1、题 目： 函数的微分 学 院： 数学与统计学院 专 业： 信息与计算科学 姓名、学号： xxx 20101910012 任课教师： xxx 时 间： 2010 年秋季学期 摘 要利用泰勒公式直接定义一元函数的高阶微分，避免了教材中用上一阶微分在定义下一阶微分的情况。再一次讨论了复合函数高阶微分不在具有形式不变性。此外，我还讨论了教材中没有的参数方程的微分。关键词：微分 高阶微分 参数方程1函数的微分在教材中对高阶微分的定义是用一阶微分的微分定义二阶微分，用二阶微分的微分定义三阶微分，以此类推，得出函数的 n 阶微分为 。而这种()()nndfxdx方法显得很繁琐，且感觉上也不是很好，为此引入一
2、下定义。一、一元函数的高阶微分定义 1 设函数 在点 的某领域 内有定义，给变量 在 处一个()yfx00()Uxx0增量 ，且 时，相应地函数有增量x0oU，00(ff如果其增量可表示为，()yAxo其中 A 不依赖于 ，则称函数 在点 处一阶可微，并称 为函数x()f0Ax在点 处的一阶微分，记作 ，即()yfx0 d。0|x可证 A= ()f即。0|xdyfd定义 2 设函数 在点 的某领域 内有定义，给变量 在 处一个()yf0()Uxx0增量 ，且 时，相应地函数有增量x0oxU00(ff如果其增量可表示为，2()!ByAxox其中 A，B 不依赖于 ，则称函数 在点 处二阶可微，并
3、称 ， 为x()f0Ax2()B函数 在点 处的一阶微分、二阶微分，记作 ，即()yf0 2,dy， 。0|xdy02|()x可证 0(),AfBf即， 。0|xdyfdx220yfxd根据以上形式，我们可以借助第五章的泰勒公式来定义函数的更高阶的微分定义 3 设函数 在点 的某领域 内有定义，给变量 在 处一个()f00()Ux0增量 ，且 时，相应地函数有增量x0oU00(yfxfx如果其增量可表示为2，21!nnAyAxxo其中 A，B 不依赖于 ，则称函数 在点 处 n 阶可微，并称()yf0为函数 在点 处的一阶微分、二阶微分n22232tan()tancosetidyxdxta()
4、yfx0阶微分，记作 ， 即2,dyndy， 。00221|,|()xxA0|()nnxdyA又根据函数 在 点的泰勒公式()f，02000 0 0)()!nnffff xox得 02000 0 0()()()!n nnfxfyfxfx 即，1020,Affx0nAf所以， ， 。0|()xdyfdx 20yfd00|nnnxyfdx注：1在泰勒公式中 与 是等价的。0x2因为 是 的高阶无穷小量，所以，在等式的右边加或减去一个non都不会影响到的精确度。nox二、微分的运算法则1 ；dfgxdfgx2 ；fd3 ；2ffxx 0gx4复合函数的微分 dyuffgxd3例 求的 二阶微分。ux
5、yv解： 2ddvx2 2 24 ()vxuxuxdvxdvuxdvxdy。223()dvdxvu对于一般函数，其 n 阶微分可表示为.nnndyfxd对于复合函数的一阶微分，也可表示为，fu并称这种形式为一阶微分的形式不变性。但是，复合函数的高阶微分不在具有形式不变性。对于复合函数，()yfu有 2 22 .dyfudfdfdfufdu当且仅当 =0 时，函数 具有形式不变性。此时，只可能有 。而()y xab对于复合函数， 只是 的一种形式，即：在复合函数 中，xabux ()yf二阶以上可微，就有 。20d当 时，有20du。3232yfdfdufu而此时，有 2所以，复合函数的高阶微分
6、不在具有形式不变性。注：式中的 一定三阶可微。f三、参数方程的微分在找到高阶微分的又一定义及讨论了复合函数的高阶微分后，我想讨论一下参数方程的微分。解参数方程4 ,xty的二阶微分。解：因为，tdyx所以， 1，tdx22()()yydx2。223 ()tttdxx有（1） 、 （2）可知参数方程和复合函数有相似的性质，即：参数方程也具有一阶微分的形式不变性和高阶微分不在具有形式不变性。例：设 ,求 .sinco3tayxyd2解：因为，2icostan3dtxa所以，tny2223()tancosddxa。2eitdxt5参考文献1 数学分析习题集解，吉米多维奇原著，费定晖等编著，山东大学出版社，2005.2 论如何加强数学人才在求职中的优势，杨汉春，张 庆，高等理科教育，No.4（2003）：2226.
