1、 西北大学学报(自然科学网络版) 2004 年 10 月，第 2 卷，第 10 期Science Journal of Northwest University Online Oct. 2004，Vol.2，No. 10 _收稿日期：2004-08-24基金项目：国家自然科学基金资助项目（10271093） ；陕西省教育厅基金资助项目（2002A11）审 稿 人：张文鹏，男，西北大学数学系教授，博土生导师一个数论函数及其均值赵小鹏(渭南师范学院 数学系，陕西 渭南 714000)摘 要 ：引入了一个新的数论函数，研究了其均 值性质，并给出了一个有趣的渐近公式。关 键 词：数论函数； 均值； 渐
2、近公式中图分类号：O156.4 文献标识码：A 文章编号： 1000-274X(2004)0099-31 引言及结论对任意正整数 n， 我们定义 IS(n)o 为不超过 n 的最大平 IS(1)=1, IS(2)=1, IS(3)=1, IS(4)=2, IS(5)=2, IS(6)=2, IS(7)=2, IS(8)=2，IS (9)=3，IS(10)=3，。现在对任意实数 x，我们考虑函数 x-IS(x)，即实数 x 的平方分数部分。文献1建议研究此函数的性质。关于这一问题的研究，笔者至今尚未见相关文献。而这一问题本身是重要的，它可以帮助我们了解平方分数部分函数分布的规律性。本文中，我们对
3、此问题作了一般化处理。设 IK(n)表示不超过 n 的最大 k 次幂 ，以及 FK(n)=n-IK(n)。本文主要研究了 FK(n)的均值性质，并利用初等方法给出了 FK(n)的一个有趣的渐近公式。即就是证明下面的：定理 1 对任意实数 ，有渐近公式1x)()2()212kkxn xOFK由下面定理的证明过程不难看出本文中的技巧性是非常强的，然而结论是十分粗糙的，即就是定理中的误差项不够精确!是否存在一个比我们的定理更精确的渐近公式仍然是一个有意义的难题!由此定理我们还可以得到下面的 3 个推论：推论 1 对任意实数 ，我们有1x)(2)(3xOnISxn推论 2 设 表示不超过 的最大立方数
4、，则对任意实数 ，有渐近公式C1x)(109)(345xIxn推论 3 设 表示不超过 的最大四次方数，则对任意实数 ，我们有渐近公式Fn1x)(78)(234xOIxn22 定理的证明为了证明定理，我们需要下面的简单引理：引理 1 对任意实数 和 ，有1x0)(Onx证 明 参阅文献2.现在我们来完成定理的证明.对任意实数 ，显然存在惟一的正整数 ，满足不等式1xM(1)kkMx)1(于是有 )()()()11 kxnMktnxnt OtFKkkk uukkt xMt 0)1(0 )()(22321 kt(2)()(21kkO由式(1)可得 kkkk xMMx 1)1( 即有(3)(212k
5、kkxO和(4)kkM22结合式(24) 可得 )()12()22kkxn xOFK这就完成了定理的证明。在定理中分别取 和 3，我们立刻得到推论 1 及推论 2。k注 释 显然，用我们的方法还可以得出更一般的结论，即可以给出均值 xnrIK)(3的一个渐近公式，其中 为任意非负实数。对于该函数其他性质，我们将做进一步研究。r参考文献：1 SMARANDACHE F. Only problems, Not solutionsM. Chicago:Xiquan Publ.House, 1993.2 TOM M. Apostol. Introduction to Analytic Number T
6、heoryM. New York:Springer-Verlag, 1976.（编辑 曹大刚）An arithmetical function and its mean valueZHAO Xiao-peng(Department of Mathematics, Weinan Teachers College, Weinan 714000, China)Abstract: A new arithmetical function is introduced and the properties of its mean value are studied. Also an interesting
7、asymptotic formula is given.Key words: Arithmetical function; Mean value; Asymptotic formula作者简介赵小鹏，男，陕西周至人，生于 1968 年 3 月， 1990 年毕业于西北大学数学系， 1997年至 2002 年先后在陕西师范大学、西北大学 进修学习， 现 任渭南师范学院数学系讲师。近年来主要从事基础数学的教学与科研工作，主讲的课 程有高等代数、近世代数、离散数学等；曾参加过陕西省自然科学基金项目、渭南 师范学院科研基金 项目的研究工作；近期主编教材高等代数方法与题解一部；分别在纺织高校基础科学学报、 渭南师范学院学报等刊物上发表论文多篇，其中 “数论中一个未解决问题的探讨”先后被中国数学文摘和美国数学评论索引和收录。
