1、1线性代数 07 考研问答海天学校 何坚勇 教授问：线性代数占数学成绩的 25%，有 38 分之多，但很多同学觉得线性代数不如微积分好学，常常感到“书能看懂，课能听懂，就是不会作题” 。这是为什么？答：因为微积分、线性代数，概率论与数理统计是数学的三门独立学科，其特点各自不同，要针对不同学科的不同特点来进行学习，只有了解了各自学科的特点，才能谈得上进一步掌握它，知已知彼嘛。问：线性代数课程有哪些特点？答：通俗地说主要有四个特点：1、概念多、联系紧密、相互渗透，且这种联系比较隐蔽，这是线代最主要的一个特点。概念之间的联系往往是我们解题的思路、方向。如果你对这种联系了解甚少，甚至根本不知，那么解题
2、就失去了方向，就会感觉无从下手。而线性代数概念之间紧密且隐蔽的联系，在书本上是分散在各章中，没有现成的。要我们同学在学习过程中，通过不断归纳、总结而提取获得的。如：n 阶矩阵 A 可逆 A 为满秩0（ 充 分 必 要 条 件 ）2矩阵 作方程组 AX0 只有零解 A 可通过一nAr） （ 系列初等行变换化成单位矩阵 In A 可分解为一系列初等矩阵的乘积 A 可分解为一系列可逆矩阵的乘积 A 的行向量组线性无关 A 的列向量组线性无关 A 的行（列）向量组是 n 维向量空间 Rn 中的一组基 任一个 n 维向量 均可由 A 的列（行）向量组线性表出 对任意的 b，方程组AXb 必有唯一解，且
3、XA -1b A 没有零特征值。 AT A 为正定矩阵。上述十几个概念是等价的（充分必要的） ，给了一个就可推出其余的。在教科书中是分散在六章中介绍的。而学过线性代数后就要把它总结归纳且掌握住。在一个证明题，甚至计算题中，往往根据已知条件提供的概念及所要证明或计算的结论，找出等价的概念逐步进行演算。例：已知 n 阶矩阵 A，求证存在一个非零的 n 阶矩阵 B，使 AB0 的充分必要条件是 。这个题的题干条件是矩0阵运算。要证结论是行列式，而要用到的等价概念是线性齐次方程组 AX0 有非零解 。2、线代第二个特点是符号多，下标多，有时下标中带下标。如： *1, AAT3),(,),(21 AAr
4、 TT 每一个符号nIAXIf 实际上都体现了一个概念，都必须掌握并明白无误。关于下标的概念是一部份同学尤其是原来学文、财会、医等同学感到困难的地方，下标是用来区分不同元素的一个符号标记，如行列式中， 与 ，前者表示排在第三行第一列,31a24的元素，后者表示处在第 2 行第 4 列的元素，再进一步抽象化： 表示处在第 行第 列位置的元素。53jia3i5j有时下标取值范围的不同表达形式，可用来反映不同的内容，如： ( ) ： ),21(1mibxnjji 及 ( ) ： iaijji( ) 与 ( )的主要部份都是相同的：都是第 i 方程的记号简写形式。但后面括弧中下标 i 的取值范围不同，
5、 ( ) 所反映的是一个 mn 型的线性方程组，而 ( )描述的是这方程组中(i从 1m 中)某一个方程。因此想学好线性代数“符号及下标”是必须要过的一关。第三个特点：线性代数中有些运算性质与初等代数的运算性质不同，甚至相悖。这是部份同学常常犯错误的地方。4如在初等代数中：乘法交换律： ；零因子定律：ab若 则或 或 ；消去律：若 且 0baa0bc则 bc 等，是我们非常熟悉的运算性质。但在矩阵的乘法运算中就不成立：(1) 交换律不成立，一般讲 AB(2) 零因子定律不成立：若 或 A0，或 B 0(3) 消去律不成立：若 且 A0 BCC在线性代数中，对运算的要求很简单，只是，甚至连开方都
6、很少用到，但计算工作量大，“马虎”式的错误不少。如有一次考研解题过程中，有，好几个同学得到 以下计算就全错。也有不少83A38A同学将： ，写成矩阵形式为：14321x(3， 2，4，1) 等等。使往下计算工作都白做。因此学习线性代数要牢记特有的与初等代数有别的运算性质。对于经常犯“马虎”毛病的同学一定要培养自己计算正确的运算习惯，别无它法，否则很是吃亏。在历届考题中，计算往往要占到总量的 70%以上，而计算错误多也是线性代数考研题得分率不高的原因之一。5第四个特点：相对微积分讲，线性代数中部分内容对抽象思维能力与逻辑推理能力要求比较高。如向量组的线性无关概念，矩阵秩的概念，向量空间的概念等，
7、相对讲比较抽象。要通过不断反复体会、琢磨 不仅从正面，还要从各个侧面，甚至从反面去思考、分析才能逐步加深理解，掌握实质。如：“矩阵 A 有一个 r 阶子式不为 0，而所有的 r+1 阶子式全为 0，则称 A 的秩为 r”。我们可以思考：A 有没有为 0 的r 阶子式？有没有不为 0 的 r2 阶子式？有没有为 0 的 r1阶子式？有没有不为 0 的 r1 阶子式？所有的 r1 阶子式全为 0 行不行？全不为 0 行不行？(r2) 阶又怎么样？又如“矩阵 A 的秩大于 r”又会得到什么样的结论？等等都是可进一步思考的侧面。像这些较抽象不易理解的概念要用较长时间反复体会、琢磨才能做到真正掌握。只有
8、了解了线代课程的特点，对自己薄弱环节有针对性地进行复习，才能取得事半功倍的效果。问：有人说，线性代数只要大量作题就行，请问作题与复习概念之间应该是一种什么样的关系？答：只是大量作题，不能学好线性代数更不能考出好成绩。6根据研究生考试大纲，线性代数考题是 5 个，其中 3 个基本题（共 12 分） ，命题要求是考查基本概念的灵活运用，基本理论的熟练掌握，另外两个为解答题（数学一、二为 18 分，数学三、四为 26 分）在考查基本概念，基本理论的基础上，还要求有一定的计算能力，综合运用知识的能力，抽象概括思维、总结的能力，逻辑推理能力等。可见不论是基本题还是有一定难度的题，准确理解基本概念，熟练掌
9、握基本理论是考出好成绩的基础。我建议，按章复习，把每章的基本概念（定义）基本理论（定理，性质等）及基本计算方法先仔细复习一遍，然后合上书本，把主要概念、定理、计算方法梳理一遍，默述一遍。在充分理解基本概念，掌握基本理论与计算方法基础上，适当的精心作题：数量上适当每种类型只做一、二个就可以，质量上精心作题要多思考，多分析，多总结，多归纳。怎样做到多分析、多思考、多归纳、多总结呢？我们在线代考研辅导中给学员们作了许多示范，这里仅举一例：已知三维非零列向量 又 试求 。Ta),(321TAn7解： 231321213, aaaATkATTTT )()(2其中 为一个常数312ikkATTT 23 )(。通过这题，我们可以作出如下分析与归纳kn11、从本题结果可归纳出：当一个矩阵 A 等于列向量与该列向量转置乘积时（ 时） ，则有：A 的 n 次方与 A 成比T例 ，其比例系数为 。Akn1 )(,1Tnk2、进一步思考，若 A 可写成一个列向量 与一个行向量的乘积时，是否也有这样的性质？令 ， T其中kATTT )()(2 则 也同样成立ibak n13、再向什么样的矩阵可分解成一个列向量 一个行向量的形式？当 r(A)1 时，必有 的形式。TA8如： 3,2132164A这样，我们通过做一个题可以归纳总结出一些新的结论来，把学过的知识点有机地串了起来。
