1、1已知方程 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( )x2m2 n y23m2 nA(1,3) B(1， )3C(0,3) D(0， )3答案 A2已知双曲线 1( b0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近x24 y2b2线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 3y24 x24 4y23C. 1 D. 1x24 y24 x24 y212答案 D解析 由题意知双曲线的渐近线方程为 y x，圆的方程为 x2y 24，b2联立Error!解得Error! 或Error
2、!即第一象限的交点为 .(44 b2， 2b4 b2)由双曲线和圆的对称性得四边形 ABCD 为矩形，其相邻两边长为 ， ，故 2b，得84 b2 4b4 b2 84b4 b2b212.故双曲线的方程为 1.故选 D.x24 y2123已知 F1，F 2 是双曲线 E： 1 的左，右焦点，点 M 在 E 上，MF 1 与 x 轴垂直，sin MF 2F1x2a2 y2b2，则 E 的离 心率为( )13A. B. C. D 2232 3答案 A解析 如图，因为 MF1 与 x 轴垂直，所以| MF1| .b2a4已知 F1、F 2 为椭圆 1 的左、右焦点，若 M 为椭圆上一点，且MF 1F2
3、 的内切圆的周长等x225 y216于 3，则满足条件的点 M 有 ( )A0 个 B1 个C2 个 D4 个答案 C解析 由椭圆方程 1 可得 a225，b 216，x225 y216a5，b4，c3.由椭圆的定义可得|MF 1| MF2|2a10，且|F 1F2|2c 6，MF 1F2 的周长 |MF1|MF 2|F 1F2|10616.设MF 1F2 的内切圆的半径为 r，由题意可得 2r3，解得 r .325已知圆 x2y 2 上点 E 处的一条切线 l 过双曲线 1(a0，b0)的左焦点 F，且与双曲线的a216 x2a2 y2b2右支交于点 P，若 ( )，则双曲线的离心率是_OE
4、 12OF OP 答案 264解析 如图所示，设双曲线的右焦点为 H，连接 PH，由题意可知|OE| ，a4由 ( )，OE 12OF OP 可知 E 为 FP 的中点由双曲线的性质，可知 O 为 FH 的中点，所以 OEPH ，且|OE| |PH|，12故|PH |2|OE | .a26经过椭圆 1 的右焦点的直线 l 交抛物线 y24x 于 A、B 两点，点 A 关于 y 轴的对称点为x24 y23C，则 _.OB OC 答案 5解析 由椭圆 1 知右焦点为(1,0)，当直线 l 的斜率为 0 时，不符合题意，故可设直线 l 的方程x24 y23为 xmy1.由Error! 得 y24my
5、40，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1y24，x 1x2 1. y214 y24由题意知 C(x 1，y 1)， ( x2，y 2)(x 1，y 1)x 1x2y 1y2145.OB OC 7若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_答案 9解析 抛物线 y24x 的焦点 F(1,0)准线为 x1，由 M 到焦点的距离为 10，可知 M 到准线 x1的距离也为 10，故 M 的横坐标满足 xM110，解得 xM9，所以点 M 到 y 轴的距离为 9.8已知椭圆 C： 1(ab0)的离心率为 ，且点(1， )在该椭圆上x2a2 y2b
6、2 12 32(1)求椭圆 C 的方程；(2)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 AOB 的面积为 ，求圆心在原点627O 且与直线 l 相切的圆的方程解 (1)由题意可得 e ，ca 12又 a2b 2c 2，所以 b2 a2.34因为椭圆 C 经过点(1， )，32所以 1，1a29434a2解得 a2，所以 b23，故椭圆 C 的方程为 1.x24 y23化简得 18t4t 2170，即(18t 217)(t 21)0，解得 t 1，t (舍去)，21 21718又圆 O 的半径 r ，|0 t0 1|1 t2 11 t2所以 r ，故圆 O 的
7、方程为 x2y 2 .22 129已知椭圆 C 的长轴左，右顶点分别为 A，B ，离心率 e ，右焦点为 F，且 1.22 AF BF (1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若 P 是椭圆 C 上的一动点，点 P 关于坐标原点的对称点为 Q，点 P 在 x 轴上的射影点为 M，连接QM 并延长交椭圆于点 N，求证：QPN90.(1)解 依题意，设椭圆 C 的方程为 1(ab0)，x2a2 y2b2则 A(a,0) ，B(a,0)，F( c,0)，由 e ，得 a c.ca 22 2由 1，AF BF 得(ca, 0)(ca,0)c 2a 21.联立，解得 a ，c 1，2所以 b21，故椭圆 C
8、 的标准方程为 y 21.来源:学| 科|网 Z|X|X|Kx22因为点 P，N 在椭圆上，所以 x 2y 2，x 2y 2，21 21 2 2把代入，得 kPQkPN1 0，2 2x2 x21即 kPQkPN1，所以QPN 90.易错起源 1、 圆锥曲线的定义与标准方程例 1、(1)ABC 的两个顶点为 A(4,0)，B(4,0) ，ABC 周长为 18，则 C 点轨迹方程为( )A. 1( y0) B. 1( y0)x216 y29 y225 x29C. 1( y0) D. 1(y0)y216 x29 x225 y29(2)在平面直角坐标系中，已知ABC 的顶点 A(4,0)和 C(4,0
9、)，顶点 B 在椭圆 1 上，则x225 y29_.sinA sinCsinB答案 (1)D (2)54【变式探究】(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线 x224y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为 30，则该双曲线的标准方程为( )A. 1 B. 1x29 y227 y29 x227C. 1 D. 1y212 x224 y224 x212(2)抛物线 y24x 上的两点 A，B 到焦点的距离之和为 8，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为_答案 (1)B (2)3解析 (1)由抛物线 x224y 得焦点坐标为(0,6)，双曲线的一个焦点与抛物线 x224y 的焦点相同，c6，设双曲线的标准
10、方程为 1(a0，b0)，又双曲线的一条渐近线的倾斜角为 30，y2a2 x2b2 ，即 b a，又c 2a 2b 2，a 29，b 227，ab 33 3双曲线的标准方程为 1.故选 B.y29 x227(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线的定义及题意知，x 11x 218，x 1x 26.线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 3.【名师点睛】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定【锦囊妙计，战胜自我】1圆锥曲线的定义(1)椭圆
11、：|PF 1|PF 2|2a(2a|F 1F2|)；(2)双曲线：|PF 1|PF 2|2a(2ab0)的左，右焦点分别为 F1，F 2，焦距为 2c.若直线 y (xc)与椭x2a2 y2b2 3圆 的一个交点 M 满足MF 1F22MF 2F1，则该椭圆的离心率等于 _(2)已知双曲线 1 的左、右焦点分别为 F1、F 2，过 F1 作圆 x2y 2a 2 的切线分别交双曲线的左、x2a2 y2b2右两支于点 B、C，且|BC| |CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( )Ay3x By2 x2Cy ( 1)x Dy( 1)x3 3答案 (1) 1 (2)C3易得直线 BC 的斜率为 ，co
12、sCF 1F2 ，ab bc又由双曲线的定义及|BC| |CF 2|可得|CF1|CF 2|BF 1|2a，|BF2|BF 1|2 a|BF2|4a，故 cos CF1F2 b22ab2a 20( )22( )20 1 ，bc 4a2 4c2 16a222a2c ba ba ba 3故双曲线的渐近线方程为 y( 1)x.来源:学+ 科+网 Z+X+X+K3【变式探究】(1)设椭圆 C： 1(ab0) 的左，右焦点分别为 F1，F 2，P 是 C 上的点，x2a2 y2b2PF2F 1F2，PF 1F230，则椭圆 C 的离心率 为( )A. B. C. D.36 13 12 33(2)设双曲线
13、 1(a0， b0)的右焦点为 F，右顶点为 A，过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B，Cx2a2 y2b2两点，过 B，C 分别作 AC，AB 的垂线，两垂线交于点 D，若 D 到直线 BC 的距离小于 a ，a2 b2则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A(1,0) (0,1) B(，1)(1 ，)C( ，0)(0， ) D( ， )( ，)2 2 2 2答案 (1)D (2)A由 1 可知 A(a,0)，F(c,0)x2a2 y2b2易得 B ，C .(c，b2a) (c， b2a)k AB ，b2ac a b2ac ak CD .aa cb2k AC ，b2aa c b2aa
14、ck BD .aa cb2l BD：y (xc)，b2a aa cb2即 y x ，aa cb2 aca cb2 b2a【名师点睛】(1)明确圆锥曲线中 a，b，c，e 各量之间的关系是求解问题的关键(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出 c 和 a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数 c，a，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围【锦囊妙计，战胜自我】1椭圆、双曲线中，a，b，c 之间的 关系(1)在椭圆中：a 2b 2c 2，离心率为 e ；ca 1 ba2(2)在双曲线中：c 2a 2b 2，离心率为 e .ca 1 ba22双曲线 1(a0，b0)的渐近线方程为 y x.注意离心率 e 与渐近线的斜率的关系x2a2 y2b2 ba易错起源 3、直线与圆锥曲线例 3、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 1(ab0)的离心率为 ，且右焦点 F 到直x2a2 y2b2 22
