1、http:/- 1 -中国科技论文在线传染病动力学模型回顾与展望 王玉，陈姗姗，傅新楚 *作者简介：王玉（1991-），男，硕士研究生，复杂网络通信联系人：傅新楚（1961-），男，教授，动力系统与复杂网络 . E-mail: （上海大学理学院，上海 200444）5 摘要：传染病是人类社会一直面临的重大问题，用数学模型研究传染病的传播机理，预测传染病的流行趋势已成为人们共同关注的课题。目前传染病建模方法主要有两类：均匀混合传染病动力学模型和网络动力学模型。本文将从这两个方面作一个综述性介绍。其中均匀混合传染病动力学模型的部分包含了时滞、年龄结构、随机扰动等多个方面；网络动力学模型包含元胞自动
2、机、平均场等方面的理论。本文旨在为读者提供一个传染病模型方面10 的大致脉络，并对今后的研究热点作一展望。关键词：传播动力学；传染病动力学模型；复杂网络；平均场理论中图分类号：029；N94Dynamics modeling of infectious diseases: a review and 15 prospectWang Yu1, Chen Shanshan1, Fu Xinchu2(1. Shanghai University,college of science, Shanghai 200444;2. Shanghai University,College of Sciences,
3、 Shanghai 200444)Abstract: Infectious disease is a major problem in human society. It has become a common 20 concern of people to study the transmission mechanism of infectious diseases and to predict the epidemic trend of infectious diseases. So far, the research in this area is divided into two me
4、thods: uniform mixed epidemic dynamics model and network dynamics model. This article will make a summary introduction from this two aspects. The part of uniform mixed epidemic dynamics model includes many aspects, such as time delay, age structure, random disturbance, and so on; The 25 network dyna
5、mics model includes the theory of cellular automata, mean field and so on. The purpose of this paper is to provide the reader for an overview of infectious disease model, and discuss the future research hotspots.Key words: Transmission dynamics; epidemic dynamic modeling; network model; mean field t
6、heory300 引言35 传染病自古以来就是威胁人类人身和财产安全的一大问题。据历史记载，大规模传染病的爆发曾经一次次给人类社会带来巨大的灾难。公元 541 年在埃及爆发的鼠疫，肆虐半个世纪之久，1/4 的东罗马帝国人口死亡 1，公元 600 年，在欧洲爆发的黑死病导致半数人口死亡 2。公元 15191530 年间，墨西哥麻疹的爆发使得该地的印第安人死亡人数达到 90%。还有很多至如此类的案例，比如天花，麻风病，脊髓灰质炎等等。这些疾病都曾经给人类40 带来巨大的灾难。一直以来，人类不断的与各类传染病作斗争，并且取得了巨大成果。近年来，随着科技的发展和人类对传染病防控意识的增强，很多曾经肆虐
7、的传染病如今已经得有效的控制，http:/- 2 -中国科技论文在线如天花，麻风病等。然而在人类不断攻克各类传染病的同时，传染病本身也在发生着变异。各类新的传染病不断涌现。其中疯牛病最早于 1986 年在英国被发现。死亡人数以每年 30%左45 右的速度逐年上升，迄今为止死于此疫的人数为 69 人。1985 年艾滋病在我国首次被发现，其感染人数在各国程逐年上升趋势，截至 2015 年 10 月我国存活的 HIV 感染人数近 60 万，而且到目前为止仍然找不到根治的方法 3。2001 年，英国爆发口蹄疫，集中宰杀、焚烧了近 700 万头感染口蹄疫的牲畜。尤其是近些年，诸如“非典”，禽流感，埃博拉
8、等疾病多次大规模爆发，威胁着人类的生命安全。以上这些无一不在告诉我们，传染病是人类的重50 大威胁。而研究传染病的发病机理，传播机制，以及制定防控策略就成了人类的重要而且必要的问题。本文将主要从均匀混合传染病动力学模型和网络动力学模型两个方面，由浅入深地介绍各类传染病动力学模型。1 经典传染病模型回顾55 传染病在人群以及其他种群中的传播是一个很复杂的过程。从建模的角度来看，传染病从初始状态开始逐步扩散的过程可以通过建立数学模型来进行研究。早在 1760 年，D.Bernoulli 就开始用数学的方法研究天花的传播 4。1906 年 W.Hamer 构造离散时间模型研究了麻疹的反复流行过程 5
9、。1911 年 R.Ross 利用微分方程模型研究了疟疾在蚊子与人类之间的传播并获得 Nobel 医学奖 6。1926 年 Kermack 和 McKendrick 研究了 16651666 年伦60 敦的黑死病以及 1906 年孟买的瘟疫的，构建了具有重要意义的 SIR 仓室模型 7，1932 年他们又提出了 SIS 模型，并提出了阈值理论 8。这些早期的经典传染病数学模型为今后的传染病建模分析奠定了重要的基础，在传染病研究中具有划时代意义。本章主要介绍具有代表性的 SIR 模型和 SIS 模型，并以此为基础介绍阈值理论的一些相关知识。65 1.1 两个最基本的传染病模型Kermack 和
10、McKendrick 构建两个仓室模型 SIR7与 SIS8模型，是最具代表性的两个模型。Kermack 和 McKendrick 的模型理论从创立以来，被广泛应用和改进。要了解传染病模型的发展，就必须先从这两个模型说起。很多类型的传染病，如水痘，流感等，其感染者痊愈后体内有了相应的抗体，这一部70 分人具有免疫力，一般不会再次患病。SIR 模型便是针对这一类疾病。SIR 模型的基本思想，就是将总人口 分为三个仓室：N代表易感者(susceptible)，即未感染且不具有免疫力的人，与染病者接触可能会被感染；S代表染病者(infective)，即感染的人，这部分人具有一定的传染力；I代表移出者
11、(removed)，即痊愈的人，这部分人具有免疫力。R75 其中 。t 时刻的状态是 。IN )()(tRItSK-M 基于三个基本假设，对模型做了简化：(1)不考虑出生、死亡、人口流动等种群动力学因素。即：。KtRItS)()(2)人群内的接触是均匀的，并且任意的一个感染者与任意的一个易感者接触致其感染80 的概率是相等的。(3)单位时间内任何一个染病者痊愈（即从 仓室到 仓室）的概率是相等的。IRhttp:/- 3 -中国科技论文在线由此可见单位时间内感染人数应和 与 成正比。设比例系数为 。单位时间内)(tSI痊愈的概率（即恢复率，又称移除率）为 。如图 1 所示：85图 1 SIR 仓
12、室模型Fig. 1 SIR compartment model这样便可以得到：90 (1.1.1).,IdtRSIdt以上为 SIR 模型。但是还有一些疾病其感染者痊愈以后，不具有免疫力，仍然可以再次感染。针对这种情况，K-M 又建立了 SIS 模型。SIS 模型与 SIR 模型类似，区别在于。仓室内的人痊愈后直接进入 仓室。相应的总人口数满足 。I S KtIStN)()(如图 2 所示：95图 2 SIS 仓室模型Fig. 2 SIS compartment model在类似的假设下，可以得到：(1.1.2).,ISdtI100 这两个模型可以粗略的表示所有类型的疾病。后来的很多更复杂的模
13、型便是在这两个模型的基础上优化与发展得到的。1.2 阈值理论和防病策略K-M 分析和研究了他们所建立的模型，并提出了阈值理论 8，阈值理论是研究传染病模型，判断疾病是否流行的重要理论。我们这一节将就前面介绍的 SIR 模型来阐明阈值理105 论。在(1.1.1)中的 与 的变化情况非常明显。由于 ，考虑他们上下界SR0,dtRtShttp:/- 4 -中国科技论文在线和 0，故显然有K SKRtStt)(lim110 关于 的变化，由(1.1.1)中的前两式得I(1.2.1).,1SdI由此可见， 是一个临界值。当 时， 会逐渐减少。当0)(I时， 会逐渐增大，但由于 还在减小，当减小到 时，
14、 达到最0)(SI )(tSI大值，然后又会逐渐减小。115 令， (1.2.2)001SR则当 时疾病流行；当 时疾病不会流行，染病者数量逐渐趋于零。故 就10R0 0R是区分疾病流行与否的阈值。要只要减小 ，使其小于 1，控制传染病防止其爆发。从表0达式来看 亦可以看做是一个染病者在单位时间内感染的人数，故 又叫基本再生数。0 0R120 从(1.2.2)可以看出， 与 、 、 三个量成长比。我们可以通过减小 、 、010S1来减小 ，使其小于 1。其中 可以看成任意一个感染者与易感者之间接触并感染的0S0R概率（这里可以看成 ，其中 为任意一个感染者在单位时间内与易感者之间接触n次数，即
15、接触率， 为易感者与感染者接触后被感染的概率，即有效接触率）；可以采取0隔离患病者或易感者的方式减少接触率 ，并通过一些对应的防疫措施（如对流感可以戴125 口罩等）来减少有效接触率 ，从而减小 。 是单位时间内的痊愈率，也是平均患病11期；我们可以通过对病人的治疗，并改进医疗手段来减少平均患病时间，减小 。 即初10S始的易感者仓室的人数；可以通过接种疫苗的手段来减小 。0S2 几类具有代表性的均匀混合传染病模型近年来，传染病的建模发展迅速，各类模型不断涌现。由于各种疾病的发病机理和传130 播方式不同，所要更加精确的研究一个疾病的传播过程，就必须根据它的具体特征，建立具体的模型来进行研究。
16、从发病机理来看，需要考虑疾病是否具有潜伏期，痊愈后是否具有免疫力，是否有特定的易感人群等。从传播机制来看，主要考虑分为接触传播，垂直传播，媒介传播（昆虫动物等）等不同的传染方式，以及是否对病人进行隔离免疫，以及人们是否具有防病意识等。传染病模型的发展过程，从开始假设时间较短，没有种群迁移，135 生育率与死亡率持平，种群总数基本为常数的单一种群的简单模型，到后来当疾病周期足够长时，需要考虑出生死亡，人口流动，种群间交叉感染，以及时滞，和年龄结构等因素的影响的更为复杂精细的模型 9。科研人员根据具体疾病的特征逐渐建立和完善了各类新http:/- 5 -中国科技论文在线的传染病模型，并对模型的各种
17、特性进行了分析。使得模型和研究的结果和现实的情况越来越接近。140 本章先介绍一些简单的扩展，然后重点介绍几个有代表性的发展方向。2.1 几类简单的扩展SIR 模型与 SIS 模型只是将人口做了简单的分类，在面对更具体传染病时，还要对这个分类进行改进，比如有些疾病有潜伏期，一些患病周比较长的还要将感染者分为早期晚期等，有些疾病如结核病等其感染者还要分为有传染性和无传染性的，这些分类的本质就145 是改变传播机制和仓室分类。下面介绍改变传播机制的例子，以 SIR 模型为基础， 仓室的个体所具有的免疫力可R能是永久的也可能是暂时的，设免疫力丧失的概率为 。方程变为以下形式：(2.1.1).,RId
18、tSIdt150 下面介绍改变仓室设置的例子，以 SIR 模型为基础，加入潜伏期（很多疾病如艾滋病等都是具有潜伏期的）的 仓室（感染后先进入潜伏期 仓室，在此仓室无传染能力，并EE设发病的概率为 ）。如图 3 所示：155 图 3 SEIR 仓室模型Fig. 3 SEIR compartment model方程为：(2.1.2).,IdtRESIdt又如结核病根据结核菌侵染的部位可分为肺结核与肺外结核 10，一般认为肺结核具有160 传染性，而肺外结核不具有传染性。据此可以将 仓室分为肺内、肺外两个，易感者感染I后分别以 、 的概率进入肺内与肺外两个仓室，建立简化的结核病模型：abhttp:/
19、- 6 -中国科技论文在线(2.1.3).,21211IdtRSbIIadtS其中仓室 、 分别为肺内、肺外结核病仓室，恢复率分别为 、 。1I2 12早期的传染病模型往往是将整个疾病的传染过程设定在一个个体数量恒定，并且相对165 封闭的环境中，是不考虑任何种群动力学因素的。但现实中，种群中个体的数量往往不是固定的 11。后来的研究人员逐渐加入出生死亡，有无垂直传染，迁入迁出等因素。如图 4 所示：图 4 SIS 仓室模型变式170 Fig. 4 variant of SIS compartment model以 SIS 仓室模型为基础，考虑加入出生死亡垂直传染迁入迁出等可构建如下模型：(2
20、.1.4).,2211IBdIbSIdt SA其中 分别是 仓室和 仓室的出生死亡率， 固定的迁入率， 分别21,bd 21,B是 仓室和 仓室的迁出率。SI175 2.2 具有时滞的传染病模型对于前面介绍的模型，根据其假设可知其患者在某一时刻痊愈的概率是确定的，但在现实中一个病人在某一时刻是否痊愈往往不仅取决于他在当前时刻的状态还要取决于之前的状态，这就是我们通常所说的时滞。生活中某些常见的疾病如感冒淋病 12等，感染者的患病期往往可以看做一个大致的近180 似值。此处以 SIS 模型(1.1.2)为基础，不考虑种群动力学因素，假设病人的患病期为固定值 。则方程为(2.2.1).()(,tI
21、StIdtIShttp:/- 7 -中国科技论文在线这个模型是一个具有确定时滞（离散时滞）的方程组。实际上大多数的传染病的患病185 期并不是固定的，但往往有某种分布规律。设一个病人患病后经历了一段时间 ，此时康复的概率为 。显然有 。设 时间段后康复的概率分布函数为)(P1)(,0)(P。可以得到方程)(f(2.2.2).)()()( ,0 dftIStISdtI这样我们就得到了一个具有分布时滞（亦称连续时滞）的模型。190 2.3 具有年龄结构的传染病模型由于年龄结构对于种群中疾病的传播规律既有很大的影响。一般来说不同年龄段的个体抗病能力，传播能力和康复能力往往不同，甚至出生死亡等种群动力
22、学因素也会因年龄的不同而改变。对某些传染病而言，为了使模型更加接近实际，必须就个体的年龄段加以区分。人们对年龄结构模型已经做了非常多的研究 13-15，这里进行简要的介绍。195 首先考虑离散的划分。将个体的最大寿命分为 个相等的年龄区间（每个区间长度为n），每个。再将时间 从起始时刻 开始划分为长度为 的区间。将第 个时间段内，年t0tj龄处于第 个年龄段内的个体数记为 。设第 个年龄段能活到第 个年龄段的概率为 。i ijNiiip则有(2.3.1)1122njj njjjNNBB 200 这就得到了一个具有离散年龄结构的种群模型（成为 Leslie 模型）。对于连续的年龄结构模型。设 为
23、 时刻的年龄分布函数， 是 年龄的个体),(taf )(a在当时死亡的概率，个体生育数随年龄的分布为 ，初始年龄分布函数为)(B。则)(0,(aff(2.3.2).(0,(,),aff dtftfa205 这就得到了一个具有连续分布的年龄结构的种群模型。以年龄结构模型为基础并加以改进，就可以构建相应的具有年龄结构的传染病模型的。还是以 SIR 仓室模型为基础，在(2.3.2)的基础上得到一下方程：(2.3.3).)(,RaIMISIatt 其中 , 分别是 向下一仓室转移的概率。初边值条件可由RIStaf),( ,http:/- 8 -中国科技论文在线210 (2.3.2)得到。2.4 多个种
24、群的传染病模型以上模型是研究同一种群，但事实上很多传染病是在不同种群之间传播的，这些种群之间往往是有某些联系的，比如寄生关系，共生关系，捕食与被捕食关系，竞争关系或没有相互作用仅仅具有接触等。这些种群间的密切接触往往会影响疾病的传播，所以在一些215 特定的疾病研究过程中，只研究单一种群是不够的。需要研究多种群的传染病模型 16-24。现以文献 17为例对这一类模型进行简要介绍。文献 16中研究了疾病在两个种群中直接传播且可交叉感染的关系。模型如下：(2.4.1).,)1(,)1(21222211 YXYdtKHrdtYYr其中 为种群 的总量 和 分别为种群 中易感者与染病者数量， 为种),
25、1(iHiiii ir220 群 的增长率， 为环境容纳量， 为因病死亡率， 为恢复率，自然死亡率因病死亡率iiKii之和， 为有效接触率。i3 网络动力学传染病模型早期传染病模型，往往将一个种群抽象成一群相同的个体来研究，也有一些根据空间，物种等因素将研究对象划分为多个种群。但是现实世界里不同的人或动物在疾病传播过程225 中表现出的特性是不同的，这种不同的，在一定程度上影响了疾病的传播。所以要想建立更加精确的模型必须考虑种群的异质性。随着网络动力学研究的兴起，网络上的传染病模型的研究，为体现种群异质性提供了可能，比较典型的几类网络模型主要有：元胞自动机，人工神经网络，无标度网络等。复杂网络
26、 25是近年来系统科学的研究热点。研究复杂网络上的传染病模型可以很好地体现种群的异质性，使得研究结果更贴近现实。230 本章我们将对网络的基本概念进行简要介绍，并简要介绍以规则网络为基础的元胞自动机模型，然后以平均场方法为基础，介绍几类代表性的网络模型。3.1 复网络的基本概念复杂网络研究始于 18 世纪的“七桥问题”，20 世纪 60 年代，Erods 和 Renyi 创建了随机图理论 26为网络科协的研究奠定了基础。此后随机图一直是人们研究的重点。后来随235 着计算机技术的发展，1998 年 Watts 和 Strogatz 提出的小世界网络(small-world network，简称
27、 WS 网络) 27和 Barabasi 和 Albert 在 1999 年提出的无标度网络 (scale-free network，简称 BA 网络 )28，这标志着网络科学的研究进入新时代。下面简要介绍网络的基本概念。从图论的角度来看，网络是是由一些节点和之间的连边构成的，用 G=(V,E)来表示，其中 V(G)表示节点集合， E(G)表示边的集合，E(G)中的每240 一条边都对应 V(G)中的一个节点对。其中复杂网络是具有小世界、无标度、自组织、自相http:/- 9 -中国科技论文在线似、吸引子中部分或全部性质的网络称为复杂网络。复杂网络有多种分类方式。其中包括有向网络和无向网络，加
28、权网络和无权网络等。下面介绍网络的一些基本统计特征：度与度分布：节点的度代表它的连边数。度分布也就是节点度的分布情况（度为 的k245 节点 占总节点数 的比例）可以用分布函数来 来表示。kNNkP)(度相关：如果两个节点之间是否有边相连与这两个节点的度值无关，也就是说网络中随机选则一条边的两个端点的度值是完全随机的。那么称网络具有度不相关性，否则称网络具有度相关性。聚类系数：网络中节点 的聚类系数 指的是，在节点 的所有邻居节点中随机选取iiCi250 两个，他们之间有边相连的概率。网络的聚类系数 是所有节点的聚类系数的平均值。距离与平均路径长度：两个节点之间的距离 指的是两个节点之间最短的
29、路径所要经ijd过的边数。其最大值称为网络的直径 D，平均值成为平均路径长度 L。， (3.1.1)ijmax)1(2NLji介数：节点 的介数表示所有最短路径中经过节点 的个数 ，它可以体现节点 的影i iBi255 响力。典型的复杂网络只要有以下几种：规则网络：常见的规则网络主要包括全耦合网络（Globally coupled network），最近邻耦合网络（Nearest_neighbor coupled network）和星型耦合网络（ Star coupled network）。其中应用较为广泛的元胞自动机模型我们将在下一章简要介绍。260 随机网络：随机网络最为经典的模型是由 E
30、rdos 和 Renyi 于 1959 年提出的。有以下两种定义形式：一是给定 N 个节点，任意两个节点以固定概率 p 连边；二是给定 N 个节点，随机选取其中 M 个不同的节点对相连。小世界网络：小世界网络是 watts 和 strogtz 于 1998 年提出的。其模型是先构建一个 N条边的近邻耦合的环状网络，其中每个结点都与它左右相邻的各 K 个结点相连；以概率 p265 随机的对每一条边进行重连，重连时将网络的每一条边的一个端点不变，另一个端点以概率 p 选择网络中的一个结点，同时避免自连和重连。无标度网络：BA 无标度网络是 Barabasi 和 Albert 于 1999 年提出的
31、。首先给定一个具有 个节点的网络，网络出始的边数至少是一条。然后逐个加入新的节点，连接到已有的0m节点上。每次加入的节点与已有的节点 之间连边概率 满足：ii270 (3.1.2)jiik其中 表示节点 的度。jkj3.2 元胞自动机模型20 世纪 50 年代，现代计算机的创始人之一冯诺依曼，提出了元胞自动机的概念。直到 20 世纪 80 年代，随着计算机技术的发展，S.Wolfram 才对元胞自动机进行了全面的研http:/- 10 -中国科技论文在线275 究。Ahmed 等定义了一类基于元胞自动机的传染病模型，讨论了传播强度的影响及传播结果的分类 29,30。元胞自动机（Cellular
32、Automata, 简称 CA），也译为细胞自动机、点格自动机、分子自动机或单元自动机，它是一种离散（时间和空间都离散）的动力模型，其基本思想就是每一个元胞下一个时刻的状态只由自身和相邻元胞决定 31。280 元胞自动机由一个元胞空间和定义于该空间的变换函数所组成。元胞自动机用形式语言的方式来描述，可以用一个四元组表示： ),(fNSLAd其中 表示一个规则划分的网格型空间，每一个网格单元就是一个元胞。 是一个离dL S散有限集合，用来表示元胞的状态空间。 代表元胞的邻居集合（包括该元胞自身）。285 表示状态转换函数，用来表示通过邻居集合所有元胞 时刻的状态来确定该元胞 时f t 1t刻的状
33、态。下面我们通过一个具体模型简要介绍元胞自动机模型的概念。为了简单明了，我们将采用一个简化的模型，此处还是以 SIS 模型为基础，考虑一个二维网格，每个格点 处有一个人， 记为此人 时刻的状态，其中 表示),(ji),(tjixt 0),(tjix易感状态， 代表患病状态。采用 Von Neumann 邻居，定义元胞自动机模型如下：1),(tjix290(3.2.1),( ,1()()1()()1,( tjitjitjitjitjitji xxxf 设接触传染率为 ，康复率为 。那么一个易感者 下一时刻被感染的概率为：,tji(3.2.2).),1(),1(),1_(),1(),( tjitj
34、itjitjitjip 局部演化规则如下：295 如果 ，则0),(tjix(3.2.3).以 概 率 ,1;-以 概 率0),(),( tjitjipx如果 ，则1),(tjix(3.2.4).-1以 概 率 ,;以 概 率0)1,( tjix上面这个模型是没有考虑个体的移动的，而在实际应用中，一般都要考虑个体的移动。300 在相关文献中的一般设定为：种群在空间的初始分布是随机的（一般不是占满所有元胞）；元胞中的个体会以一定的概率转移到邻居元胞。除此之外还可以加入出生死亡，时滞等因素，使得模型与实际情况更接近。3.3 异质平均场近似模型简介复杂网络上的传染病动力学模型的构建方式有很多，其中最具代表性的有以下几种：305 2001 年由 Pastor-Satorras 和 Vespignani 提出的平均场模型 32, 33, 34；2002 年由 Newman 提出的渗流模型以及相关的分支过程方法和概率生成函数方法 35；2003 年由 Wang 等人提出的离散概率模型 36；2006 年的对逼近方法 37；2010 年的效度方法 38等。我们这里主要介绍平均场模型。平均场模型的基本思想是将所有节点按度的大小进行分类，度相同的节点视为一类，其动力学性态用平均值代替。下面我们以 SIS 仓室模型为
