1、 湖南省岳阳县第一中学 2014 年物理奥赛教案第一讲 力和平衡知识要点：力学中常见的几种力。摩擦力。弹性力。胡克定律。万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式（不要求导出）。共点力作用下物体的平衡。力矩。刚体的平衡。重心。物体平衡的种类。物体相对于地球静止或匀速直线运动的状态叫平衡；物体与物体之间的相互作用称之为力；物体受力都要发生形变，在研究力对物体的运动效应之前，可把物体简化为各点间距离保持不变的刚体。研究平衡系统的主要任务是：首先把平衡物体从其所在位置隔离出来，用力取代其它物体(或场) 对它的作用，把它简化为受力的平衡刚体；其次，研究作用在平衡刚体上的平衡力系，从基本的二力平衡
2、原理出发，运用矢量方法，导出它所满足的平衡条件；然后针对具体问题，直接运用相应力系的平衡条件进行数学求解，求出物体所受的全部未知力或平衡的几何位置。一、矢量的运算1、加法表达： + = 。abc名词： 为“和矢量” 。法则：平行四边形法则。如图所示。和矢量大小：c = ，其中 为 和 的夹角。cosab22 ab和矢量方向： 在 、 之间，和 夹角 = arcsinca cos2in22、减法表达： = 。acb名词： 为“被减数矢量” ， 为“ 减数矢量”， 为“差矢量”。a法则：三角形法则。如图所示。将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是差
3、矢量。差矢量大小：a = ，其中 为 和 的夹角。cosb22 cb差矢量的方向可以用正弦定理求得。一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。 abc abc对于曲线上矢量的合成也同样可以进行。如：已知质点做匀速率圆周运动，半径为 R ，周期为 T ，求它在 T 内和在 T 内的平均加速度大412小。解析：如图所示，A 到 B 点对应 T 的过程，A 到 C 点对应 T 的过程。412这三点的速度矢量分别设为 、 和 。AvC根据加速度的定义 = 得： = ， = at0ABaAtvCaAtv由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量 = ， = 1B2 ，根据三角形法则，它们在图中的大小
4、、方向已绘出（ 的“三CvA v角形”已被拉伸成一条直线）。本题只关心各矢量的大小，显然：= = = ，且： = = ， = 2 = AvBCTR21v2ATRvATR4所以： = = = ， = = = 。aAB1tv428TRCaA2t428观察与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是匀变速运动？答：否；不是。3、乘法矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，和代数的乘法有着质的不同。 叉乘表达： = abc名词： 称“矢量的叉积” ，它是一个新的矢量。叉积的大小：c = absin，其中 为 和 的夹角。意义： 的大小对应由 和 作成的平行四边形的abcab面积。叉积的方向：垂直 和 确定
5、的平面，并由右手螺旋定则确定方向，如图所示。ab显然， ，但有： = ba 点乘表达： = cabABO RvAvAvB v 1v 2vAvC名词：c 称“矢量的点积” ，它不再是一个矢量，而是一个标量。点积的大小：c = abcos ，其中 为 和 的夹角。ab如功的定义为：W= =FScosSF二、力、刚体、五个静力学公理1、力物体间的相互作用，是物体产生加速度和形变原因。力系是作用在物体上的一群力，根据其力的作用线在空间的几何位置关系，分为空间、平面、汇交、平衡力系等。在研究力对刚体的运动效应时，由力的等效原理可知，力对刚体是滑移矢量，作用点沿力的作用线滑移。如如图所示。注：力可沿一个刚
6、体滑移，但不可从一个刚体滑移到另一个刚体上，也不要在一个变形体上滑移。2、刚体不因力的作用而发生形变的物体就叫做刚体。刚体是一种理想化的力学模型，实际生活中，当物体因受力作用而发生形变足够小时，以至忽略这种形变即不影响问题的正确解决，又能使解决的过程在为简化，这时就能把该物体当成刚体处理。3、五个静力学公理二力平衡公理两个力平衡的充分必要条件是：此二力作用于同一个刚体上，并且等大、反向、在同一条直线上。请注意，一定要：共物、等大、反向、同直线这四个条件缺一不可。增减平衡力系公理在作用于刚体的任何一个力系上，增加或减去一组平衡力系，原力系对物体的外效应仍然不变。力的平衡四边形定则用一个力等效地代
7、替两个或几个力对物体的共同作用叫力的合成，将一个力化为等效的两个或几个力，叫力的分解。力的合成与力的分解遵循平行四边形定则。牛顿第三定律两个物体间的相互作用力，总是大小相等，方向相反，并且作用在同一条直线上。刚化公理如果可变形体在已知力系的作用下处于平衡状态，则可将此受力物体看作刚体，其平衡不受影响。比如，弹簧就是常见一种典型的可变形物，当它的两端受到压力(或拉力) 时就会发生压缩(或拉伸)形变，所加的这一对力等大、反向、共轴线时，弹簧必定稳定在相应的压缩(或拉伸) 状态，并保持这种形变量不变，好象成了新形状的刚体。弹簧秤就是凭借这种相应的稳定性来测力和示数的。F F三、几种常见的力1、重力
8、GG=mg，方向竖直向下。注意：竖直向下是指与当地的静止水平面垂直的方向，也称铅垂线方向。实际上，重力是地球地物体引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转所需要的向心力。2、弹力 N直接接触的物体，在发生弹性形变时出现的力称为弹力，方向和接触面法线方向相同，作用点在两个物体的接触处。在弹性限度内，弹簧的弹力与弹簧的形变( 伸长量或压缩量) 成正比：F=-kx式中 k 为弹簧的劲度系数，由弹簧本身性质决定(如匝数、材料及弹簧的几何尺寸等) ，负号表示弹簧弹力的方向与形变 x 的方向相反，弹簧伸长时 x 取正。3、摩擦力 f摩擦力分为静摩擦力和滑动摩擦力。是一个物体在另一个物体表面有相对运动或
9、相对运动趋势时，所产生的阻碍相对运动或相对趋势的力，方向沿接触面的切线且阻碍相对运动或相对运动趋势。滑动摩擦力的计算式：f=N。其中 N 是正压力，是动摩擦因数，由接触面的情况和材料决定。静摩擦力的大小是可变的，范围在 0ffm 之间。式中 fm 为最大静摩擦力，f m=sN, 是最大静摩擦力系数，略大于 ，在没有特别说明的情况下可以认为相等。摩擦角：令摩擦系数等于某一角的正切值，即=tan，这个角 称为摩擦角。在临界摩擦( 将要发生滑动) 状态下，f m/N=s=tan。若用 fk 表示滑动摩擦力，N 表示正压力，则滑动摩擦角为：=arctan(fk/N)支持面作用下物体的沿接触面法线方向的
10、弹力 N 与最大静摩擦力 fm 的合力 F(简称全反力)与接触面法线方向的夹角等于摩擦角，如图所示。右图中，当 fm=Gsin，即Gcos=Gsin 时，=tan ，此时就是摩擦角。通常情况下，静摩擦力 f 未达 到最大值，即 fs sN，即 fs/N stan，因此接触面反作用于物体的全反力 F的作用线与面法线的夹角=arctanf s/N，不能大于摩擦角，即，这可作为判断物体不发生滑动的条件。【例 1】如图所示，小木块和水平地面之间的动摩擦因数为，用一个与水平方面成多大角度的力拉着小木块做匀速直线运动最省力？解析：fmF F N fmNGGsinF【例 2】如图所示，两块固定的木板 A、B
11、 之间夹着一块长方体木块 C，C 重6N，A、B 对 C 的压力大小都是 N=10N，今对 C 施加一个外力 F，将 C 从两板间水平拉出，求 F 的大小和方向。已知 C 与 A、B 之间的滑动摩擦因数为 0.4。解析：答案：大小为 10N，方向与水平方向夹 tan-10.75小结：涉及到二维或三维情况下的相对运动，常用方法是根据相对运动方向与滑动摩擦力方向相反的结论确定滑动摩擦力方向。【例 3】如图所示，有一半径为 r 的圆柱绕竖直轴 OO以角速度 匀速转动，如果用力 F 把质量为 m 的物体压在圆柱侧面，能使物体以速度 v 匀速下滑，求物体 m 与圆柱面之间的滑动摩擦系数？ (已知物体 m
12、 在水平方向受光滑挡板的作用使之不能随圆柱一起转动)解析：【例 4】一个质量为 m=20kg 的钢件，架在两根完全相同的平行长直圆柱上，如图所示。钢件的重心与两柱等距，两柱的轴线在同一水平面内，圆柱的半径 r=0.025m，钢件与圆柱间的动摩擦因数为=0.20。两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转动，角速度为=40rad/s。若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件做速度为 v0=0.050m/s 的匀速运动，推力是多大？设钢 件左右受光滑导槽限制( 图中未画出)不发生横向运动。 OOFmv0N NA BC解析：四、共点力作用下物体平衡1、力的运算法则所有的矢量都遵循平行四边形定则。力的三角形定则：两个
13、矢量相加将两个力首尾相连，连接剩余的两个端点的线段表示合力的大小，合力的方向由第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端；两个矢量相减，将这两个力的始端平移在一起，连接剩余的两个端点的线段即为两个力的差矢量的大小，差矢量的方向指向被减矢量。2、平行力的合成与分解同向平行力的合成：两个平行力 FA 和 FB 相距 AB，则合力 F 的大小为 FA+FB，作用点 C 满足FAAC=FBBC 的关系。反向平行力的合成：两个大小不同的反向平行力 FA 和 FB 相距 AB，则合力 F 的大小为 FA-FB(FAFB)，作用点满足 FAAC=FBBC 的关系。3、共点力作用下物体平衡条件平衡条件：合外力等于零
14、。即 F=0，或 F x=0，F y=04、三力汇交原理若一个物体受三个非平行力而处于平衡状态，则这三个力必为共点力。解决三力平衡问题常用的方法有：正交分解法；合成与分解法；相似三角形法；正弦定律法；图解法等。【例 5】两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为 m 的物体，上端分别固定在水平天花板上的M、N 点， M、 N 两点间的距离为 S，如图所示。已知两绳能承受的最大拉 力均为Tm，则每根绳长度不得短于多少？SM N解析：【例 6】如图所示，一轻杆两端固定两个小球 A 和 B，A、B 两球质量分别为 4m 和 m，轻绳长为L，求平衡时 OA、OB 分别为多长？(不计绳与滑轮间的摩擦)解析：【
15、例 7】如图所示，质量为 m 的均匀细杆，静止在光滑的半球形容器中，设杆与水平方向的夹角为，则容器在 A 点和 B 点给杆的支持力各多大？解析：参考答案：N Amgtan ；N B=mgcos2cos【例 8】如图所示，三个相同的光滑圆柱体，半径为 r，堆放在光滑的圆柱面内，试求下面两个圆柱体不致分开时，圆柱面的半径 R 应满足的条件。解析：4mgmgABORr12 3BA C答案：R(1+ )r22【例 9】如图所示，半径为 R 的刚性球固定在水平桌面上，有一质量为 M 的圆环状均匀弹性细绳圈，原长为 2a，a=R/2，绳圈的劲度系数为 k，将绳圈从球的正上方轻放到球上，使其水平停留在某个静
16、力平衡位置，考虑重力，忽略摩擦。(1)设平衡时绳圈长为 2b，b= a，求劲度系数 k(用 M、R、g 表示，g 为重力加速度)2(2)设 k= ，求绳圈的最后平衡位置及长度。 g22R解析：答案：k= 2a。(r(2)-1)Mg22R五、力矩、力偶的概念1、力臂从转轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。2、力矩力和力臂的乘积叫力矩，记为 M=FL。单位为：“牛米”。一般规定逆时针方向为正，顺时针方向为负。力矩的进一步理解：力矩也是力使物体绕某点(轴 )转动效应的能量。力对点之矩是矢量如图所示，力 F 对 O 点之矩，用矢量 M0(F)表示，图中 r 表示力 F 的作用点 A 的位置矢量，这个力矩矢
17、量的大小为：M0(F)ABrFOOM0(F)=rFsin(r,F)=2ABO 面积方向：略力对轴之矩是代数量从一般意义上讲，力对轴之矩是一个沿轴向的矢量，在定轴情况下不必强调矢量性，把它作为代数量处理较为便利。当力线与轴相垂直时，边力线作轴的垂直平面，如图所示，力 F 对轴 O 的之矩为M0(F)=Fh通常规定逆时针转向为正。2、力偶由两个等值、反向的平行力组成的力矩。力偶不能合成一个力，也是一个基本力学量。力偶使物体绕某点(轴) 产生转动效应，这种转动效应的大小，由构成该力偶的两个力对某点(轴)之力矩和力偶矩 M 来量度。3、有固定转轴物体的平衡条件平衡条件：M 顺 =M 逆4、重心物体所受
18、重力的作用点叫重心。计算重心的方法：同向平行力的合成法：各分力对合力作用点的合力矩为零，则合力作用点为重心。割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向平行力合成法求重心位置。公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为 m1 和 m2 的 A、B 两质点坐标分别为 A(x1,y1)， B(x2,y2)，则由两物体共同组成的整体的重心坐标为xc= ，y c=m1x1+m2x2m1+m2 m1y1+m2y2m1+m2【例 10】如图所示，飞轮重 1500N，由实验测得其重心离转轴 O1 为 4 毫米处的 O 点处，若在右侧离轴 25cm 处钻一圆孔，剩余部分重
19、心将移动轴心 O1，试求钻去部分的重力。(答案： 24N)解析：【例 11】一个质量为 m=50kg 的均匀圆柱体，放在台阶的旁边，台阶的高度 h 是圆柱体半径 r 的一Ah FOM=FRNRFABCxyx1 x2xcy1y2ycO1 O O2半，如图所示，圆柱体与台阶接触处（如图中 P 点）是粗糙的，现要在图中圆柱体的最上方 A 处施一最小的力使圆柱体则能开始以 P 为轴向台阶上滚动，求：(1)所施力的最小值；(2)台阶对圆柱体的作用力的大小。参考答案：(1)2.4510 2N；(2)4.3210 2N【例 12】半径为 R、质量为 m1 的均匀圆球与一质量为 m2 的重物分别用细绳 AD
20、和ACE 悬挂于同一点 A，并处于平衡。如图所示，已知悬点 A 到球心 O 的距离为 L，若不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳 AD 和竖直方向的夹角 。(10 届预赛试题)解析：小结：由力矩平衡关系处理问题，关键是转轴的选择，通常选择未知又不需要求的力的作用点所在的轴为转轴，这样减小方程中未知量个数，简化运算。【例 13】有一个水平放置的半径为 R 的圆柱形光滑槽面，其轴线通过 O 点，槽内放着两个半径均为 r 的光滑圆柱体 A、B ，如图所示，质量分别为 mA 和mB，且 r=R/3，求圆柱体 A、 B 平衡时，OA 线与竖直线间的夹角是多少？解析：答案：=tan -13mB2mA+mB【例 14】如图所示，一根细棒上端 A 处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等，两棒限在图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当在 C 端加一适当的外力(纸面内)，可使两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为 90，且 C 端正处于 A 端的正下方。(1)不管两棒质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？试说明道理( 不要求推理)。AOECDOABCABOOrAP h
