1、 1 2015 年福建省高一数学竞赛试题 （考试时间： 5 月 10 日上午 8： 30 11： 00） 一、选择题（每小题 6 分，共 36 分） 1.集合 13A x x x N ，的子集有（ ） A 4 个 B 8 个 C 16 个 D 32 个 【答案】 C 【解答】 由 13x，知 24x ，结合 xN ，得 0 1 2 3A ， ， ， 。 A的子集有 42 16 个。 2若直线 2l 与直线 1l ： 21yx关于直线 yx 对称，则 2l 与两坐标轴围成 的 三角形的面积为（ ） A 1 B 23 C 12 D 14 【答案】 D 【解答】 在直线 1l ： 21yx取点 (0
2、 1)A ， ，则 (0 1)A ， 关于直线 yx 的对称点 ( 1 0)A，在直线 2l 上。 又直线 1l 与直线 yx 的交点 (11)P， 在直线 2l 。 2l 过 ( 1 0)A， 和 (11)P， 两点，其方程为 1122yx。 2l 与坐标轴交于 ( 10)， 和 1(0 )2， 两点， 2l 与坐标轴围成的三角形的面积为 14 。 3给出下列四个判断： （ 1）若 a ， b 为异面直线，则过空间任意一点 P ，总可以找到直线与 a ， b 都相交。 （ 2）对平面 ， 和直线 l ，若 ， l ，则 l 。 （ 3）对平面 ， 和直线 l ，若 l ， l ，则 。 （
3、4）对直线 1l ， 2l 和平面 ，若 1l ， 21ll ，且 2l 过平面 内一点 P ，则 2l 。 其中正确的判断有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【答案】 B 【解答】 （ 3）、（ 4）正确；（ 1）、（ 2）不正确。 对于（ 1），设 aa ，过 a 和 b 的平面为 ，则当点 P 在平面 内，且不在直线 b 上时，找不到直线同时与 a ， b 都相交。 2 4如图，已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ， E 为 CD 中点，则二面角 1E AB B的正切值为（ ） A 1 B 24 C 2 D 22 【答案】 D 【解答】 如图，作 E
4、F AB 于 F ，作 1FO AB 于 O ，连结 OE 。 由 1 1 1 1ABCD A B C D 为正方体，知 11EF ABB A 面 ， 1EF AB 。 又 1AB OF 。因此， 1AB OEF面 ， 1OE AB 。 EOF 为面角 1E AB B的平面角。 设正方体棱长为 a ，则 EF a ，11244OF A B a。 ta n 2 2EFEO F OF 。 5已知 ABC 为等腰直角三角形， CA CB ， 4AB ， O 为 AB 中点，动点 P 满足条件： 2PO PA PB， 则线段 CP 长的最小值为（ ） A 3 B 2 C 5 D 4 【答案】 B 【解
5、答】 以 AB 所在直线为 x 轴， O 为坐标原点，建立平面直角坐标系。则 ( 2 0)A ， 、(2 0)B ， 、 (02)C ， 。 设 ()Px y， ，由 2PO PA PB，知 2 2 2 2 2 2( 2) ( 2)x y x y x y 。 2 2 2 2 2 2 2( ) ( 4 4 ) ( 4 4 )x y x y x x y x ， 即 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 8 ( ) 1 6 1 6x y x y x y x ，化简，得 22xy。 2 2 2 2 2 2( 2) 2 4 4 2( 1 ) 4CP x y y y y y 。 1y 时， C
6、P 有最小值 2。此时， ( 3 1)P ， 。 6记 eae ， b ， ce ， ed ，则 a ， b ， c ， d 的大小关系为（ ） A a d c b B a c d b C b a d c D b c d a （必要时，可以利用函数 ( ) lnf x e x x在 0e， 上为增函数，在 e ， 上为减函数） 【答案】 A 【解答】 lnc ， ln lnde 。 设 ( ) lnf x e x x，由 ()fx在 0e， 上为增函数，在 e ， 上为减函数， 第 4 题 图 第 4 题 答题图图 3 得 ( ) ( )f f e ，于是 ( ) l n ( ) l n 0f
7、 e f e e e e 。 lne ，即 ln lndc ，于是 dc ， e e 。 又显然， eea e d ， c e b 。于是， a d c b 。 二、填空题（每小题 6 分，共 36 分） 7 已知 ()fx为奇函数， ()gx 为偶函数，且 2( ) ( ) 2 xf x g x x ，则 (1)f 。 【答案】 34 【解答】 依题意， 有 (1) (1) 2 1 3fg ， 13( 1) ( 1) 122fg 。由 ()fx为奇函数， ()gx 为 偶函数，得 3(1) (1) 2fg 。 ，得 32 (1) 3 2f ， 3(1) 4f 。 8 已知直线 l ： 10x
8、 By 的倾斜角为 ，若 45 120 ，则 B 的取值范围为 。 【答案】 3( 1 )3 ， 【解答】 当 90时， 0B ；当 45 90 时， 1 1B，解得 10B ；当90 120 时， 1 3B ，解得 30 3B 。 B 的取值范围为 3( 1 )3 ， 。 9如图，在三棱锥 P ABC 中， PA PB PC， PA PB ， PA PC ， PBC 为等边三角形， 则 PC 与平面 ABC 所成角的正弦值为 。 【答案】 217 【解答】 如图，作 PO ABC面 于 O ，则 PCO 就是 PC 与平面 ABC 所成的角。 PA PB ， PA PC ， PA PBC面
9、。 设 PA PB PC a ，则 第 9 题 图 4 231 1 3 33 3 4 1 2P A B C A P B C P B CV V P A S a a a 。 又 21 7 72 2 4ABCS a a a ， 2173 1 2P A B C A B CV P O S a P O 。 37PO a， 3 21si n77POPCO PC 。 或求出 ABC 外接圆半径 OC 后，再求解。 10函数 22( ) 2 3 6f x x x x x 的最小值为 。 【答案】 6 【解答】 由 222 3 060xxxx ，知 1332xx 或或， 3x 或 3x 。 ()fx的定义域为 3
10、3 ， ，。 21 23y x x 和 22 6y x x 在 3 ， 上都是减函数，在 3 ， 上都是增函数。 22( ) 2 3 6f x x x x x 在 3 ， 上是减函数，在 3 ， 上是增函数。 ()fx的最小值是 ( 3)f 与 (3)f 中较小者。 ( 3) 2 3f ， (3) 6f 。 ()fx的最小值是 6 。 11 已知函数 2 54xxy a a （ 0a ，且 1a ） 在区间 11， 上的最小值为 54 ，则2 54xxy a a 在区间 11， 上的最大值为 。 【答案】 10 【解答】 设 xta ，则 225 4 15 4 ( )24xxy a a t 在
11、 52 ，上为增函数。 01a时， 1taa， ， 25 41()24yt 在 1a a， 上为增函数。 2m in 5 4 1 5()2 4 4ya ， 12a 。 2m a x 5 4 1( 2 ) 1 024y 。 1a 时， 1taa， ， 25 41()24yt 在 1 aa， 上为增函 数。 第 9 题 答题 图 5 2m in 1 5 4 1 5()2 4 4y a ， 2a 。 2m a x 5 4 1( 2 ) 1 024y 。 12 若实数 x ， y 满足条件：222 3 04 9 36xyxy ，则 2 xy 的最小值为 。 【答案】 42 【解答】 由条件知， 2 3
12、 0xy， 2 3 0xy，因此， 23xy ， 0x 。 由对称性，不妨设 0y ，则 22x y x y 。 设 2x y t，代入 224 9 36xy，消 x 并整理，得 228 2 3 6 0y ty t 。 由的判别式 224 3 2 (3 6 ) 0tt ，得 42t 或 42t 。 由 23x y y知， 20t x y ， 42t 。 又 42t 时，化为 28 8 2 4 0yy ， 得 22y ，此时 924x ，符合 2 3 0xy。 t 的最小值为 42。因此， 2 xy 的最小值为 42。 6 三、解答题（第 13、 14、 15、 16 题每题 16分，第 17
13、题 14 分，满分 78 分） 13在 ABC 中，已知点 (21)A ， ， (2 8)B ， ，且它的内切圆的方程为 224xy，求点 C的坐标。 【答案】 易知 直线 AB 于圆 O 相切， 直线 AC 、 BC 的斜率存在。 设直线 AC 的 方程为 11 ( 2)y k x ，即 111 2 0k x y k 。 由直线 AC 与圆 O 相切，知 1210 0 1 2 21kk ，解得1 34k。 直线 AC 的 方程为 3 4 10 0xy 。 8 分 设 直线 BC 的 方程为 28 ( 2)y k x ，即 222 8 0k x y k 。 由直线 BC 与圆 O 相切，知 2
14、220 0 2 8 21kk ，解得2 158k 。 直线 BC 的 方程为 15 8 34 0xy。 12 分 由 3 4 10 015 8 34 0xyxy ，解得 67xy 。 点 C 的坐标为 ( 6 7)， 。 16 分 7 14已知 2()f x x bx c （ b ， cR ， 0b ），且对任意实数 x ， ( ) 2f x x b恒成立。 （ 1）求证： cb ； （ 2）若当 cb 时，不等式 22( ) ( ) ( )M c b f c f b 对满足条件的 b ， c 恒成立，求 M 的最小值。 【答案】 （ 1） 对任意实数 x ， ( ) 2f x x b恒成立，
15、 对任意实数 x ， 2 2x bx c x b ，即 2 ( 2 ) 0x b x c b 恒成立。 2( 2 ) 4 ( ) 0b c b ，即 2 4 4 0bc 。 4 分 24 4 4c b b ， cb 。 8 分 （ 2）由 cb 以及（ 1）知， 0cb 。 22( ) ( ) ( )M c b f c f b 恒成立，等价于22( ) ( )f c f bM cb 恒成立。 12 分 设 ct b ，则2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( 2 ) 2 2 1111f c f b c b c b c b tc b c b c b t t 。 由 1ct b，知22( ) (
16、 ) 11 1f c f bc b t 的取值范围为 3(1 )2， 。 32M ， M 的最小值为 32 。 16 分 8 15如图， AD 、 CF 分别是 ABC 的中线和高线， PB 、 PC 是 ABC 外接圆 O 的切线，点 E 是 PA 与圆 O 的交点。 （ 1）求证： AFD ACP ； （ 2）求证： DC 平分 ADE 。 【答案】 （ 1）由 PC 为圆 O 切线，知 CAF DCP 。 PB 、 PC 是圆 O 的切线， D 为 BC 中点， O 、 D 、 P 三点共线，且 OP BC 。 90AFC CDP ， AFC CDP 。 AF CDAC CP 。 4 分
17、 CF AB ， D 为 BC 中点， 12FD BC D C D B ， DFB DBF 。 AF FDAC CP 。于是， FA CAFD CP 。 又 1 8 0 1 8 0A F D D F B A B C A C P 。 AFD ACP 。 8 分 （ 2）延长 AD 交圆 O 于点 G ，连结 GE ， BG ， EC 。 由 AFD ACP ，知 DAF PAC . BG EC ， CBG BCE 。 12 分 又 D 为 BC 中点， DB DC 。 BDG CDE 。 BDG CDE ， A D C B D G C D E 。 DC 平分 ADE 。 16 分 （ 2）或解：
18、 连结 OA、 OB 、 OD 、 OE 。 由 OB BP ， BD OP ， 知 2PB PD PO。 又 由切割线定理知， 2PB PE PA， PD PO PE PA 。 E 、 A 、 O 、 D 四点共圆。 12 分 O D A O E A E A O P D E 。 又 OP BC 于 D ，因此， ADC EDC 。 DC 平分 ADE 。 16 分 第 15 题 图 第 15 题 答题 图 第 15 题 答题 图 9 16 已知正整数 a ， b ， c （ abc）为 ABC 的三边长 ，且 2 2 21 5 1 5 1 5a b c ，求abc 的最小值。其中 m 表示
19、m 的小数部分，即 m m m （ m 表示不超过 m 的最大整数）。 【答案】 由 2 2 21 5 1 5 1 5a b c ，知 2 2 ( m o d 1 5 )a b c （即， 2a ， 2b ， 2c 被 15 除的余数相同。） 4 分 2 ( 2 1 ) 0 ( m o d 1 5 )b a b ， 2 ( 2 1 ) 0 ( m o d 1 5 )c b c 。 由 2 与 15 互质知， 2 1 ( m od 15 )ab ， 2 1 ( m od 15 )bc 8 分 经验算，可知满足 2 1 ( mod15 )t 的最小正整数 4t 。 ab ， bc 都是 4 的倍数
20、。 12 分 设 4b c x ， 4a c y （ x ， y 为正整数，且 yx ）。 a ， b ， c 构成三角形三边长， 44b c c x c a c y ， 4( )c y x。 5c 。 经验证， 5， 5 4 1 9 ， 5 4 2 13 可以为三角形的三边长。 abc 的最小值为 27。此时， 13a ， 9b ， 5c 。 16 分 10 17 已知集合 1 2 3 2 0 1 5P L， ， ， ，。 集合 A 是 P 的子集 ，且在 A 的任意三个元素中，总可以找到两个元素 a 和 b ， 使得 a 是 b 的整数倍。求 A 的最大值。（其中 A 表示集合 A 的元素
21、的个数）。 【答案】 首先集合 2 3 10 2 91 2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 2A LL， ， ， ， ， ， ， ， ， ，符合要求。 此时， 21A 。 5 分 设 1 2 3 kA a a a a PL， ， ， ， 1 2 3 ka a a a L， 满足：在 A 的任意三个元素中，总可以找到两个元素 a 和 b ，使得 a 是 b 的整数倍。 取 A 的任意三个相邻元素： na ， 1na ， 2na 。依题意 1na 是 na 的整数倍，或 2na 是 na 的整数倍，或 2na 是 1na 的整数倍。 1 2nnaa ，或 2 2nnaa ，或 212nnaa 。 于是，总有 2 2nnaa 成立。 10 分 因此， 2 2a ， 24222aa， 36422aa， 48422aa， 。 若 22k ，则 1122 2 2 0 4 8 2 0 1 5kaa 与 2015ka 矛盾。 21k 。 因此， A 的最大值为 21。 14 分
