1、 数学史知识融入高中数学教学的探讨和平区汇文中学：数学学科 杜惠敏2008-6-16数学史知识融入高中数学教学的探讨摘要：数学史是介于文理科之间的边缘学科。要打破自然学科与社会学科多年的鸿沟,数学史将发挥它的中介作用,在两者之间架起一座桥梁。作为一名数学教师掌握数学史知识之后,不仅本人受益,更重要的是,可以结合数学教学,在适当的时候传授给学生,帮助学生领会数学的精神、思想和方法,形成各自独特的创造性思维模式。数学史教学融入高中教学有什么必要性？目前高中数学教学中数学史教育的现状如何?怎样有效地开展数学史教育?等等。本文对这些问题从理论上和实践上进行深入细致的探讨。关键词： 数学教学 数学史知识
2、 数学史教育一、数学史知识融入高中数学教学的必要性1是学习数学学科知识的必要数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。 引导学生学习数学发展的历史能够帮助学生理解数学知识，掌握知识的来龙去脉，领悟数学思想、方法的产生和发展过程，从而对数学产生兴趣；能够使学生学习到数学家的坚毅品质以及为数学和科学献身的精神，并了解祖国和世界的数学成就。通过高中阶段数学史的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，寻求数学进步的历史价值，激发他们对数学创新原动力的认识，领会数学的美学价值，提高自身的文化素养和创新意识。数学教
3、师如果只满足于给学生讲授基础知识，对其相应的历史背景重视不够，对其中涉及到的数学思想、数学方法的特殊性认识不足，总结不够，显然不足以激发学生的学习兴趣，也就达不到应有的教学效果。数学教师掌握一定的数学史知识以后，不仅能够提高自身的数学素养，还可以在适当的时候告诉学生:陈景润的“1 十 2”定理；“哥德巴赫猜想” ；数学思想不是从天上掉下来的，而是无数数学家在科学实践中不断积累总结出来的，从而帮助学生形成正确的数学观。有很长时间以来，无论数学家、数学教育研究者、还是中学数学教师，甚至包括从事其他行业但对数学又情有独钟的数学爱好者都从自己学习数学的切身感受中体会到，数学的发展历史对学习数学、提高学
4、习数学的兴趣有一定的作用，是应该学习的一门数学知识。其原因在于它可以使人们获得思想启迪，得到教育。但在当前的教学中，却发现了一个令人深感忧虑的普遍现象：学生对待数学的态度，大多很悲观，缺乏自信，认为数学的学习和研究需要极高的天赋，自己只是硬着头皮去学。这就使得数学在学生的心目中变得枯燥乏味，难以激发他们学习的兴趣和热情。如果不能及时、有效的解决这一问题，不但难以提高教学质量，而且还会给学生以后的发展带来负面影响。2培育学生积极的情感、科学的态度和正确的价值观的必要。(1)培养学生的爱国精神，激发学生的民族自豪感在相当长的时期内，中国古代数学的发展水平和取得的辉煌成就曾居于世界数学发展的领先地位
5、，它的发展是在独立的环境中进行的，有其自己的特色，自成系统，涌现出如刘徽、祖冲之父子、秦九韶、杨辉、朱世杰等世界一流的数学家。中国古代数学成就对数学的发展做出了贡献，对世界科学的发展产生了重大影响，将这些数学史知识介绍给学生，有利于培养学生的爱国主义思想，激发学生的民族自豪感。中国古代数学有着光辉的传统，但从明代以后，中国数学落后于西方。加世纪初，在科学与民主的高涨声中，中国数学家们踏上了学习并赶超西方先进数学的光荣而艰难的征途，并取得了国际公认的成就，出现一批符合国际水平的数学家，如华罗庚、陈景润、陈省身等。他们不畏艰难，勇于攀登数学高峰，这些数学家的事迹和取得的成就为学生树立了榜样，激励着
6、学生刻苦学习。同时，学生也从近现代中国数学发展历史中，了解到近现代中国数学与世界数学水平的差距，从而激励学生应自小开始刻苦学习，打好数学基础，增强学生将来为祖国的数学发展做贡献、勇挑重任的意识。(2)学习数学家的科学品质，培养学生严谨治学的精神数学的发展和完善凝聚着许许多多的数学家智慧的结晶。在解袂数学问题的过程中，数学家往往表现出刻苦钻研的精神、严谨治学的态度、勇于克服困难、敢于坚持真理的科学品质。如大数学家欧拉(Leonard Euler, 17071783) 31岁右眼失明，晚年视力极差最终双目失明，但他仍以坚韧的毅力保持了数学方面的高度创造力，在世时出版了 130本著作和论文，死时还留
7、下许多手稿,丰富了此后长达十七年的圣彼得堡科学院会报。又如，我国数学家华罗庚在初中毕业后，仅仅念了一年半的职业高中，他是自学成才的。当时，在他生活的小镇上，他所能看到的数学书籍只有一本大代数 ，一本解析几何及一本约50页的微积分 。此外，还有两本与数学有点关系的杂志一一科学与学艺 ，他边利用少有的数学资料自学，边写些数学文章，他所写的文章受到清华大学算学系熊庆来教授的赏识并得到他的帮助，从此，华罗庚开始了他的真正研究数学的生涯，并取得了国际公认的数学成就。数学家的这种科学品质对中学生来说，有利于他们形成献身于科学事业的精神，有利于形成科学的,正确的人生价值观，有利于形成良好的个性品质。二、中学
8、阶段数学史教育现状众所周知数学史教育对学生的成长是大有裨益的，但由于现行教学大纲中没有明确规定数学史的教学要求和教学内容。因此，教师在具体实践时，缺少依据和指导，导致数学史教育处于一种可有可无状态，严重影响了数学史的教育。概括起来有以下几个主要原因：(1)由于历史原因或教师的来源不同，许多教师没有学习过数学史，有的教师只是选修或自学或以其它方式学习了解一些内容，对数学史掌握的程度不够，满足不了现代教学的要求，使教学水平受到限制。(2)教师在备课过程中，没有重视数学史教育或重视程度不够，因而不可能在教学活动中有计划、有选择、有重点地进行数学史教育，即使偶有实施，也只是蜻蜓点水，或即兴发言，没有深
9、度和目的性，起不到好的教育效果。(3)有时候由于需要完成的教学内容太多，或者教学中出现突发事件，即使有所准备也难以实施。三、对数学史教育的思考1精心选择数学史教育的题材数学几千年的历史，资料浩如烟海，如何选材、如何组织才能更有利于教学是我们必须思考的问题。我认为，数学史开设不仅是让我们了解各个时期的数学发展状况、某个数学分支产生于何年代、各个发展时期的杰出数学家等，更为重要的是向学生阐明某个数学概念或数学思想是如何发展的、怎样发展起来的，使他们能领略数学家们的创造性思维过程。数学史课程的教学应达到这样一种目的：将学到的数学史知识融到数学教学之中，充实课堂教学内容，提高中学生学习数学的兴趣等。这
10、一明确的目的性，也是数学史课选材的首要标准。为此，我把数学史专题分为两类，一类就是数学中某一概念、原理、问题、公式、符号等的产生发展及其应用史，如函数概念、勾股定理、圆周率、尺规作图三大难题、 “零”记号等。另一类就是数学分支的历史或数学中具有同一属性事物的历史，如数系发展史、方法论、女数学家、计算工具演进等。两类专题并行不悖。选材都应遵循以下原则。(1)科学性原则。数学史作为一门课程，其选材一定科学有据，不能成为数学史演义。(2)实用性原则。数学史应紧紧围绕师范院校的培养目标，依据现行中学教学内容，选择代数、几何、分析、概率统计等有关内容作为重点，剖析一些重要数学概念的发展形成过程。(3)教
11、育性原则。数学史作为一门数学与历史的交叉学科，应具有双重教育意义，因此，选材上要注意材料的教育意义。(4)趣味性原则。趣味性也是数学史选材应考虑的一个因素，不能把数学史课上成枯燥无味的“史籍”叙述课，选材要讲究典型、情节的生动、发展的曲折。2课堂教学中结合教材进行数学史教育有人说:“一节课有良好开头，这节课就成功了一半。 ”这种说法是很有道理的。因为，好的开头能抓住学生的注意力，激起学生的求知欲。而一堂课能否有一个好的开头，关键在于课题的引入方式。如果能结合教学要求，恰当地引入数学史，则能收到良好的效果。教师在讲授新课时给学生留下的第一印象往往是最深刻的，并会对学生产生深远的影响。在课堂上结合
12、教材内容要有目的的、有意识的、持之以恒地对学生进行数学史的教学。这是对学生进行数学史教学的关键环节，同时也对学生起着潜移默化的作用，但所占用的时间不能过长，以免影响课堂的正常教学。如，结合数学符号谈其发展概况(或数学符号形成的历史)。那些看起来十分精练的数学符号，往往要经过许多数学家长期的努力，才得以形成，如极限、导数、积分等概念的符号。这些符号形成的历史实际上也包含了数学思想发展的历程和数学家严谨的治学态度。又如，刘徽的“割圆术”对极限概念的贡献等等。3充分利用教材中的“阅读材料”作为教学活动的组织者和承担者，高中数学教师对问题的理解与重视程度直接影响着其教学观念的形成和教学目的的确定，进而
13、影响学生数学观的树立。所以教师必须要对“阅读材料”树立正确的教学观念。教师要认真研究“阅读材料” ，充分认识它在数学教材中的地位、作用和特点。数学教材中的每一篇“阅读材料”都是仅仅扣住有关教材知识设计的，实际上是对课本教学内容的延伸与扩展，在教材内容中占有一定的地位和作用。但从调查的结果看来，它的教育功能几乎不被人所重视，只是当成普通的阅读材料，随便看看并没有做进一步的研究。针对“阅读材料”的特点，在教学过程中，教师可以围绕“阅读材料” ，引导学生从广度和深度上挖掘其涵盖的内容和教育教学功能，最大限度地调动学生学习的积极性和主动性，鼓励学生互动与学生之间的交流，提高学生的数学思想素质、智力素质
14、和数学能力素质的，提高教学质量，取得良好的教学效果。例如， “集合中的元素个数” 、 “抽签有先有后，对各人公平吗?” 、 “人类早期是怎样测量地球半径的”等“阅读材料” ，既能拓宽学生的知识面，又能激发其学习数学的积极性，产生很好的学习效果。教师在教学中也可以利用“阅读材料”来理解教材的重点，突破教学中的难点，达到增强学生的双基、巩固知识的目的。例如，利用“有关储蓄的计算”中的知识来巩固等差数列的求和公式，培养学生运用数学的意识;通过对“柱体和锥体的体积”中有关知识的学习，加深对柱体、锥体体积公式的理解和在解题过程的应用。4加强对数学教师数学史素养的培养我们要通过在教学过程中穿插一些数学史料
15、，培养学生的数学兴趣和激发学生学习数学的动机，这就要求教师们必须具有这方面的知识。从教师自身的知识素质来看，除了掌握数学知识以外，还应该了解一些必要的数学史知识，以求达到知识上的完整。对一个数学教师来说，如果教了好几年数学，但对数学发展的历史、数学家的贡献、数学的意义一无所知这能算是成功的数学教育吗?可以通过灵活多样的教学方式加强对数学教师数学史素养的培养，如开设一些讲座，在作讲座时可以给教师们列出一些要查阅的文献、史料，以便他们课下做进一步的研究;也可以采取讨论交流、查阅资料、撰写报告等形式进行。四、数学史知识融入高中数学教学的案例1课题:复数概念教学过程如下：(1)提出问题。让学生解方程:
16、x 2-10x+40=0.学生发现方程的根的判别式=102 - 4 40= - 600.方程在实数范围内不能求解。教师：如果将数拓展到更大的范围，方程解的情况怎样?(2)介绍数的概念的发展。数的概念是从实践中产生和发展起来的。早在原始社会末期，由于计数的需要，人们就建立起自然数的概念。自然数的全体构成自然数集 N。随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展。为了表示各种相反意义的量和计数的需要，人们引进了零和负数，把自然数看作正整数，把正整数、零、负整数合并在一起，构成整数集 R。为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们又引进了有理数，规定它们就是一切形如 的数，其中 m Z，n
17、N，n 0)。这样就把整数n集 Z扩大为有理数集 Q。 为了解决有些量与量之间的比值不能用有理数表示的矛盾，人们又引进了无理数。从解方程 x2-10x+40=0，发现方程没有实数解，原因是负数不能开平方，为了解决这个问题，人们又引进新的数一一虚数。1545年，卡尔达诺在求解“把 10分成两部分，使其乘积为 40“的问题(相当于求解方程 x2 -10x+40=0)时，断然将 10分为“5+ ”和“5- ”，1515并说:“不管会受到多大的良心责备” ，这两个式子毕竟是满足问题要求的，但对“负数的平方根”深感疑虑。整个十七世纪，尽管不少数学家己经自觉不自觉地开始应用虚数(特别是在解方程中)，其中，
18、笛卡尔于 1632年首次给出“虚数”名称，意为虚构的，不存在的数，但更多的人对虚数作为数的存在性表示怀疑。十八世纪，数学家们仍然为虚数所困扰。由于数学的发展，涉及到虚数问题，从而引起一场关于虚数问题的热烈讨论，借助于虚数获得一系列数学成果，使得人们对于复数产生了一定的信心。1799 年，高斯利用复数，首次给出了代数基本定理的实质性的证明，使得复数在人们心目中的地位得以巩固。到了十九世纪，复数的应用越来越广泛，复数概念才得以最终确立。(3)得出复数的概念形如“a+bi (a,b R)的数被称为复数。当 b=0时，就是实数；当 b 0时，叫做虚数，当 a=0,b 0时，叫做纯虚数；a 与 b分别叫
19、做复数 a + bi的实部与虚部。(4)强化概念根据复数的概念，学生解方程：x 2+x+1=0.并指出方程的根的是什么数?其结构是什么?2课题：求球的体积教学过程如下：(1)提出问题：己知一个球的半径为 R，求这个球的体积?(2)课堂导入：刘徽、祖随的截面法。魏晋时期数学家刘徽(公元 3世纪之前)在给九章算术(成书于西汉，公元前 1世纪之前)作注时指出书中的球体体积公式 V= (D是球的直径)是错3D169误的。刘徽分析，圆与外切正方形的面积比是 (取 =3)，如果认为球与其外4切圆柱的体积之比是 ，并取 =3，则可得到上述球体体积公式，然而实际上43这个比并不是 。刘徽作出球的两个互相垂直相
20、交的外切圆柱，称它们的公共部分为“牟合方盖” 。 “牟合方盖”恰好把立方体的内切球包含在内并且同它相切，如果用同一个水平面去截它们，就得到一个圆(球的截面)，和它的外切正方形(“牟合方盖”的截面)。刘徽指出，在每一高度上的水平截面圆与其外切正方形的面积之比都等于 ，因此球体积与它的牟合方盖的体积比都是 。遗憾的是，刘徽4 4未能求出牟合方盖的体积。南北朝数学家祖随提出一条“缘幂势既同，则积不容异”的原理，并利用这一原理求得了“牟合方盖”的体积，从而在刘徽的基础上彻底解决了球体积问题。(3)介绍球体的体积公式（新课）五、展望读史使人明智，数学使人精密。数学史是人类的认识史、发明史和创造史，其中蕴涵着可供后人借鉴的巨大思想财富，广大教育工作者己经认识到它的重要作用。如何充分利用这些财富为现代教育服务，已经引起我国教育界的重视。数学教学中增加数学史教育，不仅是数学教学本身的需要，也是数学教育改革的一个重要方向。如何把数学史的内容与“双基”教学有效地结合起来，仍然是我们教育工作者面临的重要课题，可谓任重而道远。由于本人才疏学浅，文中论述定有不当或不全面之处，恳请各位专家同行批评指正。2008-6-16
