1、安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书共 页 第 1 页装订线外文文献翻译泰勒级数出自维基百科，自由的百科全书，对于其他系列扩展概念，见系列（数学） 。在数学中，泰勒级数是一个具有代表性的利用单点的导数来实现无穷计算的函数。泰勒级数的概念是由英国数学家布鲁克泰勒在 1715 年正式提出。如果泰勒级数在零点展开，则该级数称为麦克劳林级数。科林麦克劳林是苏格兰数学家，他在18 世纪针对该级数做了广泛的使用，泰勒级数便以他的名字命名。一般，通过使用其泰勒级数的有限项来逼近一个函数。泰勒定理给出针对该逼近的误差估计。一个函数的任何有限数量的泰勒级数被称为泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是该函数的泰勒多项式
2、的无限逼近。一个函数可能不等于它的泰勒级数，即使在每一个点其泰勒级数都收敛。如果一个函数等于其在一个开放的区间（或在复平面上的盘）的泰勒级数，则它是已知的解析函数。定义泰勒级数的实（复）函数 在实（复）数 的领域上是无限可微的幂级数：()fxa 332)(!(!1)( xfaaf这也可以写成更简洁的形式：nnxf)(!0)(其中 表示 的阶乘， 表示 在 点的 阶导数。 的零阶导数是它本身，！ )(affnf和 的值都为 1，在 的情况下，该级数也称为麦克劳林级数。)(ax0例子对于任何多项式的麦克劳林级数都是该多项式本身。， 的麦克劳林级数就是如下的集合级数：1)(x|32x因此 在 上的泰
3、勒级数为：a32)1()(x对上面的麦克劳林级数积分，得到 （ 为自然对数的符号）的麦克劳林级)1log(xl数为：4321xx而 在 上对应的泰勒级数就为：log()a432)1()()(x指数函数 在 处的泰勒级数为：xe0安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书共 页 第 2 页装订线 1204621!54!32!1 53xxxx上面的展开式成立，因为 的导数关于 仍为 而且 ，这使得项 以 eenx)0(!为分母的项，在无穷项和式中每一项式子都成立。历史希腊哲学家齐诺在考虑利用无穷级数求和来得到有限结果的问题时，得出不可能的结论 芝诺悖论 。后来，亚里士多德提出了一个对于这个悖论比较哲学化
4、的表述，但以当时的数学知识显然还不能够直接解答这个问题，德谟克利特和阿基米德开始思考这一问题。根据阿基米德的穷尽法，将一个无穷级数逐步的截段，实现了有限的结果。进入 14 世纪， Mdhava of Sagam grama 最早使用了泰勒级数以及相关的方法。虽然没有保留他的工作记录，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦，余弦，正切，和反正切三角函数等等。之后，喀拉拉邦的天文与数学学家在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，一直持续到 16世纪。到了 17 世纪，詹姆斯格雷戈 （ James Gregory）同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。1
5、715 年，布鲁克泰勒 （ Brook Taylor）4 提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。 麦克劳林级数是以爱丁堡大学教授麦克劳林级数来命名的。他在 18 世纪发表了泰勒级数的特例。解析函数如果 是一个在以 为中心的开区间上的收敛的幂级数，就称它在该区间上)(xfb解析。因此对该区间里的每一个 ， 为如下的幂级数：xf0)()(nnaf对上式对 求 阶导数，然后令x.bnbf!)(该幂级数的展开式与泰勒级数一致，所以一个函数在以 为中心的开区间上是b解析的，当且仅当，它的泰勒级数在该区间上的任何一点收敛于它的函数值。如果 在任意一处都等
6、于它的泰勒级数的和，那么就称它为全纯函数。多项)(xf式、指数函数 、正弦余弦三角函数、就是全纯函数的一些例子；而对数函数、正e切函数和反正切函数则是非全纯函数的特例。对于非全纯函数，在离 较远的 处ax其泰勒级数是不收敛的。如果函数值和它的全部的导数在某一点上的值都知道了，那么泰勒级数就可以用来估计整函数在任何一点的值。解析函数的泰勒级数应用有：1、 级数的部分和（泰勒多项式）可以当作整函数的近似值，如果取了足够多的项，那么这个近似值就可以近似得到；2、 级数可以逐项积分与逐项微分，因此比较简单；安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书共 页 第 3 页装订线3、 在复平面的开区间上解析函数延伸
7、到正则函数是唯一的，这也使得复变函数论可行；4、 级数可以用来计算函数值，用数字表示（常将多项式写成切比雪夫形式然后用 Clenshaw 算法估算） ；5、 幂级数可以容易的做代数运算，例如，欧拉公式就是由泰勒级数展开式和指数函数所推断出的，这个结果在谐波分析领域中非常重要的；6、 利用泰勒级数的前几项的近似为难以解决的限制域问题提供了可能，这种方法经常被用在物理领域。近似和收敛下图是精确的正弦函数围绕零点的图形，粉红色曲线表示级数为 7 的多项式!75!3sinxx在这个近似中的误差在于没有多于 的项，尤其是当 时，误差小于!9/|x1x0.000003。与此相反，下图是自然对数 和一些它在
8、 0 点周围的泰勒级数。)1log(安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书共 页 第 4 页装订线这些近似收敛只在函数图象 区域上，而出了这个区域的更高级泰勒级1x数更糟糕，这类似于龙格现象。由于函数的逼近在它的 次泰勒级数上产生的误差叫做余数，记作函n，泰勒定理会被受限制在这个余数，Taylor 定理可以获得一个有界的余项)(xRn一般地，泰勒级数不需要完全收敛，实际上，函数的泰勒级数收敛集在费雷歇空间的光滑函数中称作贫集。甚至如果函数 的泰勒级数的确收敛，它的极限不一定等f于函数值，例如函数 在 处就是无穷可微的，而且在 处21/,0()xef0x都可导，因此， 在 处的泰勒级数恒等于 。但
9、是， 不是零函数，所x )(xf以它不等于泰勒级数在零点的函数值。在实分析中，这个函数表明了存在无穷可微函数 的泰勒级数不等于函数f的值，即使它们收敛。相比之下，在复分析中不存在全纯函数 的泰勒级数)(xf )(zf收敛于不同于 的值的一点。在虚轴上，复函数 不近似于 当 近似于 的)(zf ze00时候，它的泰勒级数在 点也没有定义。0更一般地，在实轴上，任何实数或虚数序列在无穷可微函数的泰勒级数中都能当作系数，这也是波雷尔引理的一个结论，因此，泰勒级数的收敛半径就能等于 。甚至存在定义在实轴上的无穷可微函数的泰勒级数收敛半径为 。0一些函数不能写成泰勒级数因为它们存在奇点，这这种情况下，如
10、果允许变量有负次幂，还是可以得到级数展开，见劳伦级数。例如： 就能写x zexf)(成劳伦级数。安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书共 页 第 5 页装订线概 括对于任何有界连续函数在 上，有一种概括：泰勒级数收敛于函数本身，使),0(用有限差分的积分学，特别地，根据艾纳希尔有以下定理：对于任意 ，有0t，这里 hn是 次有限差分因子，步长为 。级数是精确)()!lim0tafhfnthn h的泰勒级数，除了均差代替微分：级数在形式上类似于牛顿级数。当函数 在 点fa解析，级数中的项收敛到泰勒级数中的项，在这种意义下生成的泰勒级数通常，对无穷序列，相应的幂级数具有唯一性，下面的公式定义了这个幂
11、级数：jijuinae00!所以在特殊情况下：!)/(lim)(0/0jhtftaf jjht级数右边的是 的期待值，这里 是泊松分布随机变量，取 的概率为xf xjh，因此有如下式子：!/)(jhte )()(li/0hdPaftaf th大数定律阐释了这个式子的正确性。麦克劳林级数的一些常见函数列表还列出数学系列几个重要的麦克劳林级数如下，所有的展开式的 都是有效参数。x指数函数： 对于任意 都满足；!321!0xnxe对数函数： 1,)log(1n,)(xxn有穷几何级数： 00,1Nmtm无穷几何级数： 1|,xn无穷几何级数的几种变形： 和|,xmn01|,)1(12n平方根： 1|
12、,28684!1 4320 xxxnxn 安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书共 页 第 6 页装订线二项级数（包括 时的平方根和 时的无穷级数）：2/11nnxx0)1(对任意的 和虚数 成立，它的广义二项式系数为：|x !)()(1nkn三角函数： |!53)!2(1sin20 xxx |4coxnn 这里 为伯努利2|!1523)!2(14ta121 xxBxn sB系数；|)!(sec0xnE，1|)24ari 2xn，1|,)(!4arcsicos 202xxnn1|2)1(artn0xn，双曲函数： |,!53)!(sihxxn |,421co02x2|,31572)!(tah31
13、12 xxxnBn |01xrc，兰伯特函数 ：Wexn1|,!)()1在和展开式 和 中的 称为伯努利系数，在 展开式中的 称为欧拉xtanthkB)sec(xkE系数。泰勒级数的计算存在多种计算很多函数泰勒级数的方法，可以使用泰勒级数推广到系数的形式，或者用置换、乘法除法的方法处理例 1：计算函数的七阶麦克劳林多项式 )2/,(,coslg)(xxf安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书共 页 第 7 页装订线首先将函数写成 )1(coslg)(xxf因此有如下自然对数（用大写的 O 注释）(321lo4和余弦函数 )(70cs864xxx后面的级数展开项中有 0 常数项，使我们可以简单地将
14、第二个级数替换到第一个中，还能省略高于七次的常数项，只需要用大写的 O 注释：)1(coslg)(xf432 )1(cos)1(coscs xxx)()(2(324)7024( 8342686 xOO51)(486486 xxxxx由于余弦函数是偶函数，所以奇次项 的系数都为 。,753 0例 2：假设我们希望得到形如函数：xegcos)(在零点的泰勒级数又有如下展开式： !43!21!0xxnx4cos2假设幂级数为： 3210xcxex然后乘以分母再用余弦置换得：ccex os)(3210)!421( xx 7353625314020 !4!42 xcxcccxc！合并同类项得： 2143
15、120210 )!()()(xe对照上面级数的系数，可得出假设的泰勒级数为：23cos421xx安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书共 页 第 8 页装订线例 3：在这里用到一个“间接展开”的方法来展开所给的函数，这个方法是因为对函数进行了泰勒展开而被人们所知的。问题：将下面的函数展开为 的幂级数xxe)1(我们知道 的泰勒级数展开为 xxxnex ,!43!21!0 这样， 011010 !)1( nnnnxxex)()(!11 ,0xnxnn泰勒级数作为定义古时候，代数函数根据代数方程定义，超越函数（包括上面提到的）由一些能支持它们的性质定义，比如微分方程。例如，指数函数在任意一点的导数都
16、等于它本身。然而，更好地定义解析函数的做法是：根据它的泰勒级数。在数学的很多领域泰勒级数常用来定义函数和运算符号。尤其是，当古代的对函数的定义被瓦解，比如，利用泰勒级数，可以使用矩阵和运算符来定义解析函数，如指数函数和对数函数。在其他领域，例如形式分析，它能更方便直接地解答幂级数本身，因此可以定义一种微分方程的解答方法作为一种人们想解决的幂级数的解答方法。泰勒级数在几个变量中普遍情况下泰勒级数可能会有大于一个变量的情况：),)(!)()(),( 110111 dndndndnn axfaxxxTd 例如，某个函数含两个变量 ，在 点上的二阶泰勒级数为y,b),()(),),( bfyfabfy
17、f yx),()(2,!2 22 bafyax yx在这里，下标注释表示各自的偏微分。一个含多个变量的标量函数的二阶泰勒级数展开式可以写成： )()(!21)()( 2axfDaxDfaxfxTTT在这里 是 在 处的梯度， 为海塞矩阵，利用多个符号，多个变量aDf的泰勒级数为： 。)(!)()(0| 安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书共 页 第 9 页装订线这样就能更容易懂作为更简单地索引版本相对于本段中的第一个方程，单个变量的情形也就能依次类推。举例：计算下面函数的 处的泰勒级数展开式)0,(,ba1log),(yeyxfx首先，计算所需的全部偏微分.1|1),(,|)l(, )0,(,
18、)0,(, yxyyxxx ebaff|,|1og),( ),(,),(, yxyyxxxeba泰勒级数为：),(,(, bafbaffyTyx ),()(2)(!21 22 bafax yxx在这里就为： )(1)0(2)0(!1)()0(),( 2yyxT2又因为 在 ，所以得到：)1log(y1|1|,2yxyex 部分泰勒级数在部分和产生之后，一个关于泰勒级数展开能否部分出现的问题就产生了。Odibat 和 Shawagfeh 在 2007 年回答了这个问题。根据 Caputo 部分导数， ，10表示 趋向于右端，因此部分泰勒级数可以写成：x2()()()( .11xxxfxfDfDf
19、AAA请参见洛朗级数牛顿的分差内插玛达瓦系列笔记1 克莱恩，M.(1990 年) 数学思想从古代到现代。牛津大学出版社。35 至 37 页。2 博耶、 C.和 Merzbach，美国 (1991) 数学史。约翰 威利父子公司。202203 页。3 “牛顿及莱布尼茨 微积分和天体力学在中世纪喀拉拉邦的史前 “。314 垫。卡尼修斯学院。检索到的 2006年-07-09。安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书共 页 第 10 页装订线4 S.G.丹妮 (2012 年)。“古代印度数学 概论“。共振 17 (3)： 236246。5 泰勒、 溪、 Methodus Incrementorum Dire
20、cta et Inversa 直接和反的增量方法 (伦敦，1715年)，页七、 命题、 定理 3 必然结果 2） 21 日至 23。译成英语的 D.J.特洛伊、 数学 12001800 A 源书 （剑桥，马萨诸塞： 哈佛大学出版社，1969年） ，页 332。6 鲁金，沃尔特 （1980 年） ，真正的和复杂的分析，新德里： 麦格劳-希尔、 p.418，行使 13，国际标准书号 0-07-099557-57 Feller、 威廉 （1971 年） 、 导论概率理论及其应用，卷 2 (第三版） ，威利，页 230232。8 琳恩 ；菲利普斯、 拉尔夫 S.(1957)、 功能分析及半群，AMS
21、座谈会出版物 31、 美国数学学会、 p.300327。9 大部分的这些可以在 (Abramowitz & Stegun 1970) 发现。10 Odibat，ZM。 Shawagfeh，NT.，2007年。“广义泰勒公式“。应用数学与计算 186，286293。参考文献1 米尔顿 阿布拉默茨.艾琳斯蒂更 A(1970)，数学函数公式图表手册.纽约：多佛出版社，第九版.2 托马斯.乔治 B.Jr.罗斯 L(1996)等.微积分和解析几何(第九版).韦斯艾迪生.国际标准图书编号：0-201-53174-7.3 格林伯格 .迈克尔(1998).先进工程数学(第二版).普伦蒂斯霍尔出版社出版. 国际标准图书编号：0-13-321431-1
