1、1数学分析论文学院：数学与统计学院班级：09 数应 1 班姓名：xxx学号：xxx2关于定积分一些重要性质的讨论摘要：本文介绍改进的定积分保序性和第一和第二中值定理及其它重要性质，并举例说明其应用。关键词：定积分 保序性 中值定理The discussion about some qualities of the definite integralAbstract: This paper introduces the qualities of keeping order and the first second median theorems, other important qualitie
2、s and gives some examples to illustrate the application of the qualities. Key words: the definite integral the quality of keeping order the median theorem1引言：由定积分的保序性可导出严格保序性，积分中值定理的中值号可在开区间（a,b）内取得。通常的高等数学教材将这些内容或者省略或者放入习题，而不加以重视。本文对此类性质作介绍，并举例说明它们在处理习题过程中的灵活应用，而且由此得出的结论也会加强。2定积分重要性质及其应用2.1 保序性设 f（
3、x ）在a,b 上连续非负，且 f（x）不恒为零，则 0badxf)(证明 若 =0,由 f(x)的连续性和非负性有 :badxf)(0 =0 xa ，b.xtbaf)(从而 0，即 0，xa，b这与 f（x）在af)(dxatf)(a， b上不恒为零矛盾。定理得证。例 1 设 f(x) 于0, 连续 ,且 = =00sin)(f0cos)(df试证在(0, ) 内至少存在两点 , ,使得 f( )=f( )=0证明 令 F(t)= (0 t ), 则 F(t) 于 0, 连续,且可导, txdf0sin)(由罗尔定理,存在 (0, ), 使 F( )=0, 3由于 F (t) =f(t)si
4、nt 所以 f( )sin =0 ,又由 (0, ),所以 sin 0, 故 f( )=0下面证明又有 (0, ), , 使 f( )=0假设 f(x)于(0, )内只有一个零点 , 则 f(x)于(0, )及( , )两个区间内符号必相反,否则不可能有 =0,而 sin(x- )在(0, )及( , ) 内0sin)(xdf 显然符号也相反,故 f(x) sin(x- )于这两个区间内符号相同.又0, 连续,因此由上述定理可知 0 (*)0(si)xf又由于 = =00in)(dfcoxd则 = =cos -sinsxxdxf 0 sincsin)( 0sin)(xdf=0,这与 (*) 试
5、矛盾,从而 f(x) 在 (0, )内除 之外必0co)(f 有另一零点 .推论 1 （严格保序性） f（x） ，g（x）在a， b上连续，f（x）g（x）且f（x）不恒等于 g（x） 。则：badf)(ba)(推论 2 设 m,M 分别是 连续函数 f(x)在a,b 上的最小值和最大值，且 f(x)非常数。则：m(b-a)a =a .10)(dtaf0)(tf10)(dxf2.1.1 利用积分的有关性质可以证明许多有用的不等式（1）许瓦兹不等式（schwarz）f(x),g(x)在a,b 上可积，试证baxgf)(2dxbaf)(2bag)(2因对任一常数 t 有: 0则 = +2t + 0
6、xbaf2txfba)(2badxgf)(xba)(2因此上面关于 的二次三项式不可能有不同的实根，故-4 0dgf)(2dbaf)(2ba)(2即 baxx（2）由许瓦兹不等式可得：闵可夫斯基不等式（Minkowshi）f(x),g(x) 都于a,b可积， f)(221 ba)(21badxf)(21证明： badgf2dxbafdxbaf2fx)()(bf)(221 bxgf)(221xggbaax21ad21两式相加有：+dbaf)(2bdgf)(21bxf)(21ax21bgf)(21 ax21af21（3） 由许瓦兹不等式可以证明有些关系式的成立设 f(x)在a,b上连续可微，|f(
7、x)|的最大值为 M,且 f(a)=0,试证: M25dxbaf)(2证明：对任意的 xa，b,由许瓦兹不等式,都有 =xadtf)(2=(b-a) xatf)1.(2dtxaf)(2txa12bxba1db而 = = xtf2)(2f)(x所以 (b-a) )(2dxba上面不等式对一切 xa， b成立，所以 max , xa，b )(2f(b-a) dbaf)(2即: (b-a) Mdxbaf)(22.2 积分第一中值定理:设 f(x),g(x) 在a,b上连续,g(x)在a,b 上不变号，则 存在 ya，b ，使：=f( )badxgf)(badxg(证明过程参考华东师范大学数学系编著数
8、学分析上册。 推论 3 设 f(x)在a,b上连续，则存在 （a,b） ，使： =f( )(b-a)badxf)(例 4 试证： x, (sinx-cosx)0 ，由 f(x)在 x。点连续性知，存在 0, 当 x a ，b，且|x- x。| f(x。)21因此对任意给定的 0（设 0 的假设矛盾，于是当 x a，b 时 f(x) 02.3 定积分第二中值定理：若 f(x)在a,b上单调，g(x)可积， a ，b,使 =f(a)badxgf)(+f(b)adxg)(bdxg)(特别：（1）若 f(x)在a,b上单调递减且非负，g(x)可积则 a，b,使=f(a) baxf)(ax)(（2）若
9、f(x)在a,b上单调递增且非负，g(x)可积，则 a，b，使= f(b)badxgf)(bdxg)(2.4 其它重要性质及应用2.4.1 可导，可积，连续之间的关系 9（1）若 f(x)在a,b上可积，则 F(x)= 是a,b上的连续函数.xadtf)(（2）若 f(x)在a,b中的点 x 处连续，则 f(x)在 x 点可导，且 F(x)=f(x)2.4.2 由定积分定义灵活解题定义 如果 f(x)在a,b可积，则对a,b给以特殊的分划，比如分成 n 等份，在每个小区间上也可以对 给以特殊的取法，比如取 =a+ k,则有: =k knab)(badxf)(=nlimxkkf)(1nliab)
10、(1nkkf利用此结论，我们可以利用定积分的值而求出对应的数列的极限值例 9 求 nlinn)2.()(1解 因为 = =nn)2.()(1 )1.()1(2nn)1l(1knken所以 = = =nlimnn)2.()(1lim)l(1knken )l(lim1knkndx10)l(而 =ln4-1,故 = =10)l(dxnlinn)2.()(dx10)l(e4参考文献：1 华东师范大学数学系编著. 数学分析（上）,高等教育出版社， 1987.9，144-160。2 贾建华, 王克芬编著 .微积分证明方法初析, 南开大学出版社， 1989.8，177-217。3 郝 涌 ,李学志等编著 .数学分析考研精编,信阳师范学院数学系出版。4 魏国强编著 .高等数学研究 ,西北工业大学出版社，2002.2，58-60。
