1、函数一、函数的定义：1 函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA（1）其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；（2）与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域2 函数的三要素：定义域、值域、对应法则3 函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。（3
2、）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x， y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x， y)，均在 C 上 . (2) 画法A、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。（3）函数图像平移变换的特点：1）加左减右只对 x2）上减下加只对 y3）函数 y=f(x) 关于 X
3、 轴对称得函数 y=-f(x)4）函数 y=f(x) 关于 Y 轴对称得函数 y=f(-x)5）函数 y=f(x) 关于原点对称得函数 y=-f(-x)6）函数 y=f(x) 将 x 轴下面图像翻到 x 轴上面去，x 轴上面图像不动得函数 y=| f(x)|7）函数 y=f(x) 先作 x0 的图像，然后作关于 y 轴对称的图像得函数 f(|x|)二、函数的基本性质1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要方法有： 1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼
4、凑法：2定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3、相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）定义域一致(两点必须同时备)4、区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭
5、区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5、值域 （先考虑其定义域）（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域； （2）反表示法：针对分式的类型，把 Y 关于 X 的函数关系式化成 X 关于 Y 的函数关系式，由 X 的范围类似求 Y 的范围。(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。 (4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。6.分段函数 （1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（2）各部分的自变量的取值情况（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 （4）常用的
6、分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数7映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象） B（象）”对于映射 f： A B 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅
7、是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数8、函数的单调性(局部性质)及最值（1）、增减函数（1）设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2，当x11，且 *axnxannN当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数。此时，a 的 n 次方根用符号 表示。当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数 a 的正的 n 次方根用符号 表示，负的 n 的次方根用符号 表示。正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成 （a0）。注意：负数没有偶次方根；0 的任何次方
8、根都是 0，记作 。0当 是奇数时， ，当 是偶数时，an)(|aan式子 叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 na3、 分数指数幂正数的分数指数幂的，)1,0(*nNmanm )1,0(1* nNmaanmn0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义4、 有理数指数米的运算性质（1） ；rasr ),0(Rsra（2） ；rsr)( ,（3） srb )(sr5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂 aa（a0,a 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。（二）、指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其
9、中 x 是自变量，函数的定义域为)1,0(ayx且R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1为什么？2、指数函数的图象和性质a1 01 时，若 X11 0a132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 832.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 8定义域 x0 定义域 x0值域为 R 值域为 R在 R 上递增 在 R 上递减函数图象都过定点（1，0） 函数图象都过定点（1，0）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数xy)(a2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函
10、数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数特别地，当 时，幂函数的图象 ),01下凸；当 时，幂函数的图象上凸；1（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴0),0(xy右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴yxx四、函数的应用方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 ，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点3、函数零点的求法：（1）（代数法）求方程 的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：（1）0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点（2）0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3）0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点
