1、本 科 毕 业 论 文题目：物体在有心力场中运动的分析目 录1.引 言 . 1 2.有心力基本概念及它的性质： . 1 3.推出动力学方程 . 2 4.用开普勒定律推出引力公式 . 6 5.两体问题 . 7 6.结论 . 9 7.参考文献 . 10 8.致谢 . 11 物体在有心力场中运动的分析摘 要 有心力场中的运动是经典力学和天体力学的一个重要问题.本文概括地介绍了有心力及其有关它的一些重要结论.首先研究质点和质点系在有心力作用下的运动，有心力的基本性质.用动力学方法推导关于有心力的公式,及在开普勒三定律的基础上推导万有引力方程.,介绍有心力场在物理学中的应用。 关键词 有心力；动力学；开
2、普勒定律；两体问题。本科毕业生毕业论文11.引 言经典力学的发展是与对天体运行的观察和研究分不开的.早在 17 世纪初叶，开普勒（J.Kepler）通过对太阳系各行星运动的观察，总结出行星运动的三个定律，于 1620 年发表在论天体之协调 （On Celestial Harmonics）一书中.在此基础上，牛顿建立了著名的万有引力定律.行星绕恒星的运动属于所谓“有心运动”一类的运动.有心运动是一类常见的运动，天体的运行，原子核外的电子运动都属于这类运动.火箭和人造卫星的发射和运行都离不开对有心运动的研究.首先我们介绍有心力的基本概念及它的性质，然后利用开氏三定律推导出引力公式并对公式进行分析.
3、2.有心力基本概念及它的性质： 一般来讲，如果运动质点所受力的作用线始终通过惯性系中某一个固定点，则我们就说这个质点所受的力是有心力，此固定点称为力心.有心力的量值，一般是矢径（即质点和力心之间的距离）r 的函数，而力的方向则始终沿着质点和力心的连线，凡是趋向定点的是引力，离开定点的是斥力。行星绕太阳运动时受到的力，电子饶原子核转动时受到的库仑引力，近似看做有心力.有心力场是自然界中最普遍、最重要的力场之一.有心力构成的力场称为有心力场.我们平时假定力心不动研究有心力场问题.这时以力心作为坐标质点,变成一个平面问题.质点受变力作用而沿曲线运动时，变力所作的总功为（1） rdFWBA.在平面极坐
4、标系中，力所做的功为 （2） dFrBA因为有心力只具有径矢方向的分量 ,而横向分量为 ，故质点由)(rr 0FA 点运动到 B 点时有心力作的功是(3)dFWBAr21)()(这个顶积分的值只取决于起点和终点的矢径，与质点运动的路径无关，这就本科毕业生毕业论文2证明了有心力是保守力.而平面力,力和位置坐标相互平行且应满足 ,那0F么角动量守恒.这是有心力场的一个特点，根据有心力场的特点，下面推导有心力场的动力学方程及加讨论。3.推出动力学方程关于有心运动我们可以通过求解角动量方程，先得到以时间 t 为参量的轨道参量方程 ， ，然后削去 t 得出轨道曲线方程 。但也可)(tr)(t )(r以一
5、开始就在运动方程中消去时间参量 t 得到轨道微分方程，然后得到轨道曲线方程。由式： )(2/ 2rPVEmrdP得： (4)22 )()/(/ rr令，则(5)ru1dru21并(5)式代入(1)式 2)(uPVEmP对 再求导及整理得： （6） ddu/2因 duFrV221（7）mudP)(2这个方程就是我们要推导出的动力学方程，是二阶非线性微分方程。对此求解可得 ，从而得到质点的轨道方程)(u )(/1rr下面用动力学方程（7）来研究行星的运动.近似处理：行星只受到太阳引力的作用，而忽略行星之间的相互作用.行星的运动是在平方反比引力作用下的运动，则（8）rsemGMF2本科毕业生毕业论文
6、3令 ，sGmk2 maks2将 （9）2/aurF其中 ru1代入（7）式 22Pamud又令， 2/amu则 （10） 02d可以看以上运动方程为谐振动方程, 其解为（11）)cos(0A（其中 积分常数）0则 2/1pamur20/)cos(A（12）)cs()/(102amp比较,并令 ,及 , .则以上 关系的方程表示0APe/2)(fr行星绕太阳运动时作圆锥线曲线运动.如图所示.有 （13） cos1epr本科毕业生毕业论文4离心率 e 决定轨道形状,下面我们进行定量分析.（1） B 点：近日点cCFaB,则 )1(1)()1( 2eaper 对 点 轨道是椭圆0,pe（2） ,
7、, , 轨道是抛物线qFBr1,2eqp（3） aCc,对 B 点 )1(crepa故 轨道是双曲线1),(2ep如何判别圆锥线的类型？下面再进一步研究运动轨道，用能量 E 来判据轨道的类别.利用下面式本科毕业生毕业论文5（14）rmkrVmvE222 )(1)(1hr2其中 rkV)(因 duhudt21又 ,此关系代入以上能量方程得2,1hur（15）umkdumhukdmE 22222 )(1)( 又考虑 和 常量,及令2kh2coshkAu2/)(1k2/coshe求导 （16）sinsin2ekAdu把（16）代入（15）得： 2/cos21)sin(21422 uhkkhehekm
8、E)cs(cos24 ee本科毕业生毕业论文6)1(24ehmk即 （17）224 )()(khEE可以看，通过能量来判断轨道的形状。 符合椭圆轨道（束缚运动）1:0e符合抛物线轨道（无限运动）E符合双曲线轨道（无限运动）:可见，能量 E 是轨道类别的判据.以上讨论以为太阳静止不动，实际上太阳也有运动，那么这种情况下引力公式的表达式如何？下面进一步讨论此问题。4.用开普勒定律推出引力公式下面我们从开普勒定律推出万有引力定律.开普勒以太阳为中心的说法,提出了下列三条关于行星运动的定律.第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上.第二定律：行星和太阳之间的联线（矢径） ，在相等时间所
9、扫过面积相等.第三定律：行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比.1）由第二定律常量 (18)dtA质点扫过的面积为 ,两边除 得 rdA21(19)2r常量，表示行星绕太阳运动时的角动量,角动量是守恒.可以看出行星2mr所受力对太阳的力矩为零.结论 1：行星所受力是有心力，太阳在力心.（2）由第一定律，轨道为椭圆,则行星轨道方程为本科毕业生毕业论文7cos1epr或 spu求导 cos,in2pedued代入比耐公式 mFuh)(22mFpuhpepe22 )cos1cos(有心力为 (20)22rhuF(负号说明是引力 )这既然说明行星所受引力与距离平方成反比,但是与引力公式 相比2rmkF较,式(9)中的 和 都与行星有关,而 是一个与行星无关的常数.为了说明2hp2k的物理含义实际问题进行再进一步讨论。p2根据以上讨论开普勒的三定律具有近似性，但它的近似程度到底又多大？下面用两体问题来解释。5.两体问题根据以上讨论,开普勒定律具有近似性,其中一个原因就是太阳和行星相互吸引,两者都有加速度,太阳并不是静止不动的.太阳和行星都有运动,显然属于质点组的运动问题.我们现在就对这个问题作进一步的研究.太阳对惯性坐标系的动力学方程为(21)rGMmdtrs22其中 点代表某一行星, 是行星 对某一贯性坐标系原点 的位矢,而 是太pp osr阳对同一坐标系原点 的位矢.o
