1、1说明：此文是课题研究方案中计划要写的论文之一，现已发表在浙江师范大学主办的中学教研（数学）2010 年第 9 期上。本文以三角函数一章的题目为例，引导学生如何进行解题后的反思，同时为如何培养学生批判性思维做了一个很好的示范。三角函数题“正确解法”后的反思江苏省睢宁县城北中学（221200）武瑞雪(电话：15852133202 Email:)“数学题的解后反思”是指在解决了数学问题之后，不是解完了事，而是对题目条件的再思考、再分析，从中发现不足甚至错误，或归纳解题规律。数学家波利亚曾说过：“没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨，总会有点滴发现，总能改进这个解答
2、，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平” 。这里所说的剩下些工作，就是解题后的反思。本文以三角函数一章的题目为例，从以下几个方面阐述如何进行解题后的反思。一、反思解法好坏解完一道题后，通过反思解法，可加深对题目条件的本质的领悟，有利于培养思维的深刻性，提高解题能力和解题速度。例已知两点 A（cos80sin80,B(cos20sin20,求 A、B 两点间的距离。解：由两点间的距离公式得 AB=2200200 )sin8(i)cos8( = )20sin820cos8(cin2 = =1。06cs1反思：通过解题后的调查知，95以上的同学采用上述解法，即用两点间的距离公式和三
3、角函数恒等式去求解，平均答题时间为10 分钟。但反思一下，由圆的参数方程 （为参数） ，知点cosinxyA、B 都在单位圆上，且 AOB=8060结合圆 O 的图形易得AB=1，答题时间不足 1 分钟（图形不画，只需想像） 。产生上述“慢解”的原因是学生平时练习时，过于机械，没有对解法进行认真选择，出现了思维定势。二、反思解法规律解题后，反思解法中有无规律可循，从特殊题目的解法引申出一般题目的解法。例求 cos400( tan100+1)的值。3解：cos40 0( tan100+1)=cos400( )1cosin0=cos400（ ）0csi3=2cos400（ ）01cos2in=2c
4、os400（ ）0)3i(3= 01cos4in2= 8i0反思：题目中既有正弦，又有正切，常用方法是“切”化“弦” 。在化简中出现了 sin100+cos100,应考虑用 asinbcos=3sin(来进行化简。2ba经过如此反思，学生就可掌握此类题的实质，以后再遇到“改头换面”的题，就可熟练解决了。如求:sin40 0(tan100 ); .30001cos)tan3(8in5si2(答案： ， 三、反思有无多解（一题多解）很多题目有多种解法，解完一道题后，应反思是否还有另法，以求最简捷的解法，使思维向更高层次发展，培养思维的发散性和灵活性。例求函数 f(= 的最大值和最小值。2cos1i
5、n解：设 y= ,则 sinycos=12y,si sin(12y,其中为辅助角。21ysin( ，又sin(，2y ，解得y2144函数 f(= 的最大值和最小值分别为 和 0。2cos1in34反思：此题从函数 f(= 的结构特征，可得 f(可看成2cos1in点（cos ,sin与点 P（2，1）的连线的斜率，又 cos 2+sin2=1,点（cos,sin在圆 x2+y2=1 上，而 22+12=51，点（2，1）在圆 x2+y2=1 外，故当过点（2，1）的直线与圆 x2+y2=1 相切时，f(取得最大（小）值，如图所示。设圆的切线为 yk(x，则 =1， 21k解得 k= 或 k=
6、0 34f(取得最大值和最小值分别为 和 0。34四、反思同类题目解题后，反思与该题同类的习题（即变式题） ，进行对比，找出解答此类题目的技巧和方法，从而达到举一反三，触类旁通的目的。例已知 tan=,求 ； 。sin3co52i422cos5sin41解：tan=,cos, = .sin3co52i410ta =22i1 2571tan4cossi5242反思：已知 tan的值，解关于 sin,cos的齐次式化简、求值问题，常常转化为关于 tan的函数式求解。下面各题，虽已知式子yxOP(2,1)25或所求式子表达式不同，但其实质相同，通过这样的反思训练，解决此类题的能力可得到极大提高。变式
7、已知 tan=,求 ； +cos2。sinco53i422cosin41变式已知 ,求 sincos.2icsi变式已知 ,求 。o11sinc备注：由 ，可得csin，进而可得 tan 的值,又2tan12sicoi2sincoi22 2= 此题得以解决。1sin ,12tancos2inisi2co五、反思题目结论当解决一个问题后，常常会出现几种情况或几个结论，这对解题者而言，不是解题过程的终结，相反，它为解题者提供了一个进行反思的空间：这些情形或结论中有没有多余的解？例已知函数 f(x)=sin(x+(,是 R 上的偶函数，其图象关于点 M（ 对称，且在区间0， 上是单调函数，求)0,4
8、32和的值。分析：函数 f(x)是 R 上的偶函数，f(x)=f(x)，即 sin(x+=sin(x+，sincos xcossinx=sincosxcossinx,此式对任6意实数 x 都成立，且，cos=0，又，= 。2函数 f(x)图象关于点 M（ 对称，)0,43f( x)=f( +x)，取 x=0，得 f( )=f( )，434343即 f( )=0，sin( + =0，cos( =0,又,243 =k ,kN,43= ,kN.)1(k反思：面对 的无数个值，必须反思其存在的合理性。事实上，当 k=0 时， = ，f(x)=sin( x+ =cos( x)在区间0， 3232322上
9、是单调减函数；当 k=1 时， =2，f(x)=sin(2x+ =cos(2x)在区间0， 上2是单调减函数；当 k2 时， ，f(x)=sin(x=cos( x)在区间0， 上310 2不再是单调函数。综上所述，得 = 或=2。2这样，学生在反思的基础上，思维不断得到发展。六、反思条件与结论联系例已知：sin(2=3sin, +k,kZ, +n,nZ,22求证：tan(tan.证明：sin(2=3sin,sin(+sin( ,7sin(cos+cos( sinsin(coscos(sin)2sin(cos=4cos( sin, +k,kZ, +n,nZ,22tan(tan.反思：部分同学拿到题目后无从下手。仔细分析该题，已知条件等式中的两个角为 2与 ，所要求证的等式中的两个角为 与 。故应设法将已知等式中的两个角 2， 向所要求证的等式中的两个角，转化（即设法将已知与未知挂上钩）：2=(+，=( ，然后以 与 为基本角，用两角和与差的正弦公式展开，再向正切转化即可证得。总之，在数学解题后，经常进行以上的反思，有利于学生加深对基础知识和方法的掌握，有利于培养学生思维的深刻性、批判性、创造性、周密性和严谨性，有利于提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，有利于培养学生的创新意识和科学的思维品质。学生应将反思做为一种习惯。不断地反思，才会不断地进步，才能提高学习效率。
