1、习题 88-1沿一平面简谐波的波线上，有相距 的两质点 与 ， 点振动相位2.0mAB比 点落后 ，已知振动周期为 ，求波长和波速。A6s解：根据题意，对于 A、B 两点， ，x2612，而 ，242x/sTu8-2已知一平面波沿 轴正向传播，距坐标原点 为 处 点的振动式为O1xP，波速为 ，求：)cos(tAy（1）平面波的波动式；（2）若波沿 轴负向传播，波动式又如何?x解：（1）设平面波的波动式为 ，则 点的振动式为：0cosxyAtu（，与题设 点的振动式 比较，10cosPxyAtu（Pcos()PyAt有： ，平面波的波动式为： ；0 1xtu（2）若波沿 轴负向传播，同理，设平
2、面波的波动式为：x，则 点的振动式为：0cosytu（，与题设 点的振动式 比较，1PAPcos()PyAt有： ，平面波的波动式为： 。0x 1xu8-3一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知 点的振动规律为，试写出：cos(2)yt（1）该平面简谐波的表达式；（2） 点的振动表达式（ 点位于 点右方 处） 。BBAd解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以 点为O原点平面简谐波的表达式为：，则 点的振动式：0cosxyAtu（0cos2Alytu（题设 点的振动式 比较，有： ，cos(2)yAt02lu该平面简谐波的表达式为： ）（ xlt（2）B 点的振动表达式可直接将坐标 ，代入波动
3、方程：xd2cos2cos ）（）（ udtAullty8-4已知一沿 正方向传播的平面余弦波， 时的波形如图所示，且周期x31t为 。Ts2（1）写出 点的振动表达式；O（2）写出该波的波动表达式；（3）写出 点的振动表达式；A（4）写出 点离 点的距离。解：由图可知： ， ，而 ，则：0.1m.42Ts，/./uTs， ，波动方程为：225k00.1co(5)ytx点的振动方程可写成：O.cos()Oyt由图形可知： 时： ，有：s31t00.5.s()3考虑到此时 ， ， （舍去）Odt3那么：（1） 点的振动表达式： ；0.1cos()3Oyt（2）波动方程为： ；.(5tx（3）设
4、点的振动表达式为：A.s)AA由图形可知： 时： ，有：s31t0yco(03考虑到此时 ， （或 ）0Adyt56A76AA 点的振动表达式： ，或 ；.1cos()t 70.1cos()6yt（4）将 A 点的坐标代入波动方程，可得到 A 的振动方程为：，与（3）求得的 A 点的振动表达式比较，有：0.1cos(5)Aytx，所以： 。6t mx23.078-5一平面简谐波以速度 沿 轴负方向传播。/s8.0u已知原点的振动曲线如图所示。试写出：（1）原点的振动表达式；（2）波动表达式；（3）同一时刻相距 的两点之间的位相差。m1解：这是一个振动图像！由图可知 A=0.5cm，设原点处的振
5、动方程为： 。30510cos()Oyt（1）当 时， ，考虑到： ，有：0t302.5Otytd，03当 时， ，考虑到： ，有： ， ，1t1Oty10Otdy3256原点的振动表达式： ；35cos()6（2）沿 轴负方向传播，设波动表达式：x 350cos()63ytkx而 ， ；512460.85ku3241t（3）位相差： 。.7xkrad8-6一正弦形式空气波沿直径为 的圆柱形管行进，波的平均强度为cm14，频率为 ，波速为 。问波中的平均能量密39.01/()JsHz30/s30度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？解：（1）已知波的平均强度为： ，
6、由 有：39.01I/()JsmIwu3539.01/IwJmu；5max26/（2）由 ，WV 2214uwd。53 710/(0.).610J J 8-7一弹性波在媒质中传播的速度 ，振幅 ，频率3/ums4.Am。若该媒质的密度为 ，求：（1）该波的平均能流密度；3Hz8kg（2）1 分钟内垂直通过面积 的总能量。240.S解：（1）由： ，有：21IuA；3432081I（ ） （ ） 52.81/W（2）1 分钟为 60 秒，通过面积 的总能量为：4m0.S。WSt5431.6.79J8-8 与 为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为12， 质点的振动比 超前 ，设 的振
7、动方程为4/5d121S，且媒质无吸收， （1）写出 与 之间的合成波动方程；tTAycos10 2（2）分别写出 与 左、右侧的合成波动方程。1S2解：（1）如图，以 为原点，有振动方程：，tycos0则波源 在右侧产生的行波方程为： ，1S12cos()yAtxT由于 质点的振动比 超前 ， 的振动方程为 ，21S22S20cos()2yAtT1Sx2设以 为原点，波源 在其左侧产生的行波方程为：1S2S，由于波源 的坐标为 ，代入可得振动方程：2cos()yAtxT2S5/4，与 比较，有：205()4t20cos()2yAtT。 。22cos()()yAtxtxT可见，在 与 之间的任
8、一点 处，相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，1S合成波为： ，为驻波；tTxAy2cos2（2）波源 在左侧产生的行波方程为： ，1 12s()yAtx与 叠加，有： ；cos()yAtxT2cotT左 （ ）（3）设波源 在其右侧产生的行波方程为： ，2Ss()yx代入波源 的坐标为 ，可得振动方程：5/4，20cos()yAtT与 比较，有： 。20 2t3 。2cs(3)cos()yxAtxT与 叠加，有： 。1oAtT120y右表明两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为 0。8-9设 与 为两个相干波源，相距 波长， 比 的位相超前 。若两1S2 41S2波在在 、 连线方向上的
9、强度相同且不随距离变化，问 、 连线上在12S外侧各点的合成波的强度如何？又在 外侧各点的强度如何？1 2解：（1）如图， 、 连线上在 外侧，12S11r2 ，21212()4r两波反相，合成波强度为 0；（2）如图， 、 连线上在 外侧，1S22S ，21()()04r两波同相，合成波的振幅为 ，A合成波的强度为： 。204II8-10测定气体中声速的孔脱（Kundt）法如下：一细棒的中部夹住，一端有盘伸入玻璃管，如图所示。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞 ，使棒纵向D P振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的频率 ，量度相邻波节间的平均距离 ，可求得管内气体中的
10、声速 。试证： 。dud2证明：根据驻波的定义，相邻两波节(腹) 间距： ，再根据已知条件：量2x度相邻波节间的平均距离 ，所以： ，那么： ，dd所以波速为： 。2u8-11图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。 为声S源， 为声音探测器，如耳或话筒。路径 的长度可以变DBD化，但路径 是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强度SA在 的第一位置时为极小值 100 单位，而渐增至 距第一位置B为 的第二位置时，有极大值 单位。求：cm65.190（1）声源发出的声波频率；（2）抵达探测器的两波的振幅之比。解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹) 间距： ，2x相邻波节与波腹的间距： ，可得： 。
11、4x46.cm1S2r（1）声音的速度在空气中约为 340m/s，所以：2340516.uHz（ ） 。（2） ， ， ，依题意有：IA2min()IA2max1()IA，那么 。21()9012028-12绳索上的波以波速 传播，若绳的两端固定，相距 ，在绳上/s5v m2形成驻波，且除端点外其间有 3 个波节。设驻波振幅为 ， 时绳上各1.0t点均经过平衡位置。试写出：（1）驻波的表示式；（2）形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹) 间距： ，如果绳的两端固定，那2x么两个端点上都是波节，根据题意除端点外其间还有 3 个波节，可见两端点之间有四个半波长的
12、距离， ，则： ，波长：42x4d，又波速 ， 又已知驻波振幅为1m5/ums50uHz（ ） 。， 时绳上各点均经过平衡位置，说明它们的初始相位为 ，关于时.0t 2间部分的余弦函数应为 ，所以驻波方程为：cos02t（ ）；.1cos25yx（ ）（2）由合成波的形式为： ，12cos2xyAt可推出合成该驻波的两列波的波动方程为： 10.5cosytx（ ）。2（ ）8-13弦线上的驻波波动方程为： ，设弦线的质量2cos()cosyAxt线密度为 。（1）分别指出振动势能和动能总是为零的各点位置；（2）分别计算 半个波段内的振动势能、动能和总能量。20解：（1）振动势能和动能总是为零的
13、各点位置是 的地方。02cos(）x即： ，可得： （k=0， ）1）（ kx2kx31，（2）振动势能写成： 221()coscosPdEkyAtdV（ ） 半个波段内的振动势能：022 22001()cscspkyxtx（ ）cos8At而： 222sinsinKdEmvAxtdV（ ） 半个波段内的振动动能：0222001sisiKvxtx（ ）sin8At所以动能和势能之和为： 。28KPEA8-14试计算：一波源振动的频率为 ，以速度 向04Hzsv墙壁接近（如图所示） ，观察者在 点听得拍音的频率为，求波源移动的速度 ，设声速为 。3Hzsv3/m解：根据观察者不动，波源运动，即：
14、 ， ，Su0R观察者认为接受到的波数变了： ，0其中 ， ， ，分别代入，可得： 。340u23040.5/Sums8-15光在水中的速率为 (约等于真空中光速的 )，在水中有8.51/ms43一束来自加速器的运动电子发出辐射称切连科夫(Cherenkov)辐射，其波前形成顶角 的马赫锥，求电子的速率16解：由 ，有 ： 。svu2in882.510.6sinius思考题 88-1.下图（a）表示沿 轴正向传播的平面简谐波在 时刻的波形图，则图xt（b）表示的是：（A）质点 的振动曲线； （B）质点 的振动曲线；mn（C）质点 的振动曲线； （D）质点 的振动曲线。pq答：图（b）在 t=0
15、 时刻的相位为 ，所以对应的是质点 n 的振动曲线，选择2B。8-2从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。.答：（1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，两者之和为恒量。（2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波的前进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量是守恒的。8-3设线性波源发射柱面波，在无阻尼、各向同性的均匀媒质中传播。问波的强度及振幅与离开波源的距离有何关系？答：在波源的平均功率不变，且介质无吸收的情况下， 为常量，那么，通过P距离为 的柱面的平均能流为： ， ， 。r2PIr 12IrAr8-4入射波波形如图所示，若固定点 处将被全部反射。O（1）试画出该时刻反射波的波形；（2）试画该时刻驻波的波形；（3）画出经很短时间间隔 （ 周期）时tT的驻波波形。提示：有半波损失。具体图略.
