1、第二章 行列式习题一、填空题1 。14_)4637251(2 。5_3四阶行列式 = 。abcd0dcba4 在 5 级行列式中，项 前带的符号是 。+45213a5行列式 中第 1 行第 4 列元素的代数余子式的值等于 。4432146在由数码 1、2、n 组成的排列中，反序数最大的排列是 ，其反序数为 .n,n-1,n-2,2,1、 )(7多项式 （其中 a,b,c 是互不相同的数）的根是 .a、b、c)(xP33221xcba8方程 的根是 . 0、1、20312x9 5 阶行列式a ij 55 的中的项 a14a23a31a45a52 的符号为 。10n 阶行列式a ij nn 按第二
2、行展开为 D= 。的 代 数 余 子 式 ）是其 中 ijijnAaA(222111三阶行列式 D = 。 033322211145aka12若 ，则 。 80140256789xx13 如果行列式 D= 中第二行第一列的代数余子式 A12=5，则 a= 。-512345a14线性方程组 有非零解，则 = 。1、20321x15行列式 D ；621016行列式 D ；101zyxz 221zyx174 阶行列式 中第一列各元素的代数余子式之和xdcba321324。 043121AA18 线性方程组 ，的系数行列式的值等于 。-2810321x19如果 是个奇排列，则 ， = 。3、89654
3、72ki ik20 在 6 级行列式 中，项 应带 （符）号。|ijaD2314561a21行列式 = 。610324122偶排列经过一次对换变成 排列，奇排列经过两次对换变成 排列。 奇、奇23 n 级不同的排列共有 个，其中奇排列的个数是 。 n!、 2!n24若 则 。 （-8）,8|5ijaD|ijaD25设 是方程 的三个根，则行列式 。 （0）321,x03qpx 13221x二判断题1任意一个 n 级排列都可以经过一系列的对换变成排列 1 2 3 n。 （ ）2每作一次对换改变排列的奇偶性。( ) 3如果 n（n1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行成比例。 （ ）4如果 n
4、（n1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有一行全为零。 （ ）5设 D=|aij|是 n 阶行列式，如果 D 的元素中 0 的个数多于 n(n-1), 则 D 的值为零。 （ ） 6交换一个行列式的两行（或两列） ，则行列式值改变符号( ). 7 = + 。 （ ）333222111edcba321dba321eca8行列式 与行列式 的值相同。 （ ）nnnaa 212112 nnnaa 2121219把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或另一列）的对应元素上，行列式值不变。( ) 10齐次线性方程组有非零解，则系数行列式的值一定为零。 （ ）三计算题1计算行列式 ，
5、其中 。 用定义计算， 答案为 0122i2312计算行列式 。 答案：cxba abcxax23)(23如果 ，试求 的值。答案：11cos10cos0222coscos4计算 n 阶行列式 ； n 232解： n 2321 20120n )!(5设 4 阶行列式 ,1213407D求 1)D 的代数余子式 A14；2)A11-2A12+2A13-A14；3）A 11+A21+2A31+2A41。解：1） ；14681210434 1）A 11-2A12+2A13-A14 是 D 的第 4 行元素乘第一行的代数余子式之和等于零，即 A11-2A12+2A13-A14=0；2）A 11+A21
6、+2A31+2A41= =144。123076计算行列式 ；nnabbabD00121 解： =nnabbaD00121 12112 0)(00 nnn babab = 。niina112121 )()(7.计算行列式 。1234解：由于= ，所以 =900。42 )169(123412341342 E 3012348计算 n 阶行列式 .122121nnnxxxx 解： 112212nnnxxx 10221211nnnnxxxx 加 边。1011,32;221 n nii xxrx nini xx122100 9设 ，其中 是互不相同的数，)(xP1121222 11nnn naa 121,
7、na3）说明 是一个（n-1）次多项式；2）求 的全部根。)(x )(xP10已知 n 阶行列式 ，求其代数余子式之和 A11+A12+A1n.nA 013225|解：A 11+A12+A1n= = =n 013211 10130121! 1030120! nin= 。)1(!2ni11用 Cramer 法则解线性方程组： 。,10432,31x解：因为 D=-28，D 1= -28，D 2= -28，D 3=56，所以 .232x12试求用 Cramer 法则解线性方程组 的条件，并解方程组 。.12byxza答案： )15(324,)15(320,15abzyabxab13试求用 Cram
8、er 法则解线性方程组 的条件，并求其解 。.321bzyxa答案： 4,)(810,2)4(,1aabyaxb14解线性方程组 ，其中 。.2czyx1,3答案： 。3,3,32cbabacbax 四、证明题1证明 。31232132321 )()(iljxxxx证明：构造行列式 D= 3121323211 )()()(iljxxyxyyx按第一列展开；D= ，434241AyA 4232312 AyDx的 系 数中恰 好 是。3231242xA31232 )()(iljxx2求证： .143212 )(0101 nnn hxhxhxh 证明：方法 1：左边= hxhxnn 43212 0101= 右边。1)(001001nhxxhxh 证明：方法 2：（用第一类数学归纳法证明）设 )(nf 143212 )(011 nnn hxhxhxxh 显然 n=1,n=2 时等式成立，假设 n =k 时等式成立；即 1)()khxkf当 n=k+1 时：)1(kf hxhxxhkkk 3212 00)(kxff= kkKk hxhx )()()()()( 11 等式成立，根据数学归纳法原理，对任意自然数 n 等式成立。3设 ，试证： 。7346902185A 043421AA证明： 。43421 4434241101692875
