1、安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 1 页 共 10 页孤立奇点的类型及其判定方法摘要：本文归纳了孤立奇点的类型及其主要判定的方法.分别对函数在有限点和无限点的孤立奇点研究，得到了判定孤立奇点类型的三种方法：定 义法、极限 值法、极点与零点关系法.接着阐述了有两个函数的和、差、积、商所得的新函数与原函数在孤立奇点 类型的关系，并且 结合一下例子介绍了判定孤立奇点类型的三种方法的应用.关键词: 可去奇点 极点 本质奇点 1.引言复变函数的孤立奇点是复变函数论中的重要概念.函数在孤立奇点的附近可以展示洛朗展开式,对一个函数而言,孤立奇点的个数往往不是很多的,但是这些不多的孤立奇
2、点往往就决定着这个函数的性质了,因此,什么是孤立奇点，孤立奇点有哪些类型，怎么判定并快速的判定函数的孤立奇点的类型，对研究函数的孤立奇点去心邻域内的性质，复积分的计算等至关重要.但是函数的孤立奇点的类型往往很难判定，特别对复合函数等.这样就使得我们去探索新的方便的判定孤立奇点类型的方法.目前，已经有很多人对判定孤立奇点类型的问题做过研究了，也作出了很多成就.本文在此基础上，归纳诸多方法，旨在为判定孤立奇点类型提供参考.根据在孤立奇点某邻域的洛朗展开式判定孤立起点的类型，但是有些函数的洛朗展开式很难求出来，我们还可以根据函数在孤立奇点的极限值判定孤立奇点的类型.但是有些函数的倒函数很容易判定出倒
3、函数的零点阶数，对于这样的函数我们可以根据极点和零点的关系判定孤立奇点的类型.本文论述的方法只是提供参考，在实际应用中应该根据孤立奇点类型的特点运用相应的方法，使得对孤立奇点的判定更加方便.2.孤立奇点的类型及判断方法2.1 孤立奇点的定义定义1 如果函数 在点 的某一去心领域 （即除去圆心 的某)(zfaRazK|0:a圆）内解析，点 是 的奇点，则称 为 的一个孤立奇点.孤立奇点分有限孤立奇a)(zf点和无穷孤立奇点.2.2 孤立奇点的类型和判断以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心领域内充分研究一个解析函数的性质.如 为函数 的孤立奇点，则 的某去心领域 内可以展成洛朗级数
4、a)(zf )(zfKa= .)(fnnac我们称非负幂部分 为 在点 的正则部分，而称负幂0)(nazc)(zf为 在点 的主要部分.实际上非负幂部分表示在点 的领域1)(nnazc)(f a内的解析函数，故函数 在点 的奇异性质完全体现在洛朗级数的负幂部:|KR)(zfa分上.定义 2 如果 在点 的主要部分为零，则称 为 的可去奇点；)(zfa)(zf如果 在点 的主要部分为有限多项，设为安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 2 页 共 10 页),0(,)()( 11 mmmcazazcz则称 为 的 阶极点，一阶极点也称为单极点；a)(zf如果 在点 的主要部分为无
5、限多项，则称 为 的本质奇点；a)(f以下我们分别讨论三类孤立奇点的特征.如果 为函数 可去奇点，则有)(zf ),0(,)()(2210 Razazczc 上式等号右边表圆 内的解析函数.如果命 则 在圆 内与一个:|KzaR,cf(fK解析函数重合，也就是说，我们将 在点 的值加以适当定义，则点 就是 的解析)(zf )(zf点.这就是我们称 为 的可去奇点的由来.)(zf定理 1 如果 为函数 可去奇点充要条件 .alim()zafb证明 充分性 因为 为函数 可去奇点，则有)(zf= ，)(zf )0()(2210 Razzcac 于是 ，0limzaf必要性 则对任给的 ，有 ，只要
6、 ,就有lizafb0z，于是 ，所以在点 的某去心邻域 内 是以 为)(zf )(aKa)(fM界的，考虑 在点 的主要部分)(zf nazcazc)()(21，,.)321)(21 dficnn 而 为全含于 内的圆周 可以充分小，K,a，nnn Mc21即知当 时 ，即是说 在点 的主意部分为 ，即 为 的可去奇点.说1,2n 0n)(zfa0a)(zf明 是 的可去奇点，0zsiz，32sin1()1,0!zzz 安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 3 页 共 10 页.0sinlm1z如果孤立奇点是极点时，孤立奇点的洛朗展开式的主要部分比为有限项，我们还有分级数，
7、称为多少级极点.洛朗展开式中的负次方的项的系数必然满足一定的关系，总存在一个负最多的次数项，那么我们就把这个负多少次数的项称为函数的多少阶极点.比如，一个阶极点，表示洛朗展开式不是有 个负次方的项，而是非零系数负次方的次数最大是m次数了.定理 2 如果函数 以 为孤立奇点，则点 是函数 的 阶极点充要条件是下)(zfaa)(zfm面两个条件中任意一条. 在点 的某一去心领域内能表成 = 其中 在点 领域内解析，且a)(zfma）()za；0)( 以点 为 阶零点（极点与零点的关系）.)(1zfgam证明 充分性 点 是函数 的 阶极点，则在点 的某去心邻域内有)(zf a )()()() 10
8、11zczazczf mm，ma)()(其中 显然在点 的邻域内解析，且)(za.0ca所以在点 的某去心邻域内有，)()(1zzfgm其中 在点 的某邻域内解析，且 ，因此点 位 的可去奇点，只要令)(1za0ag， 就为 的 阶零点.0g)(zgm必要性 如果 以点 为 阶零点，则在点 的某邻域)(1faa，)()zzgm其中 在此邻域内解析，且 ，所以 在此邻域内 解)(z0()(1(zafm )(1z析，在此邻域内命安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 4 页 共 10 页，)()(1)1azczm则 在点 的主要部分就是)(zfa(1)1,(0),()mmcczaz
9、za所以点 是函数 的 阶极点 .在充分性中已经证明条件可以推导出条件，所以条件af可以推导出点 是函数 的 阶极点.)(zf定理 3 函数 的孤立奇点 为极点的充要条件是 .fali()zaf证明 函数 以点 为极点的充要条件是 以点 为零点（定理2） ，由此知定理)(zf )(1f为真.因此，若点 为函数 的 阶零点时，则点 为函数 的 阶极点；若点 为a)(zfma1()fzma函数 的 阶极点，则点 为函数 的 阶零点.但是判断多少阶极点时要注意条件.)(zfm1()fz例如 函数 ， 不是函数 的二阶极点，因为21()zef0231(),!2!3zzfz 所以， 是函数 的一阶极点.
10、0z定理 4 函数 的孤立奇点 为本质奇点的充要条件是 不存在. 这个可以由)(zfalim()zaf定理 1 和定理 3 得到证明.定理 5 若 为函数 的本质奇点，且在点 的充分小的去心邻域内部不为零，则a)(f必为 的本质奇点.z)(zf证明：令 ，有假设得 必为 的孤立奇点.若点 为 的可去奇)(1fza)(za)(z点，则点 必为 的可去奇点或者极点，与假设矛盾；若点 为 的极点，则点 必az a为 的零点，与假设矛盾，故 必为 的本质奇点.)(zf za)(z2.3 在 点的孤立奇点定义 3 设函数 在无穷远点（去心）领域 内解析，则称点 为)(zf :|Kz安庆师范学院数学与计算
11、科学学院 2012 届毕业论文第 5 页 共 10 页的一个孤立奇点.如果点 为 的一个孤立奇点，令 , 则)(zf )(zf 1tz()()gtfz函数 某去心领域 内解析， 就为 之一孤立奇点.于是得到下gt0:|KtR0tt面结论:（1）在对应点 与 上，函数 与 的值相等；zt)(zfgt（2） ,或两个极限都不存在.0lim()li()ztfg定义 4 若 为 的可去奇点， 阶极点或本质极点，则我们相应的称 为mz的可去奇点， 阶极点或本质极点.)(zf定理 6 如果 是函数 的可去奇点的充要条件 ；如果 是z)(zf li()zfbz函数 的 阶极点的充要条件 在 的某去心领域 内
12、能表成)(fmK其中 的领域 内解析，且 或者zh()z在 )(zu()0hz为 阶零点或者 ；函数 的孤立奇点 为本质奇点的1()f以 limzff充要条件不存在 .li()zf证明 令 ， ，再根据定理 1,2,3,4 可证.1t1()gtfz综上所述如果 为函数 可去奇点充要条件 ；a)(zflim()zafb如果 为函数 极点充要条件 ；z如果 为函数 本质奇点充要条件 不存在 .)(zfli()afz孤立奇点 洛朗展开式特点 li()zaf可去奇点 无负次数项 存在且为有限值极点 含有有限个负次数项且有非 零系数的最高负次数项 本质奇点 含有无限个负次数项 不存在3.复变函数中的应用
13、定理 7 若函数 在点 解析，点 为函数 的可去奇点，则点 也为)(zfaza)(zgza函数 ， 的可去奇点；当 ， 时，则 函数 ，)(gzf()0f)(fg安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 6 页 共 10 页的可去奇点.)(zgf证明 因为点 为 的可去奇点，所以 （有限复数）由 在点za)(zglim()zagb)(zf解析知 在点 必连续，从而 ，于是za)(f lizaff（有限复数），lim()()zaf（有限复数），gbf所以点 也为 ， 的可去奇点.za)(zf)(zf因为 是函数 的可去奇点，则 (有限数)，函数 在点 解liza)(zfa析，所以
14、，因为 ,所以 （有限数）所以点lim()zaff()0flim()zagbff是函数 的可去奇点 .同理可证点 是函数 的可去奇点.)(fg)(定理8 若函数 在点 解析，点 为函数 的 阶极点，则点 也为zazazgza函数 的 阶极点；当 时，则点 也为函数的 ， 的)(gzfm()0f)(gff阶极点 .证明：因为点 为 的 阶极点，所以 在点 的某去心邻域内能表成za)(zg)(zga，其中 在点 解析，且 .于是mzg)()0,()()()mzafzfzg令 则在点 解析，且 所以点 也)()fazm 0)(aza为 的 阶极点.gf因为点 为 的 阶极点，所以 在点 的某去心邻域
15、内能表成z)(z)(zga，m)(其中 在点 解析，且 ，于是 ，这里)(za0)(z()mfzfzga)()(zfz在点 解析，且 ，所以点 是函数 的 阶极点.a)(f安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 7 页 共 10 页同理可证点 是函数 的 阶极点.za)(zfgm定理9 若函数 在点 解析,点 为函数 的本质奇点，则点 也为函aza)(zgza数 的本质奇点；当 时，则点 也为函数 ， 的本质)(zgf()0f)(gff奇点.证明 因为函数 在点 解析，所以 ，点 为函数 的本质奇点)(zfa()fzbza)(z所以 不存在，假设 存在，则lim()zaglim
16、()liz zagfg或者 ；(abc有 限 数 ） 矛盾，li()z有 限 数 ） 或 者所以点 也为函数 的本质奇点.zagf因为点 为函数 的本质奇点，所以 不存在；函数 在点 解析,且 ，)(zlim()zag)(zfa()0f所以 ，假 不是函数 的本质奇点，则lim()zafa)(f，li()zfgzb有 限 数 ） 或相矛盾，()li=zazaffa） 或 ）所以 是函数 的本质奇点.同理可证也是 的本质奇点.za)(gf )(zfg定理10 若 在点 的某去心邻域内能表示成 ， 为 的 阶零点，zfaha()zn为 的 阶零点，当 时， 为 得 阶极点;当 时， 为 的可)(z
17、gmn)(zfmnf去奇点.证明： ,0)(,)(),)( 1111 解 析 ， 且 都 不 等 于和 zghagazhn于是， ，所以当 时， 为 得 阶极点;当 时，1)()mfzgfnmn为 的可去奇点.a(f例1 判断 的孤立奇点类型.2zzfe点 函 数解 令 则得 ，记函数为 所以点 是此函数的解析点1)()(0安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 8 页 共 10 页4321218)()e所以 ，ee0,2)0(,)(，261，zzezf2这里 是函数 的可去奇点 .z)(f例2 求下列函数奇点的类型 ；zcosin1321izz2tan解： 是原式的孤立奇点，
18、4k,，41limsncozkz是函数 = 的一阶零点，所以 是一阶4kz)(zfcosin4k,21极点. 是孤立奇点， 是函数 的3阶零点，所以iz12iz122iz是三阶极点.i 是孤立奇点， 是函数 的2阶零点，所以21kz 21kzzsinco是二阶极点.例 3 求下列函数在扩大平面上的孤立奇点，并确定它们的类别. (2)26)1(z 21ze(3) (4)1ze ztg安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 9 页 共 10 页解：（1）令原式为 ，则 是有理分式，显然 是单极点，当 时，此)(zf)(f 0zzi时分子分母均为零，)1)(12426z，)()()(
19、242 izzf可见 也是 的一阶极点.当 时zifz，)(1)1()( 24242 izz 可见 是 的一阶极点.z)(zf（2）显然 是 的一阶极点.i)(f当 = 时，令z0zx,21limli0()xxfe,210,lilixxxzf因此极限 不存在（包括不为 ） ，所以， = 是 的本性奇点，故 = 是1lim()zf z)(zfz的本质奇点.)(f注：若 不存在，则 = 是 的本性奇点，这是显然的，否则若 = 是可去奇li()zfz)(zf z点（正则点）或极点，则 存在且有限，或 ，矛盾.lizlim()zf（3）显然 =1+ （ ， ）是分母的零点，而分子仅有kz20k,21分
20、子为零，所以 =1+ （ ， ）是 的一阶极点.),0(10zzi0k,21)(zf当 时，令 ，则,xy110limliyxyef110li()li,(),pxpfe所以 不存在，故 是 的本性奇点.又 （ ） ，故 = 不是孤1lim()zfzkzz安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 10 页 共 10 页立奇点.（4）由下列注知：函数 仅有唯一的奇点 ，且它是本质奇点，于是令 ，e ztg1则 仅为函数 又由 =0 知，当 = （ ， ）时， 所)(zfz1coskz)12(0k,1以 是的 本质奇点.显然 是 的本质奇点.当 = 时，若定义 则 =k)(f 0)fz
21、,0z是 可去奇点 .zf综上对孤立奇点的研究，要判断孤立奇点类型主要有 2 种方法：根据主要部分，但有一些函数的洛朗展开式不容易求出；函数的极限值，当极点时，无法判断极点的阶数.所以求函数的奇点类型一般方法先求函数在孤立奇点的极限值，如果我们求出的是极点，在根据极点和零点的关系求出极点的阶数.结束语本论文所论述的判定孤立奇点类型的方法只是为了判定孤立奇点的类型提供参考，在具体的判定孤立奇点类型时，可以根据函数的不同采用不同的判定方法判定孤立奇点类型.本文中的方法不一定是解题时最简便的判定孤立奇点的方法.参考文献1尹水仿，李寿贵，复变函数与积分变换M,科学出版社，2009.2苏变萍，陈东立,复
22、变函数与积分变换（第二版）M, 高等教育出版社 ，2010.3陈宗煊，孙道椿，刘名生, 复变函数M,科学出版社 ，2010.4钟玉泉, 复变函数论（第三版）M, 高等教育出版社， 2004.5沈燮昌, 复变函数论基础M, 上海科学技术出版社,1982.6庄圻泰, 复变函数M, 北京大学出版社， 1984.7冯复科，复变函数与积分变换M，科学出版社,2008.8Brown, James Ward., Complex variables and applicationsM, China Machine Press， 2004. Types and Their Judgment of The Iso
23、lated SingularityAuthor：Dong Zhaolin Supervisor: Wu DaiyongAbstract：This article generalizes type and main determination way of the isolated singularity.Respectively studying function in finite number of points and infinite point of the isolated singularity, we get three to determine the method whic
24、h are definition of law , limit law and poles and zeros relations act with isolated singularity type. This article describes relationship of new function which two functions and, difference, product, business receive with the original function in isolated singularity type. Combination of what the example describes the application of the three methods to determine the type of isolated singularity.Keywords: removable singularity extreme essential singularity
