1、第一章 函数与极限习题详解1第一章 函数与极限习 题 1-11求下列函数的自然定义域：（1） ； 2yx解：依题意有 ，则函数定义域 10()|2x1Dx且（2） ；2arcos36xy解：依题意有 ，则函数定义域 210x()Dx（3） ；ln(3)y解：依题意有 ，则函数定义域 2 ()|12x（4） ；31x解：依题意有 ，则函数定义域 0()|x0,1D且（5） sin1,2;xy, ， 解：依题意有定义域 ()|Dx（6） .arctn3yx解：依题意有 ，则函数定义域 0()|3x0Dx且2已知 定义域为 ，求()fx,12(, sin, ), ()()ffaffa( )的定义域0
2、a解：因为 定义域为 ，所以当 时，得函数 的定义域为 ；f0,201x2fx1,当 时，得函数 定义域为 ；sin(sin)f,()k当 时，得函数 定义域为 ；1xaxaa当 时，得函数 定义域为：（1）若 ，0()()ffx2a；（2）若 ， ；（3）若 ， ,x21x23设 其中 求函数值 221() ,afx0,a(),1fa解：因为 ，则222xf， 2211()4afa20 ,11()1110 时，不等式 成立971, 2|3a（3）要使 成立， 取 ，那么当 时， 2|3na,939Nn2|na成立.2根据数列极限的定义证明：第一章 函数与极限习题详解5（1） ； （2） li
3、m0!n23lim1n解：（1） ， 要使 ， 只要取 ， 所以，对任意1|0|! 1N，存在 ，当 时，总有 ，则 .01NnN|nli0!n(2) ,要使 , 即 ,只要取02 2233|1|()32n,所以,对任意的 0,存在 , 当 , 总有 , 则32 nN2|1|.lim1n3若 证明 并举例说明：如果数列 有极限，但数列linxa， lim|nxa|nx未必有极限nx证明: 因为 , 所以 , , 当 时 , 有 .不妨假设 a0, lin01N1n|na由收敛数列的保号性可知: , 当 时, 有 , 取 , 则对2N2n0x12mxN, , 当 时, 有 .故 . 同理可证0|
4、nxali|n时, 成立.alim|nxa反之,如果数列 有极限, 但数列 未必有极限.如：数列 , | |nx1nnx， 显然 , 但 不存在|1nxli|1nlimnx4设数列 有界，又 证明： x0yli0ny证明: 依题意,存在 M0, 对一切 n 都有 ， 又 , 对 , 存在 , |xMlimn0N当 时, , 因为对上述 , 当 时, ,由 的nN|0|nyN|nnxyM任意性, 则 lix5设数列 的一般项 ，求 n1(3)cos2nxlin解: 因为 , , 所以 .1lim0x()|s|1(3)mcos02x6对于数列 ，若 ， ，证明： n21kxA2kA()nxA证明:
5、 由于 , 所以, , , 当 时，有 , 同理, lik01N121|k, , 当 时 , 有 取 =max , , 当 时, 02N22|kN0N成立, 故 |nxA()nx习 题 1-31当 时， 问 等于多少，使当 时， ？234y|1|x|4|0.1y解：令 ，则 ，要使1|x5|1|x，225|1|0.2yxx只要 ，所以取 ，使当 时， 成立 |1|0.4x0.4|4|1y第一章 函数与极限习题详解62当 时， 问 等于多少，使当 时， ？x213xyX|xX|2|0.1y解：要使 M 时,总有 ,故 .21Min|xilx4用 或 语言，写出下列各函数极限的定义：X（1） ；
6、（2） ；lim()xflim()xfa（3） ； （4） ab 38解: (1) , 当 x-M 时, 总有 ;0,|()1|fx(2) , 当 , 总有 ;M|xa(3) , 当 时, 总有 ;,a|fb(4) 当 时, 总有 3()85证明: .0lim|x证明: 由于 , ,所以 .0|lix00lim|li()xx0lim|x6证明：若 及 时，函数 的极限都存在且都等于 ，则f Ali()xfA证明: 由于 ,则对 , ,当 时,有 又li()xfA1M1x|()|fx,则 ,当 ,有 .取 那么对 ,当lim()xf20M2|()|fx2a0时,总有 ,故有 .|()|flimx
7、第一章 函数与极限习题详解7习 题 1-41根据定义证明：（1）21xy为当 时的无穷小；x（2） 为当 时的无穷小；sin（3） 为当 时的无穷大3xy0证明: (1) ,因为 ,取 ,则当 时, 总有 ,故021|xx0|1|x0x21limx(2) ,因为 ,取 , 则当 时, 总有011|sin0|sin|xx1M|x, 故 .1|si|sin|xlm0x(3) , ,当 时,总有 ,所以 0M13|131|3xMx.013limx2函数 在 内是否有界？该函数是否为 时的无穷大？sinyx(,)解答: 取 ,则 ,因此当 时, 故函数20ny2nx0nnyx当 时,不是无穷大量sin
8、yx下证该函数在 内是无界的. , 且 ,0M2nn，取 , ,有2si22nyn1N0(0)2xN，所以 是无界的.0NMsinyx3证明：函数 在区间 上无界，但这函数不是 时的无穷大1co(0,1 0x证明: 令 ,类似第 2 题可得tx习 题 1-51求下列极限：（1） ； （2） ；231lim4n11lim23()nn（3） ； （4） ； 22lin 1lin第一章 函数与极限习题详解8（5） ； （6） ；21lim54x 321lim5x（7） ； （8） ；221xx x（9） ； （10） ；30()lih 213li4x（11） ； （12） ；31xx 35x（13）
9、 ； （14） ；33limxlim21x（15） ； （16） (26)x 327xx解: (1) = 231lim4n231li04n(2) = li12(1)n 11lim()()()23n n = ()(3) = 221limnn 2()1li(4) = 13lin1()3linn(5) = = 21li54x1()li4x12lim3x(6) = 32mx325(7) =li1xx22221lixxx= = 221limxx2lim1xx(8) = 21lim53x2li53x(9) = = 0()lih2230()lihxhx320lim()3hxh(10) = =31x31mx2
10、1)(x第一章 函数与极限习题详解9= 21limx(11) = 3li51x231lim05xx(12) 331lix=2 23 332 21333()(1)(1()1()li )x xxx x= = 2 231lim()x x 6(13) = 3lix2li1x(14) = 3li(26)x3236li()xx(15) = 37mx 3 31m7limx x2设 问当 为何值时，极限 存在,0,()2.xefaa0li()xf解：因为 ，所以，当0000lili1,li()li(2)xx xffa，即 时， 存在0lim()()xf mx3求当 时，函数 的极限x112xe解：因为12 1
11、1lili()0,xxx1m,xxxee所以 不存在。21lixx4已知 ，其中 为常数，求 和 的值2li(5)1xabc,abcab解：因为222(5)(5) m limx xxxxcx，所以 ，则 2 2(2)(5)= li li 15x xcababcx015ab50b5计算下列极限： 第一章 函数与极限习题详解10（1） ； （2） ;01limsnxsin1lmlsi0xx（3） ； （4） arctiarctnx6试问函数 在 处的左、右极限是否存在？当 时，215sin,0,0,(),.xfxx 0x的极限是否存在？ ()fx解： ， ，因为 ，所以200lim()li(5)xxf001lim()li(5sin)5xxfx(0)ff习 题 1-61 计算下列极限：（1） ； （2） ；10lim2xx 2lim1xx（3） ； （4） 12lixx 5lixx解：（1） （2） 121()00li()lixxx e(4)220li(1)li(1xxx e（3） 1212lim()li()xx（4）51055li()li()()xxx 510510lim()li()xxxe2计算下列极限：（1） ； (2) ；0licotx0sin2lm3x（3） ； （4） ；s35x2co1ix（5） ； （6） 为不等于零的常数） 1limnx lisn(nx解：
