ab(注:a 为长,b

5、为宽)矩形周长:C=2(a+b)(注:a 为长,b 为宽)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形。菱形1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。2.菱形的性质:(1)菱形既是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在直线,也是中心对称图形;(2)在 60的菱形中,短对角线等于边长,长对角线是短对角线的3 倍。(3)菱形的对角相等;(关于角的)(4)菱形的邻角互补;(关于角的)(5)菱形的对边相等;(关于边的)(6)菱形的对边平行;(关于边的)(7)菱形的对角线互相平分;(关于对角线的)(8)菱形的四边都相等;(关于边的)(9)菱形的对角线互相垂直,且平分各内角;(关于对角线的)(10)顺次连接

6、菱形各边中点得到的四边形是矩形。(关于中点四边形的)3.菱形的判定方法:(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形;(定义判定法)(2)对角线相互垂直的平行四边形是菱形;(3)关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形;(4)四条边都相等的四边形是菱形。4. 相关计算公式:菱形的面积:菱形的面积等于两对角线乘积的一半。(只要是对角线互相垂直的四边形都可用)正方形1.正方形的定义:(1)四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。(2)有一组邻边相等的矩形是正方形。(3)有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形。(4)有一个角为直角的菱形是正方形。(5)对角线平分,垂直且相等,并且交角为直角的

7、四边形为正方形。2.正方形的性质:(1)既是中心对称图形,又是轴对称图形(有四条对称轴);(关于对称性的)(2)正方形的对角相等;(关于角的)(3)正方形的邻角互补;(关于角的)(4)正方形的对边相等;(关于边的)(5)正方形的相邻边互相垂直;(关于边的)(6)正方形的对边平行;(关于边的)(7)正方形的对角线互相平分;(关于对角线的)3(8)正方形的四个角都是直角;(关于角的)(9)正方形的对角线相等。(关于对角线的)(10)正方形的四边都相等;(关于边的)(11) 正方形的对角线互相垂直,且平分各内角。(关于对角线的)3.正方形的判定方法:(1)有一组邻边相等的矩形是正方形;(2)对角线互

8、相垂直的矩形是正方形;(3)有一个角为直角的菱形是正方形;(4)对角线相等的菱形是正方形;(5)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形;(6)四边均相等,对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形;(7)四边相等,有三个角是直角的四边形是正方形;(8)对角线相互垂直平分且相等的四边形为正方形。4.相关计算公式:面积计算公式:S=边长边长 或:S=对角线对角线2周长计算公式: C=4边长顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形。等腰三角形1.等腰三角形的定义:有两边相等的三角形是等腰三角形。2. 等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角相等; (简写成“等边对等角”)(2)等腰

9、三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合;(简写成“三线合一”)(3)等腰三角形的两底角的平分线相等;(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)(4)等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等;(5)等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半;(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高;(需用等面积法证明)(7)等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴。3. 等腰三角形的判 定 方 法 :(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边) 等 边 三 角 形1.等边三角形的定义:三

10、边都相等的三角形是等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。(注意:若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形,而一般不称这个三角形为等腰三角形)2.等边三角形的性质:(1)等边三角形的内角都相等,且为 60 度;(2)等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合;(三线合一)(3)等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。3.等边三角形的判定方法:(首先考虑判断三角形是等腰三角形)(1)三边相等的三角形是等边三角形;(定义)(2)三个内角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形

11、;(4)等边三角形是锐角三角形;4(5)有两个角等于 60 度的等腰三角形是等边三角形。等腰梯形1.等腰梯形的定义:一组对边平行(不相等),另一组对边不平行但相等的四边形是等腰梯形。2.等腰梯形的性质:(1)等腰梯形只有一条对称轴,上底和下底的中垂线就是它的对称轴;(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等;(3)等腰梯形的两腰相等;(4)等腰梯形的两底平行;(5)等腰梯形的两个底角相等;(6)等腰梯形的对角线相等;(7)等腰梯形内接于圆。3. 等腰梯形的判定方法:(1)一组对边不平行边相等的梯形是等腰梯形;(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;(3)对角线相等的梯形是等腰梯形;(4)一组对边

12、平行(不相等),另一组对边相等(不平行)的四边形是等腰梯形;(5)对角线相等,形成两个等腰三角形。4.相关计算公式等腰梯形的中位线长是上下底边长度和的一半 ;等腰梯形的面积公式等于上底加下底和一半乘高,也等于中位线乘高。直角三角形1.直角三角形的定义: 有一个角为 90的三角形,叫做直角三角形。 2.直角三角形的性 质直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质:(1)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(2)在直角三角形中,两个锐角互余。(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径 RC/2)。(4)直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。(5)在直角三角形中,30角所对直角边等于斜边的一半。 3.直角三角形的判 定 方 法 :(1)有一个角为 90的三角形是直角三角形;(2)一个三角形,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形;(3)若 a 的平方b 的平方=c 的平方,则以 a、b、c 为边的三角形是以 c 为斜边的直角三角形;(勾股定理的逆定理)。(4)若一个三角形 30内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形;(5)两个锐角互余的三角形是直角三角形。

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