1、2008-2009学年 高三 年级 半月考 数学（一） (理 BC)试卷 命题人：许平 审题人：杨小员 一、选择题 :本大题共 12 小题， 每 小 题 5 分，共 60 分 . 、 已知全集 UR ，集合 | 2 3A x x ， | 1 4B x x x 或 ，那么集合)( BCA U 等于（ D ） A | 2 4xx B | 3 4x x x或 C | 2 1xx D | 1 3xx 2、 “ 12x 成立”是“ ( 3) 0xx成立”的 ( B ) A充分不必要条件 、 B.必要不充分条件 C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3、 函数 1yx （ 0 4x）的反函数是 （ A
2、） A 2( 1)yx（ 1 3x） B. 2( 1)yx（ 0 4x ） C. 2 1yx（ 1 3x） D. 2 1yx（ 0 4x ） 4、 函数 )(xfy 与函数 xy 2log 的图象关于直线 0x 对称，则（ C ） A xxf 2)( B xxf 2)( C )(log)( 2 xxf D xxf 2log)( 5、 若 21( ) ln ( 2 )2f x x b x 在 ( - 1 , + )上是减函数，则 b 的取值范围是 （ C） A. 1, ) B. ( 1, ) C. ( , 1 D. ( , 1) 6、 已知 2lg8lg2lg,0,0 yxyx ，则yx 311
3、的最小值是 （ C ） A 2 B 22 C 4 D 32 7函数 xlogaxf ax 在区间 1， 2上的最大值与最小值之和为 41 ，最大值与最小值之积为 83 ，则 a 等于 （ B） A 2 B 21 C 2 或 21 D 32 8函数 2axxlogy 2a 在 2， + 上恒为正数，则实数 a 的取值范围是 （ C） A 0 61x 的解集是 14、不等式 056)5( 2 axxa 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ 4， 4） . . 15、函数 12( ) lo g (4 2 3)xxfx 的值域为 _1， +) _. 16、定义在 , 上的偶函数 xf 满
4、足 xfxf 1 ，且在 0,1 上是增函数，下面是关于 xf 的判断： xf 是周期函数； xf 的图像关于直线 x 1 对称 xf 在 0 ， 1 上是 增函 数 02 ff 其 中正 确的判 断是 124 （把你认为正确的判断都填上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、函数 f（ x） = 32 1xx 的定义域为集合 A， 函数 g（ x） = lg 1 2x a a x 的定义域为集合 B。 （ 1）求 A； （ 2）若 B A，求实数 a 的取值范围。 （ 12 分） 17 题、（ 1） A： x -1 或 x 1； -4
5、 分 （ 2） B：（ x-a-1）（ x-2a） 0 B A， 1112 21 aa aa 或 a 1 -8 分 或 121! 21 aa aa 或 a -2 或 21 a 1； -11 分 a 的取值范围是 a| a -2 或 21 a 1 或 a 1； -12 分 18 二次函数 f (x)满足 f (x+1) f (x)=2x，且 f (0) =1. (1) 求 f (x)的解析式； (2) 在区间 1， 1上， y=f (x)的图象恒在 y=2x 十 m 的图象上方，试确定实数 m 的取值范围 解： (1)令 z=0， 则 f(1) f(0)=0， f(1)=f(0)=1， 二次函数
6、图象的对称轴为 x=21 ， 可令二次函数的解析式为 y= a (x 一 21 )2+h 由 f(0)=0，又可知 f( 1)=3 得 a=1， h=43 二次函数的解析式为 y=f(x)=(x 一 21 )2+43 =x2 x+1 (2) x2 x+1 2x+m 在 1， l 上 恒成立， x2 3x+1m 在 l， 1上恒成立 令 g(x)= x2 3x+1， g(x)在 一 1， 1上单调递减， g(x)min=g(1)= l， m 1 18、 设函数 3()f x ax bx c ( 0)a 为奇函数，其图象在点 (1, (1)f 处的切线与直线6 7 0xy 垂直，导函数 ()fx的
7、最小值为 12 （）求 a ， b ， c 的值； （）求函数 ()fx的单调递增区间，并求函数 ()fx在 1,3 上的最大值和最小值 18（） ()fx为奇函数， ( ) ( )f x f x 即 33ax bx c ax bx c 0c 2( ) 3f x ax b的最小值为 12 12b 又直线 6 7 0xy 的斜率为 16 因此， (1) 3 6f a b 2a ， 12b ， 0c （） 3( ) 2 12f x x x 2( ) 6 1 2 6 ( 2 ) ( 2 )f x x x x ，列表如下： x ( , 2) 2 ( 2, 2) 2 ( 2, ) ()fx 0 0 ()
8、fx 极大 极小 所以函数 ()fx的单调增区间是 ( , 2) 和 ( 2, ) ( 1) 10f ， ( 2) 8 2f ， (3) 18f ()fx在 1,3 上的最大值是 (3) 18f ，最小值是 ( 2) 8 2f NMABDCO19、 如图，在四棱锥 O ABCD 中，底面 ABCD 四边长为 1 的 菱形， 4ABC , OA ABCD 底 面 , 2OA ,M 为 OA的中点， N 为 BC 的中点 （ ）证明：直线 MN OCD平 面 ； （ ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （ ）求点 B 到平面 OCD 的距离。 方法一（综合法） （ 1） 取 OB中点 E
9、，连接 ME， NE M E C D M E C D， A B ,A B 又 ,N E O C M N E O C D 平 面 平 面 MN OCD 平 面 （ 2） CD AB, MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角（或其补角 ） 作 ,AP CD P 于 连接 MP 平 面 A B C D ， OA C D M P 2,42AD P DP = 22 2M D M A A D ， 1c o s ,23DPM D P M D C M D PMD 所以 AB 与 MD 所成角的大小为 3 （ 3） AB 平 面 OCD,点 A和点 B到平面 OCD的距离相等，连接 OP,过点 A 作 A
10、Q OP 于点 Q， , , ,A P C D O A C D C D O A P A Q C D 平 面 又 ,A Q O P A Q O C D 平 面 ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离 2 2 2 2 2 1 3 241 22O P O D D P O A A D D P ，22AP DP22223322O A A PAQOP ，所以点 B 到平面 OCD 的距离为 23 方法二 (向量法 )作 AP CD 于点 P,如图 ,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 ,xyz 轴建立坐标系 x yzNMABDCOP2 2 2 2 2( 0 , 0 , 0 ) , ( 1
11、, 0 , 0 ) , ( 0 , , 0 ) , ( , , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( 1 , , 0 )2 2 2 4 4A B P D O M N, (1) 2 2 2 2 2( 1 , , 1 ) , ( 0 , , 2 ) , ( , , 2 )4 4 2 2 2M N O P O D 设平面 OCD 的法向量为 ( , , )n x y z ,则 0, 0n OP n OD 即 2 20222 2022yzx y z 取 2z ,解得 (0,4, 2)n 22(1 , , 1 ) ( 0 , 4 , 2 ) 044M N n M
12、N OCD 平 面 (2)设 AB 与 MD 所成的角为 , 22(1 , 0 , 0 ) , ( , , 1 )22A B M D 1c o s ,23A B M DA B M D , AB 与 MD 所成角的大小为 3 (3)设点 B到平面 OCD的距离为 d ,则 d 为 OB 在向量 (0,4, 2)n 上的投影的绝对值 , 由 (1,0, 2)OB, 得 23OB ndn.所以点 B 到平面 OCD 的距离为 23 19、 如图 ,在底面是菱形的四棱锥 P ABCD 中 , 060 ,ABCPA=AC=a， PB=PD= 2a ， 点 E 在PD 上 ,且 PE:ED= 2: 1.
13、( )证明 PA平面 ABCD; ( )求以 AC 为棱 ,EAC 与 DAC 为面的二面角 的大小 . 19（）证明 因为底面 ABCD 是菱形， ABC=60，所以 AB=AD=AC=a， 在 PAB 中，由 PA2+AB2=2a2=PB2， 知 PA AB. 同理， PA AD， 所以 PA平面 ABCD. （）解 作 EG/PA 交 AD 于 G， 由 PA平面 ABCD，知 EG平面 ABCD. 作 GH AC 于 H，连结 EH，则 EH AC， EHG 即为二面角 的平面角 . 又 PE : ED=2 : 1， 所以 .3360s in,32,31 aAGGHaAGaEG 从而
14、,33tan GHEG .30 20、 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试 合格就签约 .乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约 .设每人面试合格的概率都是 12 ，且面试是否合格互不影响 .求： （）至少有 1 人面试合格的概率 ; （）签约人数 的分布列和数学期望 . 解 : 用 A， B， C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格 .由题意知 A， B， C 相互独立， 且 P（ A） P（ B） P（ C） 12 . （）至少有 1 人面试合格的概率是 3171 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) .28P A B C
15、P A P B P C （） 的可能取值为 0， 1， 2， 3. ( 0 ) ( ) ( ) ( )P P A B C P A B C P A B C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C 3231 1 1 3( ) ( ) ( ) .2 2 2 8 ( 1 ) ( ) ( ) ( )P P AB C P A B C P AB C = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C = 3331
16、1 1 3( ) ( ) ( ) .2 2 2 8 1( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) .8P P A B C P A P B P C 1( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) .8P P A B C P A P B P C 所以， 的分布列是 0 1 2 3 P 38 38 18 18 的期望 3 3 1 10 1 2 3 1 .8 8 8 8E 21已知 a1=2，点 (an,an+1)在 函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中 =1， 2， 3， （ 1） 证明数列 lg(1+an)是等比数列； （ 2） 设 Tn=(1+a1) (1+a2) (1+ an)，求 Tn及
17、数列 an的通项； 21.(2) 213nnT , 2131nna ; 22、 .已知 a 是实数，函数 )()( axxxf 。 （）求函数 )(xf 的单调区间； （）设 )(ag 为 )(xf 在区间 2,0 上的最小值。 （ i）写出 )(ag 的表达式； （ ii）求 a 的取值范围，使得 2)(6 ag 。 （）解：函数的定义域为 0 )， ， 3()22x a x af x x xx （ 0x ） 若 0a ，则 ( ) 0fx ， ()fx有单调递增区间 0 )， 若 0a ，令 ( ) 0fx ，得 3ax ，当 0 3ax 时， ( ) 0fx ，当 3ax 时， ( )
18、0fx ()fx有单调递减区间 03a， ，单调递增区间 3a， （）解：（ i）若 0a ， ()fx在 02， 上单调递增，所以 ( ) (0) 0g a f 若 06a， ()fx在 03a，上单调递减，在 23a ，上单调递增，所以 2()3 3 3a a ag a f 若 6a ， ()fx在 02， 上单调递减，所以 ( ) (2 ) 2 (2 )g a f a 综上所述，002( ) 0 6332 ( 2 ) 6aaag a aaa ， ， ， （ ii）令 6 ( ) 2ga 若 0a ，无解若 06a，解得 36a 若 6a ，解得 6 2 3 2a 故 a 的取值范围为 3 2 3 2a
