2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案.doc

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1、第 1 页 共 8 页2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I 理科数学第卷 (选择题 共 60 分)一选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合 A= | ,B= |2 2,则 =x230xAB.-2,-1 .-1,2) .-1,1 .1,2)ABCD2. =32(1)i. . . .i1i1i1i3.设函数 , 的定义域都为 R,且 时奇函数, 是偶函数,则下列结论正确的是()fxg()fx()gx. 是偶函数 .| | 是奇函数ABf. | |是奇函数 .| |是奇函数C()fx D()x4.已

2、知 是双曲线 : 的一个焦点,则点 到 的一条渐近线的距离为 . F23(0)xmyFCA3.3 . .BC3m5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率. . . .A18B38C58D786.如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 的始边x为射线 ,终边为射线 ,过点 作直线 的垂线,垂足为 ,将点 到直线 的距离表示OAMOP为 的函数 ,则 = 在0, 上的图像大致为x()fy()fx7.执行下图的程序框图,若输入的 分别为 1,2,3,则输出的 = ,abkM. . . .A203B165C72D158

3、第 2 页 共 8 页8.设 , ,且 ,则(0,)2(,)1sintaco. . . .A3B2C32D29.不等式组 的解集记为 .有下面四个命题:14xyD: , : ,1p(,),22p(,),2xyy: , : .3P3xyy4 1D其中真命题是. , . , . , . ,A2p3B1p4C1p21p310.已知抛物线 : 的焦点为 ,准线为 , 是 上一点, 是直线 与 的一个焦点,C28yxFlPlQPFC若 ,则 =4FPQ|. . .3 .2A72B52CD11.已知函数 = ,若 存在唯一的零点 ,且 0,则 的取值范围为()fx31a()fx0xa.(2,+ ) .(-

4、 ,-2 ) .(1,+) .(-,-D1)12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的 三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为. . .6 .4A6B42C第卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22)题- 第(24)题为选考题,考生根据要求作答。二填空题:本大题共四小题,每小题5分。13. 的展开式中 的系数为 .(用数字填写答案 )8()xy2xy14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市

5、;丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .15.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 ,则 与 的夹角为 .1()2AB16.已知 分别为 的三个内角 的对边, =2,且 ,则,abc,ACa(2)sin)(sinbcbC面积的最大值为 .三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第 3 页 共 8 页17.(本小题满分 12 分)已知数列 的前 项和为 , =1, , ,其中 为常nanS1a0n1nnaS数.(I)证明: ;2na()是否存在 ,使得 为等差数列?并说明理由 .na18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这

6、些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(I)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 (同一组数据用该区间的中点值作代表)x2s;()由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 服从正态分布 ,其中 近似为Z2(,)N样本平均数 , 近似为样本方差 .x22s(i)利用该正态分布,求 ;(1871.)PZ(ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,学科网记 表示这 100 件产品中质量指标值为于区间X(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 .E附: 12.2.若 ,则150Z2(,)N=0.6826,()P=0.9544.2219.

7、 (本小题满分 12 分)如图三棱锥中,1ABC侧面 为菱形, .1ABC(I)证明: ;1()若 , ,AB=Bc,求二面角 的余弦值.Co601ABC20. (本小题满分 12 分) 已知点 (0,-2) ,椭圆 : 的离心率为 , 是椭AE2(0)xyab32F圆的焦点,直线 的斜率为 , 为坐标原点.F23O(I)求 的方程;E()设过点 的直线 与 相交于 两点,当 的面积最大时,求 的方程.AlE,PQPl第 4 页 共 8 页21. (本小题满分 12 分)设函数 ,曲线 在点(1, )处的切线为1(0lnxxbefa()yfx()f. (I)求 ; ()证明: .1)2yex,

8、b()f请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。22.(本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲如图,四边形 ABCD 是O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE()证明:D=E;学科网 ()设 AD 不是O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:ADE 为等边三角形.23. (本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程已知曲线 : ,直线 : ( 为参数).C2149xyl2xty(I)

9、写出曲线 的参数方程,直线 的普通方程;()过曲线 上任一点 作与 夹角为 的直线,交 于点 ,Plo30lA求 的最大值与最小值.|PA24. (本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲若 ,且 .0,ab1ab(I) 求 的最小值;3()是否存在 ,使得 ?并说明理由.,2362014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I 答案15ADCAD 612 CDCBBCB 1320 14A 1590 16 217 【解析】:()由题设 , ,两式相减1nnaS121nnaS,由于 ,所以 6 分121nna0()由题设 =1, ,可得 ,由()知21213a假设 为等差数列,则 成等差

10、数列, ,解得 ;n 3,a324证明 时, 为等差数列:由 知4n24na数列奇数项构成的数列 是首项为 1,公差为 4 的等差数列21m 213ma令 则 ,21,nn()第 5 页 共 8 页数列偶数项构成的数列 是首项为 3,公差为 4 的等差数列2ma241ma令 则 ,2,nn1n(2) ( ) ,1a*Nn因此,存在存在 ,使得 为等差数列. 12 分4a18 【解析】:() 抽取产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 分别为x2s170.280.91.20.343x22223.1040830s6 分5() ()由()知 ,从而Z(2,15)N9 分187.1.)P0.201.)

11、682PZ()由()知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826依题意知 ,所以 12 分(,.682)XB:.EX19 【解析】:()连结 ,交 于 O,连结 AO因为侧面 为菱形,所以 ,1CB1BC1BC1且 O 为 与 的中点又 ,所以 平面 ,故 又 ,111A1AOAO故 6 分ACB()因为 且 O 为 的中点,所以 AO=CO 又因为 AB=BC,所以11BCBC故 OAOB ,从而 OA,OB, 两两互相垂直 以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴正方向,OB 为单位长,建立如图所示空间直角坐标系 O- 因为 ,yz016B所以 为等边

12、三角形又 AB=BC,则1CB, , ,30,A,013,0B3,0C,1,B1,A131,0B第 6 页 共 8 页设 是平面的法向量,则,nxyz,即 所以可取10ABn:30yzx1,3n设 是平面的法向量,则 ,同理可取m10mABnC:,m则 ,所以二面角 的余弦值为 .cos,7n:1C1720 【解析】() 设 ,由条件知 ,得 又 ,,0Fc23cc32ca所以 a=2, ,故 的方程 . .6 分221baE214xy()依题意当 轴不合题意,故设直线 l: ,设lxk12,PxyQ将 代入 ,得 ,2yk214y241620x当 ,即 时,216(3)023k1,22843

13、k从而 21224PQkxk:又点 O 到直线 PQ 的距离 ,所以 OPQ 的面积 ,21d21432OPQkSd设 ,则 , ,243kt041OPQtSt当且仅当 , 时等号成立,且满足 ,所以当 OPQ 的面积最大时, 的方程为:t720l或 . 12 分72yxyx21 【解析】() 函数 的定义域为 ,()f0,112()lnxxxxabfee由题意可得 ,故 6 分(1),fe12ab第 7 页 共 8 页()由() 知, ,从而 等价于12()lnxxef()1fx2lnxe设函数 ,则 ,所以当 时, ,当()lgx()lg 0,e()0g时, ,故 在 单调递减,在 单调递

14、增,从1,xe()0()x1, 1,e而 在 的最小值为 . ()g0, 1ge8 分设函数 ,则 ,所以当 时, ,当2()xhe()xh 0,1x()0hx时, ,故 在 单调递增,在 单调递减,从而1,x()0, 在 的最小值为 . 综上:当 时, ,即()g, (1)ex()gx. 12 分fx22 【解析】.() 由题设知得 A、B、C 、D 四点共圆,所以 D= CBE,由已知得, CBE= E ,所以 D= E 5 分()设 BCN 中点为,连接 MN,则由 MB=MC,知 MNBC 所以 O 在 MN 上,又 AD 不是 O 的直径,M 为 AD 中点,故 OMAD, 即 MN

15、AD,所以 AD/BC,故 A= CBE, 又 CBE= E,故 A= E由( )(1)知 D= E, 所以ADE 为等边三角形 10 分23 【解析】.() 曲线 C 的参数方程为: ( 为参数) , 2cos3inxy直线 l 的普通方程为: 5 分 260xy() (2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ,3sin )到 l 的距离为,54cos3ind则 ,其中 为锐角且 .025| si6siPA4tan3当 时, 取得最大值,最大值为 ;in1|PA25当 时, 取得最小值,最小值为 . 10 分si|24 【解析】() 由 ,得 ,且当 时等号成立,12abab2ab第 8 页 共 8 页故 ,且当 时等号成立, 的最小值为 .5 分3342ab:2ab3ab42()由() 知: ,643ab由于 6,从而不存在 ,使得 . 10 分43,6

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