1、精心整理精心整理第一部分：一、求最小依赖集例：设有依赖集：F=ABC，CA，BCD，ACDB，DEG，BEC，CGBD，CEAG，计算与其等价的最小依赖集。解：1、将依赖右边属性单一化，结果为：F1=ABC，CA，BCD ，ACDB ，DE，DG，BEC，CGB ，CGD ，CEA，CEG 2、在 F1 中去掉依赖左部多余的属性。对于 CEA，由于 CA 成立，故 E 是多余的；对于 ACDB，由于（CD） +=ABCEDG，故 A 是多余的。删除依赖左部多余的依赖后：F2=ABC，CA，BCD ，CDB，DE ，DG ，BEC，CGB，CGD，CEG3、在 F2 中去掉多余的依赖。对于 CG
2、B，由于（ CG） +=ABCEDG，故 CGB 是多余的。删除依赖左部多余的依赖后：F3=ABC，CA，BCD ，CDB，DE ，DG ，BEC，CGD ，CEGCGB 与 CDB 不能同时存在，但去掉任何一个都可以，说明最小依赖集不唯一。二、求闭包例：关系模式 R（U ， F） ，其中 U=A，B，C，D，E，I，精心整理精心整理F=AD， ABE，BIE，CDI ，EC ，计算（ AE） +。解：令 X=AE，X （0）=AE；计算 X（1） ；逐一扫描 F 集合中各个函数依赖，在 F 中找出左边是 AE 子集的函数依赖，其结果是：AD，EC。于是 X（1）=AEDC=ACDE；因为 X
3、（0 ）X （1 ） ，且 X（1）U，所以在 F 中找出左边是 ACDE 子集的函数依赖，其结果是：CDI。于是 X（2）=ACDEI=ACDEI。虽然 X（2 ）X （1 ） ，但在 F 中未用过的函数依赖的左边属性已没有 X（2）的子集，所以不必再计算下去，即（AE） +=ACDEI。三、求候选键例 1：关系模式 R（U，F） ，其中 U=A，B，C，D，F=AB ，CD，试求此关系的候选键。解：首先求属性的闭包：（A ） +=AB， （B） +=B， （C ） +=CD， （D） +=D（AB） +=AB， （AC） +=ABCD=U， （AD） +=ABD， （BC） +=BCD，
4、（BD）+=BD， （CD） +=CD（ABD） +=ABD， （BCD） +=BCD，因（AC） +=ABCD=U，且（A） +=AB， （C） +=CD，由闭包的定义，ACA，ACB，ACB，ACD，由合并规则得 ACABCD=U；由候选码的定义可得 AC 为候选码。后选关键字的求解理论和算法对于给定的关系 R（A1，A2，,An）和函数依赖集 F，可将其属性分为四类：精心整理精心整理L 类：仅出现在 F 的函数依赖左部的属性；R 类：仅出现在 F 的函数依赖右部的属性；N 类：在 F 的函数依赖左右两边均未出现的属性；LR 类：在 F 的函数依赖左右两边均出现的属性。定理 1 对于给定的
5、关系模式 R 及其函数依赖集 F，若 X（X 属于 R）是 L 类属性，则 X 必为 R 的任一候选关键字的成员。例 1：关系模式 R（U，F） ，其中 U=A，B，C，D，F=AB ，CD，试求此关系的候选键。例 2 设有关系模式 R(A，B，C，D) ，其函数依赖集F=DB，BD ，ADB ，ACD，求 R 的所有候选键。推论对于给定的关系模式 R 及其函数依赖集 F，若 X（X 属于 R）是 L 类属性，且 X+包含了 R 的全部属性，则 X 必为 R 的惟一候选关键字。定理 2 对于给定的关系模式 R 及其函数依赖集 F，若 X（X 属于 R）是 R 类属性，则 X 不在任何候选关键字
6、中。例 3 关系模式 R（U， F） ，其中 U=A，B，C，D ，E，P，F=AB，CD，EA，CED ，试求此关系的候选键。定理 3 对于给定的关系模式 R 及其函数依赖集 F，若 X（X 属于 R）是 N 类属性，则 X 必为 R 的任一候选关键字的成员。精心整理精心整理例 4 设有关系模式 R(A，B，C ，D，E，P)，其函数依赖集F=AD， ED，DB，BCD，DCA，求 R 的所有候选关键字。推论对于给定的关系模式 R 及其函数依赖集 F，若 X（X 属于 R）是 N 类和 L 类组成的属性集，且 X+包含了 R 的全部属性，则 X 必为 R 的惟一候选关键字四、关系模式规范化程
7、度的判断（在 BCNF 内判断）例 5 关系模式 R（U， F） ，其中 U=A，B，C，D，函数依赖集F=BD，ABC，试求 R 最高属于第几范式。解：根据判定定理及推论得：AB 必是候选码的成员，且（AB） +=ABCD=U，所以 AB 为候选码。则 ABD，又因 BD，存在非主属性对码的部分依赖，所以最高为1NF。例 6 关系模式 R（U， F） ，其中 U=A，B，C，D ，E ，函数依赖集F=ABCE，EAB，CD，试求 R 最高属于第几范式。解：根据判定定理及推论得：属性 D 肯定不在候选码中，通过计算可得：（AB） +=ABCDE=U，且（E ） +=ABCDE=U，所以 AB、
8、E 为候选码；由于 F 中不存在部分依赖，故 R 至少属于 2NF；因 ABC， ABE，CD，存在非主属性对码的传递依赖，所以最高为2NF。例 7 关系模式 R（U ，F） ，其中 U=A，B，C ，函数依赖集F=AB，BA，AC，试求 R 最高属于第几范式。解：根据判定定理及推论得：属性 C 肯定不在候选码中，通过计算可得：（A ） +=ABC=U，且（B） +=ABC=U，所以 A、B 为候选码；由于候选码仅有一个属性，不存在部分依赖，故 R 至少属于 2NF；精心整理精心整理BA， AC，由于 AB，所以不存在非主属性对码的传递依赖，所以 R也是 3NF。又因为 F 满足 BCNF 的
9、定义，故 R 也是 BCNF。例 8 关系模式 R（U， F） ，其中 U=A，B，C，函数依赖集F=AB，BA，CA，试求 R 最高属于第几范式。解：根据判定定理及推论得：属性 C 肯定在候选码中，又因（C） +=ABC=U，所以 C 为候选码；由于候选码仅有一个属性，不存在部分依赖，故 R 至少属于 2NF；CA，AB，存在非主属性对码的传递依赖，所以 R 最高为 2NF。例 9 关系模式 R（U， F） ，其中 U=A，B，C，D，函数依赖集F=AC， DB，试求 R 最高属于第几范式。解：根据判定定理及推论得：属性 AD 肯定在候选码中，又因 （AD） +=ABCD=U，所以AD 为候
10、选码；而 ADB， DB，存在非主属性对码的部分依赖，所以 R 最高为 1NF。例 10 关系模式 R（U ，F ） ，其中 U=A，B，C ，D ，函数依赖集F=AC， CDB，试求 R 最高属于第几范式。解：根据判定定理及推论得：属性 AD 肯定在候选码中，又因 （AD） +=ABCD=U，所以AD 为候选码；而 ADC，AC，存在非主属性对码的部分依赖，所以 R 最高为 1NF。第二部分：练习一：指出下列关系模式是第几范式精心整理精心整理(1)R(X,Y,Z)FD=XYZ其典型实例就是我们的 SC（Sno，Cno，Grade）参考解答：R(X,Y,Z)的主码为 XY，非主属性为 Z。关系
11、模式 R(X,Y,Z)中不存在非主属性对码的部分函数依赖属于二范式关系模式 R(X,Y,Z)中不存在非主属性对码的传递函数依赖属于三范式关系模式 R(X,Y,Z)中起决定作用的只有码属于 BC 范式故在函数依赖范围内，关系模式 R(X,Y,Z)属于 BC 范式(2)R(X,Y,Z)FD=XZY,YZ参考解答：R(X,Y,Z)的主码为 XZ，非主属性为 Y属于第三范式：因为其中不存在非主属性（Y）对码（XZ ）的部分函数依赖和传递函数依赖；但不属于 BC 范式：因为起决定作用的除了码以外还有非主属性（Y ）(3)R(X,Y,Z)FD=YZ,YX,XYZ参考解答：R(X,Y,Z)的候选码为 Y 和
12、 X，非主属性为 Z不存在非主属性对码的部分函数依赖和传递函数依赖，故属于三范式又，起决定作用的只有码，所以也是 BC 范式(4)R(X,Y,Z)FD=XY,XZ参考解答：典型实例 Student（Sno，Sname，Ssex）精心整理精心整理R(X,Y,Z)的候选码为 X，非主属性为 Y 和 Z不存在非主属性对码的部分函数依赖和传递函数依赖，故属于三范式又，起决定作用的只有码，所以也是 BC 范式(5)R(W,X,Y,Z)FD=XZ,WXY参考解答：典型实例 S_C（Sno ，Cno，Grade,，Cname）R(W,X,Y,Z)的候选码为 WX，非主属性为 Y 和 Z因为非主属性 Z 不是
13、完全依赖于码（WX ） ，而是依赖于码中的一部分（X ） ，所以存在非主属性对码的部分函数依赖，故没有达到二范式，仅属于一范式(6)R(A,B,C,D)，FD=B D,ABC参考解答：典型实例 S_C（Sno ，Cno，Grade,，Cname）R(W,X,Y,Z)的候选码为 WX，非主属性为 Y 和 Z因为非主属性 Z 不是完全依赖于码（WX ） ，而是依赖于码中的一部分（X ） ，所以存在非主属性对码的部分函数依赖，故没有达到二范式，仅属于一范式(7)R(A,B,C) FD=AB,BA,CA参考解答：典型实例：若规定一个系的学生都住在一个住处，一个住处也只能入住一个系，则典型实例为：S_L
14、oc(Sdept,Sloc,Sno)主码为 C，非主属性为 AB，因存在非主属性（B）对码 C 的传递函数依赖，故不是三范式，最多是二范式又，不存在非主属性对码的部分函数依赖，故属于二范式精心整理精心整理练习二：设关系模式 R(A,B,C,D,E),FD=A-D,E-D,D-B,BC-D,EC-A。试求：(1)R 的候选码(2)R 所属的范式(3)将 R 分解为 BCNF，且具有无损连接性参考解答：（1 ） 可知：EC-A-D-B所以：候选码为 EC，非主属性为 ABD（2）因存在非主属性（B 和 D）对码（EC）的传递函数依赖，故未答三范式，最多是二范式又，不存在非主属性对码的部分函数依赖，
15、所以是二范式（3） 分解为 3 个模式：R1(E,C,A)FD=EC-AR2(A,D)FD=A-DR3(D,B)FD=D-B练习三。设有关系模式：TEACHER(教师编号，教师姓名，电话，所在部门，借阅图书编号，书名，借书日期，还书日期，备注)（1 ）教师编号是候选码吗？说明理由（2）该关系模式的主码是什么？精心整理精心整理（3）该关系模式是否存在部分函数依赖？如果存在，请写出至少两个？（4）该关系模式满足第几范式？（5）将该关系模式分解为 3NF。参考解答（1 ）教师编号不是候选码。（2）假定对任一本书一个人一天只能借一次，则主码为：教师编号，借阅图书编号，借书日期；非主属性为：教师姓名、电
16、话、所在部门、书名、还书日期、备注（3）存在。（教师编号，借阅图书编号，借书日期）-教师姓名（教师编号，借阅图书编号，借书日期）-教师电话（教师编号，借阅图书编号，借书日期）-所在部门（教师编号，借阅图书编号，借书日期）-书名（4）因为存在非主属性对于码的部分函数依赖，所以，未达到二范式，只属于一范式。（5）教师（ 教师编号， 教师姓名，电话，所在部门）图书（图书编号，图书名）借阅（教师编号，图书编号，借书日期，还书日期，备注）练习四：假设某商业集团数据库中有一关系模式R(商店编号，商品编号，数量，部门编号，负责人） ，若规定：(1) 每个商店能销售多种商品（每种商品有一个编号） ；商店的每种
17、商品只在一个精心整理精心整理部门销售；(2)每个商店的每个部门只有一个负责人；(3)每个商店的每种商品只有一个库存数量；问题：(1)写出关系 R 的基本函数依赖(2)找出 R 的候选码(3)R 的范式，若不属于 3NF，则分解为 3NF参考解答：（1 ） 每个商店的每种商品只在一个部门销售：商店编号，商品编号-部门编号每个商店的每个部门只有一个负责人：商店编号，部门编号-负责人每个商店的每种商品只有一个库存数量：商店编号，商品编号-库存量（2） 主码为：商店号，商品编号，非主属性为：数量，部门编号，负责人（3） 因存在非主属性（负责人）对主码（商品编号，商店号）的传递函数依赖故未达到三范式，只达到二范式。分解该关系模式：R1（商店编号，商品编号，部门编号，数量）R2（商店编号，部门编号，负责人）分解后其实已达到 BC 范式。
