1、吉首大学毕业论文设计1微分中值定理“中值点”的确定* (吉首大学数学与计算机科学学院 ，湖南吉首，416000)摘要：讨论了微分中值定理中值点 能被确定的几种函数类型，并通过拉格朗日中值定理，得到了初等函数的关于中值点 的一些具体性质.关键词：微分中值定理；泰勒定理；拉格朗日中值定理； 法则L HospitalDiff Ascertainment Of Median Points In the Theory Of erential Median*(College of mathematics and computer science, Jishou University,Jishou Huna
2、n 416000)Abstract: Several functional models applied to ascertain median points in the theory of differential median are discussed. Moreover, some specific properties of median points of elementary functions are obtained by Lagranges median theory.Key words: The Theory Of Differential Median； Taylor
3、s Theory； Lagranges median theory； principleLHospital吉首大学毕业论文设计2引言：微分中值定理的使用越来越广泛，但是微分中值定理只肯定了中值点的存在性，而中值点的位置没有已有的定理给以解决，但它已越来越被重视并被研究.本文总结了已有的一些结论，探讨了微分中值定理中值点的性质，结合实例讨论了初等函数的关于中值点 的确定问题，并在一些问题中进行了推广.另外本文还讨论了一些其他类型的微分中值定理中值点 的渐进性质.一、预备定理：1、 泰勒定理 1：若函数 在 上存在直至 n 阶的连续导函数，在f,ab内存在 阶导函数，则对任意给定的 , ,至少存在
4、一点(,)ab1nx0，使得 12 10000 000()()()()() .!nnnfxfxffxfx x2、 拉格朗日中值定理 1：若函数 满足以下条件：f在闭区间 上连续；()if,ab在开区间 内可导，()则在 内至少存在一点 ，使得 (,)()()fbafba3、 法则 2： 设函数 和 在点 的某邻域内（点 除外）可L Hospital g0x0x导，且 ，并有 。如果极限 存在()0gx00()()limlixxf0()limxfg（有限或无限），则 00()()xxffg吉首大学毕业论文设计3二、初等函数对应的微分中值定理中值点的确定定理 1. 对任意的幂函数 (n0), ，其
5、中 .若 满足()nfx,xab0ab，其中 ，()()fbafab01则 1()nba证明：对 求导得： ()fx1()nfx由题意可知： 1)n nba两边同除以 ，得 ()ba1()nab两边开 n-1 次方，得 1()()nba易得 1()nba证毕例 13. 设 ，其中 ，其中 .试求满足3()fx,x0b，（其中 且 ）时 的值.()()fbafab1,2a解： 是幂函数，且 中的 满足定理3x()()faf1 的条件，可得 .3321()()2ba证毕推论 1. 对任意的幂函数 (n0), ，其中 若 满足()nfx,xab0ab，其中 ，()(fbaab01吉首大学毕业论文设计
6、4则 .1()nba例 2 .设 ，其中 ， 其中 ，试求满足()fx,xb0ab， （其中 且 ）时 的值。()()fbafa1,16解： 是幂函数，且 中的 满足1x()()ffa推论 1 的条件，可得 126()415证毕定理 2.对任意的指数函数 ， ，其中 .若 满足()xf(0,),xab，其中 ，()()fbafab1则 .1log()lnba证明：对 的求导得()fx()lxf由题意可知： ()lnbaab两边同除以 ，得 a ()1lba两边同除以 ，得 ()lnb()1)lnbba易得 1()log()lnbaa两边同除以 ,得 bl()lba证毕例 3.设 ， ，试求满足
7、()xfe,ab，（其中 且 ）时 的值.)()bf01,2aeb吉首大学毕业论文设计5解： 是指数函数，且 中的 满足定理()xfe()()()fbafab2 的条件， 可得 21lnlnl(1)()eee定理 3. 对任意的对数函数 ， ， .其中 ，()log,fx(0,),xab0若 满足 .其中 ，()()()fbafab1则 .1logln证明：对 求导得()fx1()lfx由题意可得： ()logl()lnbafbaba易得 ()lla两边减 后除以 ，得 .abloglnb1loglnab证毕例 4设 ， ，其中 ，试求满足()lnfx,ab0，（ 且 ）时 的值.()()fb
8、af1,2aeb解： 是对数函数，且 中的 满足定lx()()ffa理 3 的条件，可得 .12ln2lnee定理 4. 对任意三角函数 ， ， 若 满足()sifx,xab，其中 ，()()fbafab01吉首大学毕业论文设计6则 .sinarcoba证明：（1）对 求导得 ()fx ()sincosfxx由题意可得 ()()babaab两边同除以 ，得 sincos()b对 的求反函数，得 cos()a sinarcoba易得 sinarcba证毕例 53设 ， ，试求满足()sinfx,xb，（其中 且 ）时 的值.()()fbafa01,32ab解： 是三角函数，且 中的 满足six
9、()()fabf定理 4 的条件， 可得 12arcos3arcos633arcos2证毕结论：对于三角函数也同理可以确定()cos,()tan,()cot,()sec,()scfxfxfxfxfx的位置.定理 5. 对任意反三角函数函数 , .其中 且()arcsinfx,xab1,a. 若 满足 ,其中 ，1b()()fbf0则 .sinarcoa解： 对 求导，得 , ()fx21()fx吉首大学毕业论文设计7根据题意可得 2arcsinri1()baba易得 21()(rcsirin21)aisibaba两边减 后除以 ，得 2()rcinrsiab其中正负号的取法由 及 和符号及条件
10、 决定.ab01例如：当 时，根号前应取正号.0证毕例 6. 验证拉格朗日定理对于函数 在区间 上的正确性.()fxarctg0,解：只需找到 ，使得 成立，(0,1)0)(1)bf即在 中找出一点 .使得(0,1)()|04xrttrct, 解得2()4ab2()ab易得 ba因此取 就符合拉格朗日定理的条件.4证毕结论：对于反三角函数 ()cos,()tan,()cot,fxarxfrcxfrx，若 满足 ，()cse,fxarxf()bfab且 ，也同理可以确定 的位置.01总结：定理 1，推论 1 到定理 5，总结归纳出了对于任意幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数所对应的
11、微分中值定理中值点的确定.对于以吉首大学毕业论文设计8上函数，我们可以确定满足 的函数 ，其()()()fbafab(,)ab中 .若 是定值，就可以确定微分中值定理的中值点 的位置.01,ab三、 复合函数对应的微分中值定理中值点的确定及渐进性例 7 设 ，试求满足2()fxmn的函数 .()fbafab(01)(,)ab解： ()2x2()()2()f am因为 ，两边同时除以 ，得0bab()mam易得 2两边同时除以 得 b12证毕例 85证明： 若 ，则（1） ，其中 0x112()xx；1()42x（2） .011(),()42limlixx证 ： （1）令 ，则 在区间 上满足拉
12、格朗日中值定理的条()ftft,件，存在 ，使0,x. 11(1)()2()xffxxx由上式可得 2()2x2211)()44xx吉首大学毕业论文设计9于是 .2111()4xx（2） .00()()4limlixx.211()4xxx证毕例 96. 设函数 ，由拉格朗日中值定理，存在()ln),(,)fx使得 ，即 .(0,1)()01fxl1x证明： .02limx证 ： 对 求导可得： ()f 1()ln)fxx对任意 ，函数 在以 与 0 为端点的区间上满足拉格朗日中值定理1,x()fx的条件，存在 ，使0()l1)fxx易得 ln()1x根据 L-Hospital 法则，可得：00
13、00 01ln()1ln()()lnl112limixxxx xx证毕四、 其它类型函数对应的微分中值定理中值点的渐近性例 107. 若函数 f 在点 二阶可导，且 .对于拉格朗日中值公式，a()0fa， 中的 有 ()()fahfh01012limh吉首大学毕业论文设计10证：由带佩亚诺余项的泰勒公式可得（1）2()()()()fafahfhh（2）f由（1）（2）可得到 ， 221()()()aa由于 .故上式得到 ()0fa0h即 012limh证毕例 119 .设函数 满足以下条件()fx（1） 在 内是 阶连续可微函数；此处 ；0,)n0（2）当 时，有 但是 ；,3.(1kn()0kfx()0nfx（3）当 时，有 ， （*）h0hh其中 .0()证明： 0limh1n证 ： 我们要设法从（*）式中解出 ，为此我们将（*）式左边的()h及右端的 在 处展开。注意条件（2），知0()fx0()fxh0x使得12,()00001()().),!nhfxhffxfxh110002()()()!nnfff于是（*）式变成1()001()!nhfxfxh，11()002() ()(!nnff
