1、1关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。本文给出判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 分块矩阵矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。定义 1 n 级方阵 A 称为可逆的，如果 n 级方阵 B，使得AB=BA=E （1）这里 E 是 n 级单位矩阵。定义 2 如果 B 适合（1） ，那么 B 就称为 A 的逆矩阵，记作 。1A定理 1 如果 A 有逆矩阵，则逆矩
2、阵是唯一的。逆矩阵的基本性质：性质 1 当 A 为可逆阵，则 .A1性质 2 若 A 为可逆阵，则 为任意一个非零的数 都是可逆阵，且k(,1 ).1)( )0()(1k性质 3 ，其中 A，B 均为 n 阶可逆阵 .1(B性质 4 .A)()1由性质 3 有定理 2 若 是同阶可逆阵，则 是可逆阵，且)2(,21n nA21, 21(A下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法：方法一 定义法利用定义 1，即找一个矩阵 B，使 AB=E，则 A 可逆，并且 。B1方法二 伴随矩阵法定义 3 设 是 n 级方阵，用 表示 A 的 元的代数余子式)(ijaAij ),(ji，)1,(nji2矩
3、阵 称为 A 的伴随矩阵，记作 A*。nnA2121定理 3 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 ，并且当 A 可逆时,有0。*1定理证明见1.定理 3 不仅给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，但是这种方法主要用在理论上以及 2 级或 3 级矩阵的情形，如果阶数较大，那么使用此方法计算量太大。由定理 3 逆矩阵判定的方法还有：推论 3.1 n 级矩阵 A 可逆的充要条件是矩阵 A 的秩为 n。推论 3.2 矩阵 A 可逆的充要条件是它的特征值都不为 0。推论 3.3 n 级矩阵 A 可逆的充分必要条件是它的行 或列 向量组线性无关。()方法三 初等变换法定义 4 对
4、矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换：交换矩阵的两行 列 ；)1()以一个非零的数 乘矩阵的某一行 列 ；2k()把矩阵的某一行（列 的 倍加到另一行 列 。)3()定理 4 方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 可表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。具体方法是：欲求 A 的逆矩阵时，首先由 A 作出一个 矩阵，即 ，n2)(EA其次对这个矩阵施以行初等变换 且只能用行初等变换 ，将它的左半部的矩阵 A 化()为单位矩阵，那么原来右半部的单位矩阵就同时化为 ：1)()(1 AEA行 初 等 变 换3或者 1AEEA 列 初 等 变 换例 1 求矩阵 A 的逆矩阵，已知 。52130解： 03105
5、2130)(E90 316102523161030521603521316102433162431A注：在事先不知道 n 阶矩阵是可逆的情况下，也可直接用此方法。如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为 0，则意味着 A 不可逆。方法四 利用解线性方程组来求逆矩阵若 阶矩阵 A 可逆，则 ，于是 的第 列是线性方程组nE11j4的jAX解， .因此我们可以去解线性方程组 ，其 ，把所得nj2,1 AX)(1nb的解的公式中的 分别用 ； ； 代替，便可求得nb21, 0,1 , ,0的第 列，这种方法在某些时候可能比用初等变换法求逆矩阵稍微简单一1A,点。例 2 求矩阵 A= 的逆矩阵
6、。30103解： 设 TxxX),(5421 TbB),(54321解方程组 AX=B即 解得544332211bxbx51542433 542 423151 )()(bxbbx然后把 列，分别用 ),(54321B)0,(1)0,1(2代入得到矩阵 的第)0,30,(5 A行，分别用 5421 )3,421x )3,3(4212x)3,(213x,(214 )05即 12314251 00A这种方法特别适用于线性方程组 AX=B 的解容易求解的情形。方法五 分块求逆法当一个可逆矩阵的阶数较大时，即使用初等变换求它的逆矩阵仍然计算量较5大。如果把该矩阵分块，再对分块矩阵求逆矩阵，则能减少计算量
7、。而且形如210A021B210AM2120AM的分块矩阵，使用分块矩阵较方便。现用213M214A为例，来说明求逆矩阵的方法，其它的矩阵可依此类推。1设有 n 阶可逆矩阵 ，其中 为 阶可逆方阵，求 。210M21,Asr, 1M解：设 ，则 与 有相同分法，则211X1 2122112212110 XAXAAMsrnE0得一个线性方程组为 srEXA212110由于 可逆，故 存在，解得21,A121,122110AX从而 12121 0AM方法六 利用哈密尔顿凯莱定理求逆矩阵法哈密尔顿凯莱定理 设 A 是数域 P 上一个 矩阵， 是 AnEf)(的特征多项式，则 。01)()( 121
8、Aaaf nnn 如果 A 可逆，则 A 的特征多项式的常数项 ，由定理知0(60)( 11EAAf nnn于是 nnn )1121因此得 )(1211 EAAnnn (此式给出了 的多项式计算方法。1例 3 已知 ，求 。20134A1A解：矩阵 A 的特征多项式为：254)(23Ef因 ，所以矩阵 A 可逆，由 式知023)(=)54(12A 1302861方法七 “和化积”法有时遇到这样的问题：要求判断方阵之和 A+B 的可逆性并求逆矩阵，此时可将A+B 直接化为 ，由此有 A+B 可逆，且 ，或将方阵之和 A+BECBA)( CBA1)(表为若干个已知的可逆阵之积，再有定理 2 知 A
9、+B 可逆，并可得出其逆矩阵。例 4 证明：若 ，则 是可逆阵，并求 。0kA1)(E证明： Ek)(12E-A 是可逆矩阵且12( kA总之，矩阵可逆性的判断及求逆矩阵的方法很多，不仅仅只是以上列举的几种方法，大家在做题过程中，可根据题目的需要灵活选用方法来求解。参考文献：1丘维声. 高等代数M. 高等教育出版社，1985.2北京大学数学系. 高等代数M. 高等教育出版社，1988.3杨明顺. 三角矩阵求逆的一种方法. 渭南师范学院学报，2003.74杨彗. 矩阵的非奇异性判定及求逆矩阵的几种方法. 云南师范大学学报，2002.The ones that go against matrix
10、judge and ask the discussiongoing against the matrix methodABSTRACT: Judging reversibly and against the asking and solving one of the main contents that is higher algebra of matrix. This text provides and judges whether matrix is reversible and asks several kinds of methods to go against matrix.KEYWORDS: Inverse matrix Adjoint matrix Elementary matrix Partitioned matrix
