1、变式问题教学的粗浅思考 01 三牧中学数学组 林山杰 （ 2016-10-7） “ 一题多解，解法优化；一题多变，变中求同；多题一 法 ，同模通法 ”是数学解题与习题教学中非常重要的教学方法，也是学生学习的方法 对各个数学知识模块，进行这三个维度的探究教学，非常有益于学生的数学思维能力的培养 本文主要侧重于思考与研究常见的几何特征模型的一些变式问题的一些结论， 并 介绍 一点对 问题变式的改编方法 的思考 主 题 1：关于双角平分线的模型 问题 1-1：已知：如图 1-1，在 ABC 中， BO、 CO 分别平分 ABC、 ACB，求证： BOC=90 +(1/2) BAC 这个问题需要两个知
2、识储备，一个是三角形内角和 180，另一个是角平分线的定义 是非常常见的一个几何问题 这个问题可以有哪些变式呢？ 变式 方法 1，往 特殊的状态以及 简单的方向变式，加强条件 问题 1-2：已知：如 图 1-1，在 ABC 中， BO、 CO 分别平分 ABC， ACB，若 ABC=40， ACB=80，求： BOC 的度数 问题 1-3：已知：如 图 1-1，在 ABC 中， BO、 CO 分别平分 ABC， ACB，若 BAC=60，求： BOC 的度数 从这 两个特殊值入手，有助于学生过渡到一般情况，也就是问题 1-1 变式 方法 2，往 改变图形 的 位置的 方向变式， 改变特征 条件
3、 的位置 问题 1-4：已知：如图 1-2，在 ABC 中， AO、 BO 分别平分 BAC、 ABC， 求证： BOA (1/2) BCA 的值是定值 问题 1-5：已知：如图 1-2，在 ABC 中， AO、 CO 分别平分 BAC、 ACB，求： COA (1/2) ABC 的值 这两个问题还改变了问题 设置 的提问方式 变式 方法 3， 往逆命题的方向变式 ， 对调原题的条件与结论的位置 问题 1-6：已知：如图 1-1，在 ABC 中， BO 平分 ABC， BOC=90 +(1/2) BAC 求证： CO 平分 ACB 变式 方法 4， 运用类比与对称思维 变式 ， 改变 内角平分
4、线的条件为外角平分线 问题 1-7：已知：如图 1-3，在 ABC 中， BP 平分 ABC， CP 平分 ACE，求： BPC： BAC 的值 OACBOACB图 1-1 图 1-2 PACB E图 1-3 问题 1-8：已知：如图 1-4，在 ABC 中， BQ 平分 DBC， CQ 平分BCF， 求： BQC 与 BAC 的 数量关系 这两个问题，最好需要增加一个知识储备：三角形的外角等于不相邻的两个内角和 使用这个定理证明的思 路更快 如果把这两个变式问题的图形和原来的图形画在一起，更容易发现这些问题的关联 如图 1-5， CO， CP 分别平分一对邻补角 ACB， ACE，易证OCP
5、=90 同理 PBQ=90 CP， CQ 分别平分一对对顶角 ECB， ACE，易证 P、 C、 Q 三点共线 BOC 是 Rt OCP 的外角，所以 BOC=90 + BPC BQC 是 Rt BQP 的内角，所以 BQC=90 - BPC 因此这个题组的探究有助于学生发现数学知识的重要关联 ,而不是孤立的学习数学知识与数学问题 变式 方法 5，往改变研究 的着眼点入手，从研究角的数量问题，研究三 角 平分 线共点 问题 1-9：已知：如图 1-2，在 ABC 中， BO、 CO 分别平分 ABC，ACB，求证： AO 平分 BAC 问题 1-10：已知：如图 1-6，在 ABC 中， BQ
6、、 CQ 分别平分 DBC，FCB，求证： AQ 平分 BAC 问题 1-11：已知：如图 1-7，在 ABC 中， BP、 CP 分别平分 ABC，ACE，求证： AP 平分 GAC 这三个问题需要新增知识储备：角平分线的性质定理（角的平分线上的点到角两边的距离相等）与判定定理（角的内部，到角两边 的距离相等的点在角的平分线上） 变式 方法 5-2， 还可以研究面积问题 问题 1-12：已知：如图 1-1，在 ABC 中， BO、 CO 分别平分 ABC，ACB，若 ABC 的周长为 20， O 到 BC 的距离为 4，求： ABC 的面积 问题 1-13：已知：如图 1-6，在 ABC 中
7、， 在 ABC 中， BQ、 CQ 分别平分 DBC， FCB，若 ABC 的周长为 20， ABC 的面积为 30， Q 到 BC 的距离为 4，求： BC 的 长 变式方法 6，增加图形条件，加入其它模型结构，研究一些周长问题或者线段的数量关系。 问题 1-14：已知： 如图 1-8，在 ABC 中， BO、 CO 分别平分 ABC， ACB，过 O 的直线 NM BC， M， N 分别在边 AB， AC 上， 求证： ABC 与 AMN 的周长之差 =BC QOPACB EDFQACBDF图 1-4 图 1-5 图 1-6 QACBDFPACB EG图 1-7 M NOACB图 1-8
8、问题 1-15： 条件同问题 1-14，求证： AMN 与 ABC 的周长之比 + BOC 与 ABC 的面积之比=1 变式方法 7， 重复使用模型特征构造新问题 ，甚至构造一般化的 n 等分线模型 问题 1-15：已知：如图 1-9，在 ABC 中， BK、 BJ 三等分 ABC， CK、CJ 三等分 ACB，若 BAC=80，求： BKC， BKJ 的度数 问题 1-16： 已知：如图 1-10，在 ABC 中， BH、 BP、 BT 四等分 ABC，CH、 CP、 CT 四等分 ACE，若 BAC=80，求： BHC、 BTC 的度数 问题 1-17(莫莱定理 )：已知：如图 1-11，
9、在 ABC 中， BU、 BJ 三等分 ABC， CV、CJ 三等分 ACB， AU、 AV 三等分 BAC，求证： UVJ 是等边三角形（这个问题属于高联难度的问题， 只适合介绍给学生了解有关 数学 文化背景即可） 变式方法 7，条件强化为特殊角，探究更丰富的内涵 问题 1-18：已知：如图 1-12，在 ABC 中， BO、 CO 分别平分 ABC， ACB，若 BAC=60， （ 1） 求证： OE=OF， BE+CF=BC （ 2）若 ABC=40，求证： BE=EC， BO+OE=BC 问题 1-19：去掉部分图形 【 隐形化变式，常为竞赛题所 用 】 ，只余下 BEC，条件为在 B
10、EC 中， BE=EC， BEC=100， BO 平分 EBC，求证： BO+OE=BC 【备注： 这个 特殊 40-60-80 的 ABC 还有许多可以研究的问题 ， 如蕴含的母子型相似，连 接 AO 还有新的结论等等， 以后再研究。 比如奥数教程八年级 第六版 P118 例 3 例 4， P125例 3】 再举个例子 ， 问题 1-20： （这是来自成都吴小平老师网名两把刷子的分享） FEOACBJKACB图 1-9 HTPB CAE图 1-10 VUJACB图 1-11 图 1-12 当然，这个 双角平分模型 问题的变式不仅仅只有这些。这些难度不一的变式问题不是在一堂课中给学生学习，而是
11、结合教学进度的 不同节点 ，结合学生个体能力 水平 的 不同发展 ，给学生课内外适当的学习内容。 而教师对这系列问题的研究 有助于教师理解数学问题之间的横纵关联，有助于教师对数学难题寻根溯源， 有助于教师做到因材施教 ， 找到合适的入手点启发点拨学生的学习 。 【 以下是 2016-10-9 补充 ，并对前面做了一些修改。】 【 广州的苏德杰老师对 我的这个小文章做了这样的指导，先附录其中，到时有空再梳理修改这个文章。 】 “ 特殊化寻思路，一般化找规律，类比化觅相似。老苏总结的教学深入浅出之道：简化，透化，易化。从此角度看，其它之变，可舍矣！ ” （广州苏德杰 语 ） 我的感悟：变式要有方法
12、可依，有脉络可循，还需要 做到合理 有度和有 教育教学 价值取向。苏老师在委婉批评 我的 一些变式的怪异提问方式 。 这 实在是应试所害，不得已提出 些怪异的 设 问，让学生从核心数学概念出发，理解好问题所求。这样的题目设计也并非我的喜欢，玩文字游戏过多会削弱数学教育的核心价值。教学之道，我想补充一 点，“ 关联化 ”。设计 梳理这些 难度不等的 系列 问题一个 目的 是为了梳理 思考 学习过的这些问题之间的内在关联 ， 总结变式的方法技巧与价值取向。 另一个目的是 总结该模型的一些解题经验 ： 1 一生二 ， 二生三 双平分角导出第三平分，一些题目设计还会设计一些隐性的角平分条件，需要学生慧
13、眼识别，从而应用该模型。有关题目抽空再补充，比如 此题，来自 湖北武汉易怀 老师的分享 其中 A， B， D 三点共线 2 导角 利用有关特殊角的条件和有关模型，求出图形中的所有特殊角，从中发现图形之间的全等或相似关系，从而转化到 更多的角的关系和 线段 的关系 。 例如奥数教程八年级第六版 P130 的 13 题 3 边角转化 利用角平分线的性质或判定定理构造角平分线上的点到角两边的垂线段，从这些垂线段相等出发，可以转化出面积的有关问题。 例如这题可以用等面积法 另外的目的 是为了给个体差异化非常突出的学生设计适合的学习内容。 另外苏老师还指出用运动的观点来看变式，我思悟：运动与函数思想相结合，运动与图形变换相结合。 实际上加入坐标系背景，设计一些坐标轴上的动点，对这个系列问题还可以有新的变式。暂时就不整理这个问题了。 2016-10-11 补充一些题目 ，作为专题的练习。 刷子几何千题大典第 013 题参考答案： 武汉方四海老师分享的一些题目，可以用到这里的一些结论： 如图，在 ABC 中， AB=AC， AD BC， B 的两条三等分线交 AD于 E、 G，交 AC于 F、 H求证： EHGC
