1、79第六章 时变电磁场6.1 在 的平面内，长度 的导线沿 轴方向排列。当该导线以3zm0.5lmx速度 在磁感应强度 的磁场中移动时，24xyves 22363xyzBeeT求感应电动势。解：给定的磁场为恒定磁场，故导线中的感应电动势只能是导线在恒定磁场中移动时由洛仑兹力产生的。有()invBdl根据已知条件，得223 3()|(24)(36)|zxyxyzzeeex 1085(1zxdle故感应电动势为0.5 21854(136)13.5inxyzxexedV6.2 长度为 的细导体棒位于 平面内，其一端固定在坐标原点。当其在l恒定磁场 中以角速度 旋转时，求导体棒中的感应电动势。0zBe
2、解：导体中的感应电动势是由洛仑兹力产生的，即 ()invbdl根据已知条件，导体棒上任意半径 处的速度为rverdl故感应电动势为 200000 1()()l l Lin zrvberBedrBlV 6.3 试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。解：考察麦克斯韦方程中的参量，利用它们与电场强度 和磁感应强度 的关E80系，将 代入即可，注意在非均匀媒质中 是空间,HBDEJ ,坐标的函数。考察麦克斯韦第一方程，有1()BB2DEJtt所以 BBJt而 ，于是，微分形式的麦克斯韦方()DEE程用 和 表示为EEBBJtt0BE对于无耗媒质， ，因此有 。0J6.4 试由麦克斯
3、韦方程推导出电流连续性方程 。Jt解：对麦克斯韦第一方程 两边取散度，得DHJt81()0DHJt又因为 ，所以DJt6.5 设真空中电荷量为 的点电荷以速度 向正 方向匀速运动，在q()vc=z时刻经过坐标原点，计算任一点位移电流密度（不考虑滞后效应） 。0t解：选取圆柱坐标系，由题意知点电荷在任意时刻的位置为 ，且产(0,)vt生的场强与角度 无关，如习题所示。设 为空间任一点，则点电荷(,)Prz在 点产生的电场强度为P304qRE其中 为点电荷到 点的位置矢量，即R()rzRevt那么，由 ，得0dDEJtt255223()()44dr zqvztqvtreerzr0zx(,)PrzR
4、826.6 已知自由空间的磁场为 0cos()/yHetkzAm式中的 、 、 为常数，试求位移电流密度和电场强度。0Hk解： 随时间变化的磁场要产生电场，随时间变化的电场又要产生磁场，它们之间的相互联系和制约由麦克斯韦方程来表征。自由密度空间的传导电流密度 ，故由麦克斯韦第一方程得0J 0cos()ydxxHJetkzz20sin()/xktkAm而 ，故dDJt 200sin()cos()/x xkHJdtekHtzdetkzCm 则 00cos()/xkDEetkzVm6.7 由麦克斯韦方程出发，试导出静电场中点电荷的电场强度和泊松方程。解：对于静电场，不存在位移电流，由麦克斯韦方程，有
5、DE,0即qdVSdV根据上式，利用球坐标，则对于孤立的、位于原点的点电荷 有q，所以距离该点电荷 处的电场强度为qrE24 r24qeEr静电场为无旋场，因此有 ，则83 2ED所以有 2即泊松方程。6.8 由麦克斯韦方程组出发，导出毕奥-萨伐尔定律。解： 由麦克斯韦方程组，有HJ0B因为矢量的旋度取散度为零，故可令 A在库仑规范下， ，因而0A2()()BHJ即 2AJ由 的解为214d可得 JAr对于线电流 4cIdlr=于是 2211()4()4cr rccBIHAdleleIdl=846.9 如图所示，同轴电缆的内导体半径 ，外导体内半径 ，1am4bm内、外导体间为空气介质，且电场
6、强度为810cos(0.5)/rEetzV（1）求磁场强度 的表达式H（2）求内导体表面的电流密度；（3）计算 中的位移电流。01Zmazrb解： （1）将 表示为复数形式，有E 0.51(,)jzrEze由复数形式的麦克斯韦方程，得 0.5001.398/jzrHeeAMjjz磁场 的瞬时表达式为 8.39(,)cos(1.5)/rztetm（2）内导体表面的电流密度sraraJnHe8582397.cos(10.5)/zetAm(3) 位移电流密度 2820.4sin(.)/drEJett所以 中的位移电流01Zm102ddrSiJez8.5sin(.5)tA6.10 试由麦克斯韦方程组中
7、的两个旋度方程和电流连续性方程，导出麦克斯韦方程组中的两个散度方程。解：本题的结果表明麦克斯韦方程组的相容性，而导出此结果的关键在于灵活应用矢量分析的基本关系式。对方程 两边取散度，得tDJH)()()( DtJtJ而电流连续性方程0tJ矢量恒等式)(H故得 0)(tDt即 )(t可见， 是一个与时间无关的常量。若取 时，该常量为零，则)(D0t的任何时刻， 皆满足需要。故得0t 0D86同样，对方程 两边取散度，得tBE0)()( Bt故得 06.11 如图所示，两种理想介质，介电常数分别为 和 ，分界面上没有12自由电荷。在分界面上，静电场电力线在介质 中与分界面法线的夹角分别为2,和 。
8、求 和 之间的关系。1212解：利用 和 的关系以及理想介质分界面的边界条件求解。DE设 和 分别为介质 中电通量密度。 ， 分别为介质 中电场强122,11E22,1度。在各向同性介质中， 和 具有相同的方向。由边界条件 和nD，得ttE21nttDE21而根据图可知11cosn 11sint2,ED211,ED28722cosDn22sinEt则得2102121tanrr6.12 写出在空气和 的理想磁介质之间分界面上的边界条件。解：空气和理想导体分界面的边界条件为 sJHnE0根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式 mss,即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件 smJEnH0式中， 为
9、表面磁流密度。smJ6.13 在由理想导电壁 限定的区域 内存在一个由以下各式表)(rax0示的电磁场：)cos()ini()s()00tkzaxHktkzaxEzxy 这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度的值如何？解：应用理想导体的边界条件可以得出在 处， ，0xyE0x88)cos(0tkzHz在 处， ，axyEx)cs(0tkzz上述结果表明，在理想导体的表面，不存在电场的切向分量 和磁场的yE法向分量 。xH另外，在 的表面上，电流密度为000|)(| xzxxs HeenJcos(|0tkyzx 在 的表面上，电流密度则为ax axzxxaxs eeHnJ |)(|cos(|0tkyz 6.14 设电场强度和磁场强度分别为)cos(0metHE证明其坡印廷矢量的平均值为 )s(210eavS证明：坡印廷矢量的瞬时值为 )cos()cos(00 metHtEH)21 mett )cs()2cs(0 memet故平均坡印廷矢量为 T memeTav dttHEdtS000 )os()os(11 )cos(2me
