1、专题 17 排列、组合、二项式定理1某电视台一节目收视率很高，现要连续插播 4 个广告，其中 2 个不同的商业广告和 2 个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且 2 个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A8 种 B16 种 C18 种 D24 种2为配合足球国家战略，教育部特派 6 名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为( )A60 B120C240 D3603设(12x) 7a 0a 1xa 2x2a 3x3a 4x4a 5x5a 6x6a 7x7，则代数式a12a 23a 34a 45a 56
2、 a67a 7 的值为( )A14 B 7C7 D144某天连续有 7 节课，其中语文、英语、物理、化学、生物 5 科各 1 节，数学 2 节在排课时，要求生物课不排第 1 节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数为( )A408 B480C552 D8165用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A24 B48C60 D726如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A24B18C 12D97 (2x )5 的展开式中，x 3 的系数是
3、_( 用数字填写答案)x8(12x) 10 的展开式中系数最大的项是 _9用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的 4 个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可 以反复使用，则所有涂色方法的种数为_ _10 (ax)(1x) 4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_.11已知等式 x4a 1x3a 2x2a 3xa 4(x1) 4b 1(x1) 3b 2(x1) 2b 3(x1)b 4，定义映射f：(a 1，a 2，a 3，a 4)( b1，b 2，b 3，b 4)，则 f(4,3,2,1)_.易错起源 1、两个计数原理例 1、(1)如图所示，用 4
4、 种不同的颜色涂入图中的矩形 A， B，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )A72 种 B48 种C24 种 D12 种(2)如果一个三 位正整数“a 1a2a3”满足 a1a2 且 a3a2，则称这样的三位数为凸数 (如 120,343,275)，那么所有凸数的个数为( )A240 B204C729 D920来源:学| 科|网【变式探究】(1)将 1,2,3，9 这九个数字填在如图所示的 9 个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当 3,4 固定在图中的位置时，填写空格的方法有( )A6 种 B12 种C18 种 D24 种(2)在一次游戏中，三个人采用击鼓
5、传花的方式决定最后的表演者，三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，若经过五次传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式有_种(用数字作答)【名师点睛】(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化【锦囊妙计，战胜自我】分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘易错起源 2、排列与组合例 2、(1)某
6、次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A72 B120C144 D168(2)现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求取出的卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，则不同的取法共有( )A232 种 B252 种C472 种 D484 种【变式探究】(1)在某真人秀活动中，村长给 6 位“萌娃” 布置了一项搜寻空投食物的任务已知：食物投掷地点有远、近两处；由于 Grace 年纪尚小，所以她要么不参与该项任务，但此时另需一位“萌娃”在大本营陪同，要么参与搜寻近处投
7、掷点的食物；所有参与搜寻任务的“萌娃”须均分成两组，一组去远处，一组去近处，则不同的搜寻方案有( )A40 种 B70 种C80 种 D100 种(2)2 名男生和 5 名女生排成一排，若男生不能排在两端又必须相邻，则不同的排法种数为 ( )A480 B720C960 D1440来源:【名师点睛】求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符
8、合要求的排列或组合数解答计数问题多利用分类讨论思想分类应在同一标准下进行，确保“不漏” “不重” 【锦囊妙计，战胜自我】名称 排列 组合相同点 都是从 n 个不同元素中取 m(mn)个元素，元素无重复不同点排列与顺序有关；来源:ZXXK两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同组合与顺序无关；两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同易错起源 3、二项式定理例 3、(1)设2cosd,nx则二项式 n的展开式中 x2 的系数为( )(2x 13x)A80 B90C120 D160(2) 8 的展开式中 x7 的系数为_(用数字作答) 来源:(x2 1x)【变式探究】(1)(
9、 )10 的展开式中系数为正数的有理项有( )3x13xA1 项 B2 项C3 项 D4 项(2)设 A 37C 35C 33C 3，BC 36C 34C 321，则 AB_.27 47 67 17 37 57【名师点睛】(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项展开式的任意项，只要 n 与 k 确定，该项就随之确定；T k1 是展开式中的第 k1 项，而不是第 k 项；公式中，a，b 的指数和为 n，且 a，b 不能随便颠倒位置；对二项式(ab) n展开式的通项公式要特别注意符号问题(2)在二项式定理的应用中， “赋值思 想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法【锦囊
10、妙计，战胜自我】(ab) nC anC an1 bC ank bkC bn，其中各项的系数就是组合数 C (k0,1，n)0n 1n kn n kn叫做二项式系数；展开式中共有 n1 项，其中第 k1 项 Tk1 C ank bk(其中 0kn，kN，nN *)称kn为二项展开式的通项公式1从 8 名女生和 4 名男生中，抽取 3 名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A224 B112C56 D2825 人站成一排，甲、乙两人必须站在一起的不同排法有( )A12 种 B24 种C48 种 D60 种3设 i 为虚数单位，则(x i) 6 的展开式中含 x4
11、 的项为( )A15x 4 B15x 4C20ix 4 D20ix 44在二项式(x 2 )n的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和为( )1xA32 B32C0 D15已知(1x)(1x )2(1x) 3(1x) na 0a 1xa 2x2a nxn，且a0a 1a 2a n126，那么( )n的展开式中的常数项为( )x1xA15B15C20D206已知等比数列a n的第 5 项是二项式(x )4 展开式中的常数项，则 a3a7_.1x7冬季供暖时，供热公司将 5 名水暖工分配到 3 个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有_种8某大学的 8 名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各 2 名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐 4 名同学( 乘同一辆车的 4 名同学不考虑 位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一年级的乘坐方式共有_种9已知(12x) 6a 0a 1xa 2x2a 6x6，则|a 0| a1|a 2|a 6|_(用数字作答)10若(12 x)2016a 0a 1xa 2016x2016，则 的值为_a12 a222 a201622016
